利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角度的数量关系专项训练-2026年人教版数学七升八暑假培优

**基本信息** 聚焦平行线性质的角度计算与数量关系探究，通过多地区期末典例构建“性质应用—辅助线构造—动态探究”的递进训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用平行线的性质求角度|3例+3变式（含广东、重庆等地期末题）|辅助线构造（过点作平行线）、角平分线与性质结合的角度转化|从平行线性质直接应用到综合条件下的角度计算，形成“性质—转化—计算”的推理链条| |利用平行线的性质探究角度的数量关系|3例+3变式（含安徽、河南等地期末题）|动态位置分类讨论、角平分线性质的数量关系推导|从静态关系探究到动态情境分析，构建“具体实例—规律归纳—一般关系”的认知路径|

利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角度的数量关系专项训练 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角度的数量关系专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 利用平行线的性质探究角度的数量关系 考点一 利用平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级下·广东惠州·期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． 　　 (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角度数． 例2．（25-26七年级下·重庆·期末）如图1，已知，，是上的点，，是上的点，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)过点作交延长线于点，作，的角平分线交于点． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，交于点，若，直接写出的值． 例3．（25-26七年级下·天津西青·期末）已知直线，点，分别是直线，上的点，点是直线，之间一点，且在点，左侧． (1)如图①，当，时，求的度数； (2)若，，，的平分线交于点，的平分线交于点． ①如图②，当点在点上方时，试探索，之间的数量关系，并说明理由； ②当，的值同（1）时，直接写出的度数． 变式1．（25-26七年级下·重庆巫山·期末）如图，点F在上，点G在上，且，． (1)求证：． (2)若，平分，求度数． 变式2．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）如图，已知，． (1)是否平行于？请说明理由； (2)连接，若平分，，，求的度数． 变式3．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）直线与直线，分别相交于，两点，，的顶点在直线上，与相交于点，且． (1)如图1，若，求的度数； (2)若与相交于点，， （ⅰ）如图2，当点在线段上时，求的度数； （ⅱ）如图3，当点在射线上时，求的度数． 考点二 利用平行线的性质探究角度的数量关系 例1．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，直线，点E，F分别在上，分别平分，． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，平分，交于点N．若，求的度数． (3)如图3，作的平分线，交于点G，P是角平分线上且位于直线下方的一动点，Q（不与点G重合）是线段上的动点，探究与之间的数量关系，并说明理由． 例2．（25-26七年级下·河南安阳·期末）在综合与实践课上，老师以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动． (1)如图1，若直角三角尺的角的顶点放在上，，则的度数为________； (2)如图2，小平把直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)如图3，小宇把直角三角尺的直角顶点放在上，角的顶点放在上．若，则________（用含的式子表示）． 例3．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）如图，已知直线，分别是直线上的点，是直线之间的一点，连接，已知． (1)如图1，求的度数； (2)点在直线上，且．已知交于点． （ⅰ）如图2，试说明； （ⅱ）如图3，若，探究与之间的数量关系并加以说明． 变式1．（25-26七年级下·广东惠州·期末）已知：如图，直线、被直线所截，． (1)如图①，直接写出直线与的位置关系：____________________． (2)如图①，分别与、交于点、，平分，平分，请判断与的位置关系，并证明你的结论； (3)如图②，点在与之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分．请猜想和之间的数量关系，并证明你的结论． 变式2．（25-26七年级下·湖北随州·期末）构造辅助平行线，是几何问题中“化散为聚”的核心技巧之一，它实现角度的转移与转化，是初中几何从直观感知走向逻辑推理的关键一步． (1)【问题情境】 如图1，，点在直线，之间，点，分别在直线，上，连结，．小明对该图形进行了研究，他过点作，证明了，与之间的数量关系为：________． (2)【深入探究】 图2是一盏可调节台灯示意图．为水平底座，支撑杆垂直于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度．在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯至如图所示位置，且各线段在同一平面上，使外侧光线，，求的度数． (3)【迁移应用】 如图3，，，，如果点在射线上运动（点与点，，三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系． 变式3．（24-25七年级下·河北沧州·期末）【特例探究】如图 1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为__________； 【总结归纳】 (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)已知，点，分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分，平分． ①如图 2，若点，均在直线和之间，且，求的度数； ②如图 3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分，设（），请用含的代数式表示． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角度的数量关系专项训练 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角度的数量关系专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 利用平行线的性质探究角度的数量关系 考点一 利用平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级下·广东惠州·期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． 　　 (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）先根据对顶角相等可得，再结合已知条件，由同位角相等两直线平行证明即可； （2）先由平行求解出的度数，进而由角平分线可得的度数，结合平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 例2．（25-26七年级下·重庆·期末）如图1，已知，，是上的点，，是上的点，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)过点作交延长线于点，作，的角平分线交于点． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，交于点，若，直接写出的值． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2)①；② 【分析】（1）根据平行线的性质，先证，等量代换得，，根据平行线的判定，即可求证； （2）根据平行线的性质和垂直的定义，易得，利用角平分线的定义和平行线的性质，可求，，，从而，最后根据，即可求解；②设，则，根据题意，可得，从而，再根据角平分线的定义和平行线的性质，易得，，进而可求，，计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①， ， ， ，即， 平分，， ，， ， ， ， ， 平分， ， ； ②设，则， 平分， ， ， ， ， ， ，解得， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 例3．（25-26七年级下·天津西青·期末）已知直线，点，分别是直线，上的点，点是直线，之间一点，且在点，左侧． (1)如图①，当，时，求的度数； (2)若，，，的平分线交于点，的平分线交于点． ①如图②，当点在点上方时，试探索，之间的数量关系，并说明理由； ②当，的值同（1）时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，理由如下： 由（1）得； ∵平分， ∴， ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴由（1）得，， ∴； ② 【分析】（1）过O向右侧作的平行线，由两直线平行，内错角相等解得，，据此解答； （2）①由角平分线的定义以及邻补角可得，，再由求解即可；②根据求解即可． 【详解】（1）解：过O向右侧作的平行线， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：②：由①得，， ∵， ∴． 变式1．（25-26七年级下·重庆巫山·期末）如图，点F在上，点G在上，且，． (1)求证：． (2)若，平分，求度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，则可证明； （2）求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 变式2．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）如图，已知，． (1)是否平行于？请说明理由； (2)连接，若平分，，，求的度数． 【答案】(1)． 理由：因为， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． (2) 【分析】（1）证明即可证明结论； （2）先求出，再求出，即可求出结论； 【详解】（1）略 （2）解：如下图： 因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为（已证）， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以． 变式3．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）直线与直线，分别相交于，两点，，的顶点在直线上，与相交于点，且． (1)如图1，若，求的度数； (2)若与相交于点，， （ⅰ）如图2，当点在线段上时，求的度数； （ⅱ）如图3，当点在射线上时，求的度数． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）由平行公理推出，根据平行线同旁内角互补得，结合，代入计算即可得的度数； （2）（i）过点作，由内错角相等得，可得，再证，由内错角相等即可求得的度数； （ii）过点作，由内错角相等得，可得，再证，由内错角相等即可求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：（ⅰ）如图，当点O在线段上时，过点作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）如图，当点在射线上时，过点作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 考点二 利用平行线的性质探究角度的数量关系 例1．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，直线，点E，F分别在上，分别平分，． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，平分，交于点N．若，求的度数． (3)如图3，作的平分线，交于点G，P是角平分线上且位于直线下方的一动点，Q（不与点G重合）是线段上的动点，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)． 理由：如图3，过点P作． ∵平分平分， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点M作，根据平行线的性质得出，，，，再由角平分线的定义结合图形求解即可； （2）过点M作，根据题意得出，再由角平分线及平行线的性质即可求解； （3）过点P作，得出，，，再由平行线的性质及等量代换即可得出结果． 【详解】（1）解：如图1，过点M作． ∵， ∴， ∴，，． ∵分别平分， ∴，， ∴． （2）如图2，过点M作． 由（1），可得． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）略． 例2．（25-26七年级下·河南安阳·期末）在综合与实践课上，老师以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动． (1)如图1，若直角三角尺的角的顶点放在上，，则的度数为________； (2)如图2，小平把直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)如图3，小宇把直角三角尺的直角顶点放在上，角的顶点放在上．若，则________（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)； 理由如下：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质解题； （2）过点F作，结合平行线的性质推出，进而求解； （3）根据平行线的性质解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ； （2）略； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 例3．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）如图，已知直线，分别是直线上的点，是直线之间的一点，连接，已知． (1)如图1，求的度数； (2)点在直线上，且．已知交于点． （ⅰ）如图2，试说明； （ⅱ）如图3，若，探究与之间的数量关系并加以说明． 【答案】(1) (2)（ⅰ）因为，所以， 所以． 因为，所以， 因为， 所以； （ⅱ），理由如下： 如图，过点作， 因为，所以， 所以． 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． 因为， 所以，即， 所以． 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质得，，两式相加，再结合垂直的条件即可求解； （2）（ⅰ）根据，结合平行的性质即可完成； （ⅱ）过点作，利用平行线的性质、角的运算即可完成． 【详解】（1）解：如图，过点作， 因为，所以， 所以，， 所以． 因为，所以， 所以， 所以； （2）解：（ⅰ）略； （ⅱ）；说明略． 变式1．（25-26七年级下·广东惠州·期末）已知：如图，直线、被直线所截，． (1)如图①，直接写出直线与的位置关系：____________________． (2)如图①，分别与、交于点、，平分，平分，请判断与的位置关系，并证明你的结论； (3)如图②，点在与之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分．请猜想和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)平行 (2)与的位置关系是垂直；证明如下： 如图，过点H作，则， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ； (3)，证明如下： ∵平分，平分， ∴， 由（2）中证明知， ∴， 即， ∵， ∴， 即． 【分析】（1）由对顶角相等可得同位角相等，从而由平行线的判定即可得直线与的平行关系； （2）与的位置关系是垂直；过点H作，由角平分线的性质及平行线的性质即可证明； （3）利用（2）中的结论及互补关系即可完成． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 即直线与的位置关系是平行； （2）解：与的位置关系是垂直； 证明略； （3）解：； 证明略． 变式2．（25-26七年级下·湖北随州·期末）构造辅助平行线，是几何问题中“化散为聚”的核心技巧之一，它实现角度的转移与转化，是初中几何从直观感知走向逻辑推理的关键一步． (1)【问题情境】 如图1，，点在直线，之间，点，分别在直线，上，连结，．小明对该图形进行了研究，他过点作，证明了，与之间的数量关系为：________． (2)【深入探究】 图2是一盏可调节台灯示意图．为水平底座，支撑杆垂直于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度．在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯至如图所示位置，且各线段在同一平面上，使外侧光线，，求的度数． (3)【迁移应用】 如图3，，，，如果点在射线上运动（点与点，，三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1)； 证明：点作， ∴， ∴，， ∴， 即：． (2) (3)或或． 【分析】（1）点作，则，根据平行线的性质得出，，即可得出． （2）延长，交于点，过作，证明，再利用平行线的性质可得答案； （3）分三种情况求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：延长，交于点，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在线段上时， 过点P作， ∵， ∴， ∴． ∴； 当点P在之间时， 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在射线上时， 过点P作， ∵， ∴， ∴． ∴． 综上：或或． 变式3．（24-25七年级下·河北沧州·期末）【特例探究】如图 1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为__________； 【总结归纳】 (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)已知，点，分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分，平分． ①如图 2，若点，均在直线和之间，且，求的度数； ②如图 3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分，设（），请用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)，理由如下： 如图1，过点P作， ， ； (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， （2）略 （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $