精品解析：山东省淄博市高新区2025-2026学年初二下学期数学期末考试（五四制）

2025～2026学年度第二学期期末学业质量检测 初二数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角互补 C. 两直线平行，同位角相等 D. 三角形的外角等于两个内角的和 3. 两根木条，按如图所示的方式放在地面上，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 在共装有5只红球的袋子里，摸出一只白球 B. 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 C. 买一张体育彩票，中大奖 D. 小海在练习篮球投篮时5投全中 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，若，平行于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（ ） A. 85 个 B. 75个 C. 15 个 D. 16 个 9. 如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若点是的中点，则周长等于的长．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④ 10. 在平面直角坐标系中，若点的坐标、均为整数，则称点为格点．若一个多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为，则该格点多边形的面积可表示为，其中，为常数，例如图中是格点三角形，对应的，，．若某格点多边形对应的，，则值为（ ） A. 120 B. 110 C. 105 D. 100 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 命题“若，则”是________命题（填“真”或“假”）． 12. 已知关于，的方程组，则的值为____________． 13. 下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 14. 如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集为______． 15. 如图，直线，点在上，，平分，且CA平分．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是_____．（填序号） 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 解不等式组：，并写出满足不等式组的所有整数解． 17. 本学期学校组织了爱心义卖活动，某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）填空：_______；_______； （2）当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为________；（结果精确到0.1） （3）小明和小红想玩转动转盘游戏，约定游戏规则：得到奖品“贴纸”则小明获胜，否则小红获胜，请问这个游戏公平吗？为什么？ 18. 请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，平分，平分，． 求证：． 证明：（已知）， _____（_____）． 平分，平分（已知）， ，_____（角平分线的定义）． _____（等式的性质）． _____（_____）． （已知）， _____． ， （_____）． 19. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，已知型机器人每台每天可分拣快递万件；型机器人每台每天可分拣快递万件． 相关信息如下： 型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） （1）求，两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买，两种型号智能机器人共台，费用不超过万元，则需要购买、型号智能机器人各多少台，能使每天分拣快递的件数最多？ 21. 教材呈现： 定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合． （1）如图，已知线段，请用尺规作，使，高；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）中是高的条件下，对教材呈现中的定理进行证明． 22. 定义：若点的坐标满足，则称点为“好点”． （1）判断点、是否为“好点”； （2）若点和点都是“好点”，求、的值； （3）已知关于，的方程组的解对应的点恰好是“好点”，且，（）为正整数，方程组的解，也是整数，求所有符合条件的，的值． 23. 在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且． （1）试说明：； （2）在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论； （3）若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要求证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末学业质量检测 初二数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：解不等式， 移项，得， 系数化为1，得， 解集为， 在数轴上表示时，2处应为空心圆圈，且方向向左， 观察选项可知，D选项符合题意． 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角互补 C. 两直线平行，同位角相等 D. 三角形的外角等于两个内角的和 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A、相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，故A是假命题，不符合题意.； 选项B、只有两直线平行时，同旁内角才互补，该命题缺少前提条件，故B是假命题，不符合题意； 选项C、两直线平行，同位角相等，是平行线的基本性质定理，故C是真命题，符合题意； 选项D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，不是任意两个内角的和，故D是假命题，不符合题意． 3. 两根木条，按如图所示的方式放在地面上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质，求出的度数，进而求出的度数即可. 【详解】解：由图可知：， ∵，， ∴， ∴. 4. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义逐一判断选项． 【详解】解：选项A中，方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数最高次数为1，符合二元一次方程组的定义，故A正确； 选项B中，方程的未知数次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故B错误； 选项C中，方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故C错误； 选项D中，两个方程都含有分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故D错误． 5. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 在共装有5只红球的袋子里，摸出一只白球 B. 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 C. 买一张体育彩票，中大奖 D. 小海在练习篮球投篮时5投全中 【答案】A 【解析】 【分析】根据不可能事件的定义判断，不可能事件是指一定不会发生的事件，逐一分析各选项的事件类型即可得到结果． 【详解】解： A、袋子中只有只红球，没有白球，一定不可能摸出白球，属于不可能事件，符合要求； B、 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求； C、 买一张体育彩票中大奖，可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求； D、 小海投篮投全中，可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求． 故选：A． 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可； 【详解】解：A，∵，可得，但不一定小于，例如时，，原变形错误，不符合题意； B，∵，不等式两边同时减1，不等号方向不变，∴，原变形正确，符合题意； C，∵，不等式两边同时乘，不等号方向改变，∴，原变形错误，不符合题意； D，∵，不等式两边同时除以2，不等号方向不变，∴，原变形错误，不符合题意． 7. 如图，在中，若，平行于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，根据平行公理的推论可得，利用两直线平行内错角相等建立角之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ． 8. 布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（ ） A. 85 个 B. 75个 C. 15 个 D. 16 个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 9. 如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若点是的中点，则周长等于的长．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线的判定与性质等，解题关键是读懂题意，牢记相关概念并利用转化的思想．先证明，即可判断①，再证明，即可判断②，延长交于点M，证明即可判断③，利用垂直平分线的判定与性质即可判断④． 【详解】解：，分别为，边上的高， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ， ∵， ∴，故②错误； 延长交于点M， ， ， ， ∴，故③正确； ∵点是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ， ∴即周长等于的长，故④正确； 故正确的结论有①③④． 