期末模拟试题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版

**基本信息** 高二数学期末模拟卷覆盖人教A版全部内容，以多选（如复数性质判断）、解答题（如导数应用比较2.8与e大小）为载体，融合逻辑推理与数学建模，体现用数学思维分析解决问题的核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|集合、直线、向量投影等|基础概念辨析，如双曲线离心率计算| |多选|3|复数、线性回归、三角函数图像|选项分层，如线性回归残差分析| |填空|3|二项式定理、椭圆与圆相切等|开放创新，如抽象函数解析式设计| |解答|5|向量与三角、立体几何、导数等|综合应用，如抛物线切线与三角形面积最小值|

期末模拟试题 2025-2026学年高二数学人教A版（2019） 下学期（高中人教A版全部内容） 一、单选题 1．若集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知直线，若，则的值为（　　） A． B．3 C．-1 D．3或-1 3．在中，，那么向量在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 4．某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 5．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 6．已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 7．甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 8．关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知为复数，则下列结论一定正确的是（   ） A．如果，那么 B． C．方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆 D． 10．某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.村村民年这四年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示.若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ） 年份 2021 2022 2024 2025 年份代号 4 5 7 8 人均年纯收入 2.1 5.9 A． B．2030年村人均年纯收入约为7万元 C．预估从2025年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元 D．2025年的人均年纯收入残差值为0.1 11．已知函数的部分图象如图，则（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．函数的零点个数为11个 D．在上的零点之和为 三、填空题 12．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中所有各项的系数和为______. 13．椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为__________. 14．已知定义在上的函数满足下列两个条件： ①；②. 请你写出一个符合要求的函数解析式__________. 四、解答题 15．已知向量，，， (1)求的单调递增区间； (2)设的内角，，的对边分别为，，，，且的内切圆半径为1，求的面积. 16．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值. 17．已知函数，其中. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)试比较2.8与的大小并证明. 18．二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若，则.多项分布是二项分布的推广，同样是重复次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有种，记这种结果为事件，它们的概率分别为，则.现考虑某厂生产的产品分成一等品､二等品､三等品和不合格品，它们出现的概率分别为，从该厂产品中抽出个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的. (1)若从该厂产品中抽出4个，且和分别为和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率； (2)现从该厂中抽出个产品，记事件出现的次数为随机变量.为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件的概率，其中为非负整数，. （i）求； （ii）对于上述多项分布，求在给定的条件下，随机变量的数学期望. 19．已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为 ①求证：为直角三角形. ②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B D C C B BCD AC 题号 11 答案 ACD 1．C 首先化简求解集合、，再求即可. 因为集合，集合， 所以. 故选：C 2．A 根据直线平行公式计算求参. 当或时两直线不平行， 当且时， 因为， 所以， 故选:A． 3．A 根据题意得在方向上的投影向量为：，再求解计算即可. 中，∵，∴， 所以在方向上的投影向量为： . 故选：A. 4．B 利用全概率公式进行计算即可. 利用全概率公式计算， 即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是， 故选：B. 5．D 根据渐近线方程可得，结合双曲线可求离心率. 因为双曲线的渐近线方程为， 所以， ， 所以双曲线的离心率为2. 故选：D. 6．C 设切点为，再根据切点在曲线与切线上，以及导数的几何意义可得，最后根据函数的单调性以及即可得解. 因为， 所以， 设直线与曲线的切点为， 所以， 所以，且， 令函数，， 因为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 7．C 根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式，结合、方差的性质列式求出最大值. 依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又， 所以当时，取得最大值. 故选：C 8．B 通过同构构造，利用单调性脱去外层，转化为简单的参数分离与最值分析. 由题，将不等式变形得，令，则原不等式等价于， 当时，，此时不等式恒成立； 当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因为，所以，，不等式转化为，即（＊）； 令，则，在单调递增，则，且当时，所以为使（＊）对于对恒成立，必须且只需. 综上所述，. 9．BCD 复数不能比较大小可判断A；根据共轭复数概念及复数加法计算可判断B；根据复数模长的几何意义可判断C；根据复数模长的概念及复数的乘法计算可判断D. 对于A，复数不能比较大小，故A错误； 对于B，设， 则，， 所以成立，故B正确； 对于C，方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆，故C正确； 对于D，设， 则，， ，，， 所以成立，故D正确. 故选：BCD 10．AC 求出样本中心代入回归方程求参数判断A，将代入回归方程估计2030年村人均年纯收入判断B，由回归直线斜率的实际意义判断C，由残差的求法判断D. 由表中数据可知，， 线性回归方程为，则，解得，故A正确； 由2030年对应，故2030年村人均年纯收入约为万元，故B错误； 线性回归方程为，直线的斜率为1，则从2025年起，预估每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元，故C正确； 2025年的人均年纯收入残差值为，故D错误. 故选：AC 11．ACD 先由因式分解和余弦的二倍角公式求出函数解析式，根据函数图象得出函数的周期和所过的点，求出函数的两个参数，得到具体函数解析式，再根据余弦函数的对称轴，单调区间，零点，和最值，分别判断各选项正误. 由题意得， 由图象可知，解得，所以，解得， 所以，图象经过点，且在处递增趋势， 可得，解得，因为，所以， 可得， 当时，，所以是函数图象的对称轴，所以A正确； 当时，，可知在此区间上不单调，所以B错误； 令，即， 可知，最小正周期为， ，当时，， 当时，，解得， 易知单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以可得大致图象： 由图可知，曲线与有11个交点，所以C正确. 令，则，解得， 当时，可知或0，则有两个零点，， 零点之和为，所以D正确； 故选：ACD. 12．64 由题意可得二项式展开式有7项，从而可求出，然后令可求出展开式中所有各项的系数和. 因为在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， 所以二项式展开式有7项，所以， 所以二项式为， 令，则， 所以展开式中所有各项的系数和为64， 故答案为：64 13． 求导可得椭圆在的切线斜率为，进而可得点的轨迹方程为（），利用点到直线的距离公式即可求解最小值. 由可得， 由于直线与椭圆相切于，故上半椭圆的方程为， 求导得，因此， 故椭圆在的切线斜率为，由于直线于圆也相切于， 故圆心所在的直线斜率为1，且经过点，故点的轨迹方程为（）， ，故的最小值为到的距离， 故答案为： 14．（答案不唯一） 根据已知条件写出一个符合题意的函数即可. 因为， 所以，可得， 设，可得. 因为， ， 所以， 且，符合题意. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对已知条件化简得到，再构造函数. 15．(1) (2) （1）根据向量数量积公式及三角恒等变换得到，从而利用整体法求出函数单调递增区间； （2）先利用余弦定理求出，再利用等面积法求出，从而可求解. （1）由向量，， 所以， 所以，，解得：，， 所以的单调递增区间. （2）由可得：，又因为， 所以，解得：. 余弦定理可得：，则， 由等面积法可得，则， 联立得，所以的面积, 故的面积为. 16．(1)证明见解析 (2) （1）利用空间的线面垂直的判定与性质定理即可得证； （2）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求两平面的夹角余弦值即可. （1） 如图，连接，在中，， 在正方形中，，又因为平面， 所以平面，又因为，所以平面， 而平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）在中，因为，， 所以由余弦定理可得：， 因为平面，所以，在中， 由勾股定理得：， 又在中，由余弦定理得：. 如图以为原点，分别为轴，过且垂直底面的直线为轴建系， 则，，， 则，， 设为平面的法向量，则，取， 设为平面的法向量，则，取， 所以， 故平面与平面形成的锐二面角的余弦值. 17．(1)； (2)； (3)，证明见解析. （1）把代入，求出的导数，再解不等式即得. （2）利用导数求出函数的最小值，建立不等式并求解即可. （3）在（2）中取可得，再赋值并作近似计算推理即得. （1）函数的定义域为，当时，， 求导得， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. （2）依题意，，， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，由恒成立，得恒成立， 则，即，解得， 所以的取值范围是. （3）由（2）知，当时，，即， 令，有，而， ， 则，两边取对数得，所以. 18．(1) (2)（i）；（ii） （1）根据多项分布求概率； （2）（i）根据多项分布求概率； （ii）根据二项分布得到，然后利用条件概率的计算公式得到，最后根据二项分布期望的性质计算即可. （1）记从该厂产品中抽出4个，且恰好抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个为事件，则， （2）（i）， （ii）若把事件作为一方，则作为另一方， 那么随机变量分布列为， 即服从二项分布列为， 同理可知：. 所以 . 所以在给定的条件下，随机变量服从二项分布，即， 所以此时，随机变量的数学期望为. 【点睛】关键点睛：（ii）解题关键在于通过计算得到在给定的条件下随机变量服从二项分布，然后求期望即可. 19．(1) (2)①证明见解析；②最小值4，此时. （1）设直线方程，联立抛物线方程消元，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得； （2）①利用导数的切线方程，结合韦达定理即可证明；②根据点P坐标满足①中切线方程可得直线AB方程，然后由弦长公式和点到直线的距离公式可得面积，然后可解. （1）设直线的方程为，代入抛物线， 可得，设，，则 点为线段的中点，可得，即则抛物线的方程为.    （2）①设，，由，可得，则， 所以，两点处的切线斜率分别为，， 由，得，所以，， 所以，所以，即为直角三角形.    ②由（1）知，即：，同理， 由直线，都过点，即， 则点，的坐标都满足方程， 即直线的方程为：， 又由直线过点，∴， 联立得， ∴， 点到直线的距离， ∴ ∴ 当且仅当时，有最小值4，此时 学科网（北京）股份有限公司 $