2.4 幂函数与二次函数（精练）备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦幂函数与二次函数核心考点，通过分层题型构建从概念辨析到综合应用的知识逻辑链，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数基础|6题（题1-4,9,12）|定义判断、图像分布、单调性与奇偶性辨析|从幂函数定义生成图像性质，结合解析式参数分析单调性| |二次函数性质|7题（题5-8,10,13,14）|最值求解、单调性参数范围、零点与恒成立问题|以二次函数解析式为基础，推导单调性、最值与零点关系| |综合应用|6题（题11,15-19）|奇偶性应用、不等式求解、跨模块综合|整合幂函数与二次函数性质，通过实际问题发展模型意识与推理能力|

2.4 幂函数与二次函数（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 2．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 3．（25-26高三上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 4．（25-26高三上·湖北武汉·期中）幂函数在上单调递减，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据函数为幂函数可列式求出m的值，验证是否符合题意，即得答案. 【详解】由函数为幂函数，得， 解得或， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意， 故， 故选：B 5．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出幂函数的解析式，进而求出，换元法即可求出函数的最值. 【详解】设函数，由题意，故， 于是，则， 令，则，且， 故的最值可转化为函数的最值， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值3. 6．（25-26高三上·湖北·期中）若函数是上的增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段函数的单调性来确定参数的满足条件，即可求解. 【详解】要使得函数是上的增函数， 则，解得， 故选：C． 7．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 8．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知，若对于，，均有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数形结合，分析区间与抛物线对称轴的位置关系，列式可求的取值范围. 【详解】因为，所以. 则问题转化为函数在区间上的最小值不小于函数在区间上的最大值. 如图： 函数在区间一定单调递减，在区间上的最大值一定是， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）下列说法不正确的有（   ） A．若幂函数过点，则 B．函数是幂函数 C．若幂函数在上单调递减，则 D．幂函数的图象都经过点和 【答案】BCD 【详解】对于A，设，将点代入，则，，则，故A正确； 对于B，因为，所以不是幂函数，故B错误； 对于C，因为幂函数在上单调递减， 所以解得，故C错误； 对于D，幂函数的图象不经过也不经过，故D错误. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）设，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据图象开口朝向，可得a的正负，根据对称轴公式，可得b的正负，根据图象与y轴交点的位置，可得c的正负，结合条件，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：图象开口向下，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在负半轴，所以，此时，符合题意，故A正确； 选项B：图象开口向下，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在正半轴，所以，此时，符合题意，故B正确； 选项C：图象开口向上，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在正半轴，所以，此时，不符合题意，故C错误； 选项D：图象开口向上，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在正半轴，所以，此时，符合题意，故D正确. 故选：ABD 11．（25-26高三上·山东济南·期末）已知函数（），且，则（   ） A． B．当时， C．若在内有零点，则 D．在内至少有一个零点 【答案】ABD 【分析】由，可得，，从而判断AB；由零点存在定理判断C；分、、讨论，判断D. 【详解】函数（）， ∵，∴，， ，A正确； 当时，，B正确； 若在内有零点，， 则，可得即可，不一定小于0，故C错误； 当时，，，在内至少有一个零点， 当时，，，， ∴在内至少有一个零点； 当时，，，， ， ∴在内至少有一个零点． 综上，函数在内至少有一个零点，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 【答案】2 【分析】根据幂函数定义解方程，再由函数单调性求得. 【详解】易知，即，解得或； 又因为在上是增函数，所以. 13．（25-26高三上·四川宜宾·期中）已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义结合奇偶性可得，进而可得，整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为函数为幂函数， 则，解得或， 又因为，可知为奇函数，则，可得， 又因为，即，可得， 则，即， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最小值为2. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】 ∵对任意的，恒成立，∴当时，. ∵二次函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： （i）当，即时，函数在区间上单调递增， ∴， ∴，即，解得或， ∵，∴. （ii）当，即时， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴，即， ∵二次项系数大于0且，∴不等式无解. （iii）当，即时，函数在区间上单调递减， ∴， ∴，即，解得：或， ∵，∴. 综上可知，实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，结合题干条件，利用待定系数法即可求解； （2）结合二次函数的性质，对称轴以及单调性，分析即可求解. 