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，若点的坐标、均为整数，则称点为格点．若一个多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为，则该格点多边形的面积可表示为，其中，为常数，例如图中是格点三角形，对应的，，．若某格点多边形对应的，，则值为（ ） A. 120 B. 110 C. 105 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用和四边形的，，值建立关于的二元一次方程组，求出的值，确定面积公式，最后代入，求解即可． 【详解】解：由题意及图形可知： 对于，，，， ∴ ，即 ① 对于四边形，其面积， 内部格点数（点），边界格点数（点，，，及中点，中点）， ∴ ，即 ②， 联立①②得 ， 解得， ∴ ， 当，时，． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 命题“若，则”是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】 假 【解析】 【分析】根据命题真假的判定规则，找到满足条件但不满足结论的反例，即可判断该命题的真假． 【详解】解：当时，，满足的条件， 但当，不满足的结论， 该命题为假命题． 12. 已知关于，的方程组，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用整体法将两个方程直接相减，整理即可得到的值． 【详解】解：， ①②得：， 去括号得：， ∴． 13. 下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【解析】 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 14. 如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用图象法进行求解即可. 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为. 15. 如图，直线，点在上，，平分，且CA平分．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是_____．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①根据角平分线的定义得出，，再根据，即可得出，于是推出；②由角平分线的定义结合已知推出，再根据内错角相等，两直线平行即可得出；③由两直线平行，内错角相等得出，结合角平分线的定义得出，结合①的结论即可得出；④先证，再根据平行线的性质即可得证；⑤求得，推出，即可判断． 【详解】解：平分， ， 平分， ， ， ， ， 即，故①正确； 平分， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ， 由①知， ，故③正确； 平分， ， ， ， ， ， ，故④正确； ∵，， ∴， ∴，即，故⑤错误； 综上，正确的有：①②③④． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 解不等式组：，并写出满足不等式组的所有整数解． 【答案】；整数解为，，，， 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式，再取公共部分得到不等式的解集，最后在解集中写出所有整数解即可. 【详解】 解不等式①，得 解得， 解不等式②，得 解得， 原不等式组的解集为 不等式组的所有整数解为，，，，． 17. 本学期学校组织了爱心义卖活动，某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）填空：_______；_______； （2）当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为________；（结果精确到0.1） （3）小明和小红想玩转动转盘游戏，约定游戏规则：得到奖品“贴纸”则小明获胜，否则小红获胜，请问这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】（1）0.305，148 （2）0.3 （3）游戏公平，理由见解析 【解析】 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：由表格可知，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； 【小问3详解】 解：游戏公平，理由如下： 观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“贴纸”有5份，不是“贴纸”有5份． ∴（小明获胜），（小红获胜）； ∴（小明获胜）（小红获胜） ∴这个游戏公平． 18. 请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，平分，平分，． 求证：． 证明：（已知）， _____（_____）． 平分，平分（已知）， ，_____（角平分线的定义）． _____（等式的性质）． _____（_____）． （已知）， _____． ， （_____）． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． 平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）． （等式的性质）． （三角形内角和定理）． （已知）， ． ． （内错角相等，两直线平行）． 19. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）先得到，继而求出，然后由的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵，且E为的中点 ∴垂直平分． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，已知型机器人每台每天可分拣快递万件；型机器人每台每天可分拣快递万件． 相关信息如下： 型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） （1）求，两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买，两种型号智能机器人共台，费用不超过万元，则需要购买、型号智能机器人各多少台，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】（1）型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元； （2）购买型智能机器人台，型智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多. 【解析】 【分析】（1）设型单价万元，型单价万元，根据表格两组费用信息列二元一次方程组，解方程组求出两种机器人单价； （2）设购进型台，则型台，先根据总费用不超过万元列不等式求出取值范围，再列出每日分拣总量的一次函数，利用一次函数增减性确定分拣量最大时的取值，得到采购方案． 【小问1详解】 解：设型机器人单价万元，型机器人单价万元．则 ， 解得， ∴型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元． 【小问2详解】 解：设购买型台，则型台．则 ， 解得， 设每日分拣总量为万件：， ∵，随增大而增大，且，为非负整数， ∴时最大，此时， ∴购买型台，型台时分拣件数最多． 21. 教材呈现： 定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合． （1）如图，已知线段，请用尺规作，使，高；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）中是高的条件下，对教材呈现中的定理进行证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作线段再作的垂直平分线交于点，作，再连接相关线段即可； （2）证明．则，，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：． ． 在和中． ∴． ∴，． 即是等腰三角形中边的中线，也是顶角的平分线． ∴等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线也是底边上的高重合 22. 定义：若点的坐标满足，则称点为“好点”． （1）判断点、是否为“好点”； （2）若点和点都是“好点”，求、的值； （3）已知关于，的方程组的解对应的点恰好是“好点”，且，（）为正整数，方程组的解，也是整数，求所有符合条件的，的值． 【答案】（1） 点和点都是“好点”； （2） ，； （3） 所有符合条件的值：；；；；． 【解析】 【分析】（1）将两个点代入验证即可； （2）先根据“好点”的定义，将点坐标代入得到方程组，然后解方程组即可； （3）先解方程组，再根据，为正整数，方程组的解，也是整数，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点为“好点”； ∵， ∴点为“好点”； 【小问2详解】 解：∵点和点都是“好点”， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， 由得，代入， 得，即， ∴， 因为，为整数，且，（）为正整数， 所以必须整除，且为整数． 当时，为整数，得或； 当时，为整数，得； 当时，为整数，得或 ； ∴综上，所有符合条件的值为：；；；；． 23. 在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且． （1）试说明：； （2）在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论； （3）若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要求证明）． 【答案】（1）见讲解； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，同角的补角相等，平角的定义，熟练掌握以上知识点，找到条件证明三角形全等是解题的关键． （1）由同角的补角相等，结合题目给出的边相等，证明，由全等三角形的对应边相等，得证； （2）结合（1），证明； （3）结合（1），证明． 【小问1详解】 ， ， 【小问2详解】 猜想： 由（1）可知， ，， ， 得证； 【小问3详解】 当成立 由（1）可知， ，， ， 得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $