第2章 2.4 函数性质的综合应用（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性、周期性、单调性综合应用，以分层训练构建“性质辨析-转化应用-综合拓展”的方法体系，强化逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础过关|10题|奇偶性对称区间单调性判断、周期性自变量转化|从奇偶性定义出发，结合单调性推导对称区间性质，形成“定义-性质-简单应用”链条| |B级能力提升|4题|性质综合不等式求解、对称中心与周期关联|整合奇偶性、周期性、单调性，构建“多性质联动-区间转化-不等式解集”推理路径| |C级拓广探索|2题|抽象函数导函数性质、新定义函数应用|深化至导数与函数性质结合、跨知识新定义问题，提升数学建模与创新意识|

[对应学生用书P311] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共83分． A级　基础过关 1．已知偶函数f(x)满足f(x)＝x2＋2－x(x≤0)，则f(x) 在(0，＋∞)上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先递增后递减 D．先递减后递增 解析　f(x)＝x2＋，由y＝x2与y＝在(－∞，0]上单调递减，得f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 答案　A 2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x).若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析　因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2).又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞). 答案　D 3．已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．[－2，2] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析　根据奇函数的性质，得f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1；由|f(2x)|≤1，得－1≤f(2x)≤1，即f(2)≤f(2x)≤f(－2)，所以－2≤2x≤2，解得－1≤x≤1. 答案　A 4．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是(　　) A．(0，e2) B．(e-2，＋∞) C．(e2，＋∞) D．(e-2，e2) 解析　根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)<f(2)，即|ln x|<2，即－2<ln x<2，解得e-2<x<e2，即x的取值范围是(e-2，e2). 答案　D 5．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋4)是偶函数，f(6)＝3，f(x)在(－∞，4]上单调递减，则不等式f(2x－4)<3的解集为(　　) A．(4，6) B．(－∞，4)∪(6，＋∞) C．(－∞，3)∪(5，＋∞) D．(3，5) 解析　因为f(x＋4)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，则f(6)＝f(2)＝3.因为f(x)在(－∞，4]上单调递减，所以f(x)在[4，＋∞)上单调递增，故f(2x－4)<3等价于f(2x－4)<f(6)＝f(2)，即2<2x－4<6，解得3<x<5. 答案　D 6．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a 解析　易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，因为奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数． 又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b. 答案　C 7．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝f(x－2)，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 B．y＝f(x)的图象关于点对称 C．y＝f(x)在[0，6]内至少有5个零点 D．若y＝f(x)在[0，1]上单调递增，则它在[2 027，2 028]上也单调递增 解析　因为f(x＋1)＝f(x－2)且y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x＋3)＝f(x)，故函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(x＋3)＝f(x)＝－f(－x)， 所以f(3＋x)＋f(－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点对称，A错误，B正确； 由题意可知，f(6)＝f(3)＝f(0)＝0， 因为f(x)＝f(x＋3)＝－f(－x)，令x＝－，可得f＝f＝－f， 所以f＝0，从而f＝f＝0，故函数y＝f(x)在[0，6]内至少有5个零点，C正确； 因为f(2 027)＝f(3×676－1)＝f(－1)，f(2 028)＝f(3×676)＝f(0)，且函数f(x)在[0，1]上单调递增，则函数f(x)在[－1，0]上也单调递增，故函数f(x)在[2 027，2 028]上也单调递增，D正确． 答案　BCD 8．(多选)已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(－x)，当x∈(1，2]时f(x)＝2x－2，则下列结论正确的有(　　) A．f(－1)＝0 B．f(x)的图象关于点(3，0)成中心对称 C．f(2 024)>f(2 025) D．f≤f 解析　对于A，因为f(x)满足f(x＋2)＝－f(－x)，令x＝－1，则f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0，又因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，故A正确； 对于B，因为f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期T＝4，再根据f(x＋2)＝－f(－x)，得f(x＋6)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点(3，0)成中心对称，故B正确； 对于C，由B知：f(x)的周期T＝4，故f(2 024)＝f(506×4)＝f(0)，因为f(x＋2)＝－f(－x)，令x＝0，则f(2)＝－f(0)，又因为当x∈(1，2]时，f(x)＝2x－2，所以f(2)＝22－2＝2，即f(0)＝－f(2)＝－2，即f(2 024)＝f(0)＝－2，f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝0，故f(2 024)<f(2 025)，故C错误； 对于D，f(x)满足f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)关于(1，0)中心对称，又因为当x∈(1，2]时，f(x)＝2x－2，所以f(x)在[0，2]上单调递增； 当x＝0时，f(0)＝－2<f＝2－2＝－2，当x≠0时，因为f(x)为偶函数，所以f＝f＝f＝f，因为0<≤，当且仅当|x|＝，即x＝1时等号成立， 所以f≤f，故D正确． 答案　ABD 9．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围为____________． 解析　∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，∴f(5)＝2a－3＜1，即a＜2. 答案　(－∞，2) 10．已知f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，则满足不等式f(2a)＜f(4a－1)的a的取值范围是____________． 解析　因为f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，所以f(x)在[0，1]上单调递增，所以－1≤2a≤1，－1≤4a－1≤1，|2a|＜|4a－1|，所以0≤a＜. 答案　 B级　能力提升 11．已知函数f(x)的定义域为R，f(2＋x)＝f(－x)，f(－2)＝－f(4)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则xf(x－1)>0的解集为(　　) A．(－2，0)∪(4，＋∞) B．(－∞，－1)∪(5，＋∞) C．(－∞，－2)∪(4，＋∞) D．(－1，0)∪(5，＋∞) 解析　函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，则f(x)关于直线x＝1对称，所以f(－2)＝f(4)＝－f(4)，即f(－2)＝f(4)＝0，又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，则可得函数f(x)的大致图象，如图， 所以由不等式xf(x－1)>0可得，或 解得－1<x<0或x>5，故不等式xf(x－1)>0的解集为(－1，0)∪(5，＋∞). 答案　D 12．函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)中心对称，且f(3)＝1，则f(2 025)＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 解析　因为函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)， 所以函数f(x)的周期T＝12，将y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位长度，可得y＝f(x)的图象， 又y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)中心对称， 所以y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，故f(x)为R上的奇函数， 所以f(2 025)＝f(168×12＋9)＝f(9)＝f(9－12)＝f(－3)＝－f(3)＝－1. 答案　B 13．定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则(　　) A．f(11)<f(12)<f(21) B．f(21)<f(12)<f(11) C．f(11)<f(21)<f(12) D．f(21)<f(11)<f(12) 解析　函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，所以f(x－4)＝－f(－x)， 又f(x)为定义在R上的奇函数，所以－f(－x)＝f(x)，所以f(x－4)＝f(x)， 即函数f(x)的周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)， 因为f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(－2，2)上单调递增， 所以f(－1)<f(0)<f(1)， 即f(11)<f(12)<f(21). 答案　A 14．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)＞f(－1)的解集为____________． 解析　∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)＞f(－1)， ∴－x2＞－1，即x2＜1，∴－1＜x＜1， ∴原不等式的解集为(－1，1). 答案　(－1，1) C级　拓广探索 15．(多选)(2025·辽宁名校联考)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(x＋1)与f′(x)均为偶函数，且f(－1)＋f(1)＝2，则下列结论正确的是(　　) A．f′(1)＝0 B．4是f(x)的一个周期 C．f(1 012)＝0 D．f(x)的图象关于点(6，1)对称 解析　f(x＋1)为偶函数→f(－x＋1)＝f(x＋1)，对f(－x＋1)＝f(x＋1)两边同时求导→－f′(1－x)＝f′(x＋1)，令x＝0，得－f′(1)＝f′(1)，解得f′(1)＝0，故A正确； f′(x)为偶函数→f′(－x)＝f′(x)，即－f(－x)＝f(x)＋c(c为常数)，f(－1)＋f(1)＝2→c＝－2→f(x)＋f(－x)＝2，f(x＋1)为偶函数→f(－x＋1)＝f(x＋1)→f(x)＝f(2－x)，所以4是f(x)的周期，故B正确； 由选项B知f(x)＋f(－x)＝2，所以f(0)＝1，所以f(1 012)＝f(4×253)＝f(0)＝1，故C错误； 因为f(x)＋f(－x)＝2，f(x)＝f(2－x)，所以f(2－x)＋f(2＋x)＝2，故f(x)的图象关于点(2，1)对称，由于4是f(x)的周期，故f(x)的图象关于点(6，1)对称，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 16．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0，1]上的函数R(x)＝ 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈[0，1]时，f(x)＝R(x)，则f＋f(lg 30)＝____________． 解析　由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，所以函数f(x)的周期是2，则f＝f＝f＝－f＝－R＝－，f(lg 30)＝f(lg 3＋lg 10)＝f(lg 3＋1)＝f(lg 3－1)＝－f(1－lg 3)＝－R(1－lg 3)＝0， 所以f＋f(lg 30)＝－. 答案　－ 学科网（北京）股份有限公司 $