【详解】（1）不妨设二次函数， 由，可得，所以； 由，可得， 即，即，解得，故. （2）函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，在上单调递减，有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上没有最大值，符合题意； 综上所述：若在上没有最大值，实数m的取值范围为． 16．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 【答案】(1) (2) (3)当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为 【分析】（1）根据幂函数的定义可求解析式； （2）根据对称轴的位置可求参数的取值范围； （3）就分类讨论后可求不等式的解. 【详解】（1）由题意得，所以或， 因为为偶函数，所以，所以. （2）由(1)可得， 在上不是单调函数，所以对称轴，即， 所以，实数a的取值范围为. （3）由（1）可得，而即为，故. 若，则即不等式解集为， 若，则即不等式解集为. 综上，当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为. 17．（25-26高三上·四川成都·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围. (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用幂函数定义求出，结合性质取舍即可； （2）根据二次函数对称轴和区间的位置关系可求答案； （3）对参数分类讨论，比较根的大小可得不等式的解集. 【详解】（1）由幂函数定义可得， 即，解得或， 当时，，此时为奇函数，不符； 当时，，此时为偶函数，符合要求； 综上可得，则的解析式为. （2）由题意得，对称轴为， 由在区间上不单调，则，解得； （3）， 当时，，解得； 当时，令，解得或， 若，当，即时，该不等式无解； 当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，该不等式的解集为； 综上所述，当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式的解集为. 18．（25-26高三上·四川泸州·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数a的最大值； (2)当时． （i）求不等式的解集； （ii）若在上的值域为，求实数m的取值范围． 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）求得函数的对称轴，分析其单调性，由在上单调递增，得到实数的取值范围，从而求得实数的最大值； （2）当时．（i）直接求解求不等式，可得其解集；（ii）分析在上的单调性，结合其值域为，求实数m的取值范围． 【详解】（1）函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为． 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若在上单调递增，则，即， 所以实数的最大值为； （2）当时，. （i）令，则，即，解得. 所以不等式的解集为； （ii）易知在上单调递减，在上单调递增，且，. 若在上的值域为，则. 当时，. 在上单调递减，所以在上的最小值为，最大值为，所以值域为，符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 若在上的值域为，则，即，即， 解得. 综上所述，实数m的取值范围为． 19．（25-26高三上·湖北十堰·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的概念，结合奇偶性即可求解； （2）把不等式转化为一元二次不等式来求解即可； （3）利用的任意性，求出的最大值为4，利用的存在性，求出，从而可求解参数范围. 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或， 当时，为偶函数，符合题意： 当时，为奇函数，舍去. 综上：. （2） 或， 所以的取值范围为. （3）因为对，都存在，使得都成立， ，其中， 函数在上单调递增，所以在时取到最大值为4. 即， 因为存在，使得成立， 又因为是关于的在单调递增函数， 或， 故实数的取值范围为. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 幂函数与二次函数（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 4．（25-26高三上·湖北武汉·期中）幂函数在上单调递减，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 5．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 6．（25-26高三上·湖北·期中）若函数是上的增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知，若对于，，均有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）下列说法不正确的有（   ） A．若幂函数过点，则 B．函数是幂函数 C．若幂函数在上单调递减，则 D．幂函数的图象都经过点和 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）设，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·山东济南·期末）已知函数（），且，则（   ） A． B．当时， C．若在内有零点，则 D．在内至少有一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 13．（25-26高三上·四川宜宾·期中）已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 16．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 17．（25-26高三上·四川成都·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围. (3)若，求不等式的解集. 18．（25-26高三上·四川泸州·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数a的最大值； (2)当时． （i）求不等式的解集； （ii）若在上的值域为，求实数m的取值范围． 19．（25-26高三上·湖北十堰·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $