期末复习：二项分布、独立重复试验的概率问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦二项分布与独立重复试验的概率计算，通过实际情境构建概率模型，培养数据观念与模型意识，覆盖分布列、期望等核心考法。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二项分布|3例+3变式|结合频率估计概率、有放回抽样，求分布列与期望|以独立重复试验为基础，通过n次独立试验中成功次数的概率分布建模| |独立重复试验|3例+3变式|涉及比赛胜负、投篮测试等多轮试验，计算事件概率|强调每次试验独立性及事件发生概率稳定性，为二项分布提供现实背景|

期末复习：二项分布、独立重复试验的概率问题专项训练 期末复习：二项分布、独立重复试验的概率问题专项训练 考点目录 二项分布 独立重复试验的概率问题 考点一 二项分布 例1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革.某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在范围的人数，求X的分布列； (2)假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在范围的人数，求Y的分布列. 例2．（25-26高二下·四川宜宾·期末）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时，甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求和． (2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 例3．（25-26高二下·广东广州·期中）根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 变式1．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）一个袋子中有3个红球，3个绿球，这些球只有颜色不同．从袋中依次随机摸出2个球作为样本，设采用有放回和不放回摸球的两种方式摸球． (1)有放回摸球得到的样本中绿球的个数为X，求X的分布列与数学期望； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，所得样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 变式2．（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 变式3．（2026·山西忻州·模拟预测）某通信系统传输信号0或1，设一次发送的真实信号为1的概率为p，为0的概率为，若真实信号为1，单次接收正确为1的概率为；若真实信号为0，单次被误收为1的概率为，各次接收相互独立． 系统采用“三次多数译码”规则：同一真实信号连续发送三次，若三次接收结果中1出现次数不少于2，则最终译码为1；否则最终译码为0，在一次实验中，共传输个信号，其中个最终译码为1，用频率估计概率． (1)求p的估计值； (2)在（1）的估计下，若某个信号最终译码为1，求其真实信号为1的概率； (3)在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取5个，记其中真实信号为1的个数为X，求与． 考点二 独立重复试验的概率问题 例1．（25-26高二下·湖北十堰·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：甲先投，每轮每人各投一次，先投中者获胜并结束比赛；若两人均未投中，则进入下一轮，直至有人投中.已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且每轮结果相互独立，，. (1)求甲在第一轮获胜的概率； (2)设比赛共进行了轮（即第轮有人投中，且前轮均无人投中），求的分布列和数学期望 ； (3)若 ，，求甲最终获胜的概率. 例2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）某高校自主招生面试设置了3道必答题，每道题答对得10分，答错得0分；设置了2道选答题，考生可从中任选1道作答，答对得20分，答错得0分.已知考生甲答对每道必答题的概率均为，答对每道选答题的概率均为，各题答题结果相互独立. (1)求考生甲恰好答对2道必答题的概率； (2)记考生甲的总得分为，求的分布列和数学期望. 例3．（25-26高二下·上海·期末）在上海市实验学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的概率； (2)时，若两人共进行（，）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．当时，试判断与的大小，并说明理由． 变式1．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中全都猜对的概率； (2)求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率； (3)求“星队”在两轮活动中至少猜对1个成语的概率． 变式2．（25-26高二下·上海徐汇·期末）A，B两人下棋，每局均无和棋且每局A获胜的概率为，每局比赛相互独立．某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金． (1)求A以 获胜的概率； (2)若第一局比赛A已获胜，后两人因为其他要事而终止比赛，他们都认为依据（在现有的状态下）两人最终胜的可能性大小按比例分配奖金最公平，问两人应如何分配奖金？ 变式3．（2026·重庆·模拟预测）小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． (1)求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； (2)记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望； (3)求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：二项分布、独立重复试验的概率问题专项训练 期末复习：二项分布、独立重复试验的概率问题专项训练 考点目录 二项分布 独立重复试验的概率问题 考点一 二项分布 例1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革.某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在范围的人数，求X的分布列； (2)假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在范围的人数，求Y的分布列. 【答案】(1)X分布列为 X 0 1 2 P (2)Y分布列为 Y 0 1 2 P 0.49 0.42 0.09 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出，结合分层抽样方法求出评分在及的抽样人数，得到的可能取值并求出对应的概率，即可得到分布列. （2）根据二项分布求解分布列即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得. 评分在的频率为，抽取的人数为， 评分在的频率为，抽取的人数为， 则X的可能取值为0，1，2， 则，，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P （2）因为评分在的频率为，用频率估计概率， 则全校学生评分在的频率为0.3， 所以Y的可能取值为0，1，2，且~， 所以，，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 0.49 0.42 0.09 例2．（25-26高二下·四川宜宾·期末）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时，甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求和． (2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）使用二项分布的期望公式与方差公式求解； （2）使用互斥事件概率公式和独立事件概率公式求解. 【详解】（1）因为甲每道题答对的概率均为，则， 所以，． （2）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则，， ，， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为． 例3．（25-26高二下·广东广州·期中）根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 【分析】（1）将事件“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”拆分为“抽取的是本地会员且满意”和“抽取的是外地会员且满意”这两个互斥事件，分别计算出其概率再相加. （2）先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布的概率公式求出的分布列，最后利用数学期望公式计算期望. 【详解】（1）设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员是本地会员”，事件表示“抽取的会员是外地会员”. 因为本地会员占70%，外地会员占30%，. 本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，. . 即该店所有会员中随机抽取1名会员，其对该店商品质量满意的概率为. （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，每名会员对该店商品质量满意的概率为，且每名会员对该店商品质量满意与否相互独立，故随机变量. 由题意，可取. . 的分布列为 0 1 2 3 . 变式1．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）一个袋子中有3个红球，3个绿球，这些球只有颜色不同．从袋中依次随机摸出2个球作为样本，设采用有放回和不放回摸球的两种方式摸球． (1)有放回摸球得到的样本中绿球的个数为X，求X的分布列与数学期望； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，所得样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 【答案】(1)X的分布列为： 0 1 2 数学期望； (2)有放回摸球对应概率为，不放回摸球对应概率为，不放回摸球的概率更大，说明相同样本量下，不放回抽样的估计精度更高，更适合用于总体参数估计. 【分析】（1）判断有放回摸球时服从二项分布，计算各取值对应概率得到分布列，代入二项分布期望公式求期望. （2）将误差条件转化为绿球个数的取值范围，分别计算有放回、不放回摸球时对应概率，比较大小并说明实际意义. 【详解】（1）由题得袋子中共有6个球，其中绿球3个，故每次有放回摸球时，摸到绿球的概率为. 的可能取值为0,1,2，且. ∵ ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 数学期望. （2）总体中绿球的比例为，样本中绿球比例为（为摸出的绿球个数），误差的绝对值不超过0.2等价于. 解不等式得，又为整数，故. ① 有放回摸球时，所求概率为. ② 不放回摸球时，服从超几何分布，，故所求概率为. ∵ ，故不放回摸球时误差绝对值不超过0.2的概率更大. 实际意义：相同样本量下，不放回抽样对总体比例的估计精度更高，更适合用于抽样调查中估计总体参数. 变式2．（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算 【分析】（1）先求出顾客享受到免单优惠的概率，再根据独立事件的概率乘法公式求解即可. （2）结合离散型随机变量及二项分布的期望公式分别求出方案一、方案二的数学期望，比较即可. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 变式3．（2026·山西忻州·模拟预测）某通信系统传输信号0或1，设一次发送的真实信号为1的概率为p，为0的概率为，若真实信号为1，单次接收正确为1的概率为；若真实信号为0，单次被误收为1的概率为，各次接收相互独立． 系统采用“三次多数译码”规则：同一真实信号连续发送三次，若三次接收结果中1出现次数不少于2，则最终译码为1；否则最终译码为0，在一次实验中，共传输个信号，其中个最终译码为1，用频率估计概率． (1)求p的估计值； (2)在（1）的估计下，若某个信号最终译码为1，求其真实信号为1的概率； (3)在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取5个，记其中真实信号为1的个数为X，求与． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先通过二项分布计算不同真实信号下译码为1的条件概率，再利用全概率公式结合频率估计概率构造方程求解； （2）利用条件概率公式计算求解； （3）判断服从二项分布，再利用期望、方差公式计算求解． 【详解】（1）设事件表示“真实信号为1”，事件表示“最终译码为1”， 则， 真实信号为0时，最终译码为1的概率为： ． 由频率估计概率，最终译码为1的概率为， 又真实信号为1的概率为p， 由全概率公式, 化简整理得，解得． （2）由条件概率公式，． （3）在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取一个，其真实信号为1的概率为， 抽取互相独立，故服从二项分布． ，． 考点二 独立重复试验的概率问题 例1．（25-26高二下·湖北十堰·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：甲先投，每轮每人各投一次，先投中者获胜并结束比赛；若两人均未投中，则进入下一轮，直至有人投中.已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且每轮结果相互独立，，. (1)求甲在第一轮获胜的概率； (2)设比赛共进行了轮（即第轮有人投中，且前轮均无人投中），求的分布列和数学期望 ； (3)若 ，，求甲最终获胜的概率. 【答案】(1) (2)的分布列， (3) 【分析】（1）甲首轮获胜只需首次投篮命中，独立事件直接得概率； （2）表示比赛轮数，前轮两人全未投中、第轮有人投中，符合几何分布，利用几何分布期望公式化简求出； （3） 甲获胜为无穷互斥事件，以每轮两人均未命中的概率为公比构造无穷等比级数求和，代入数值算出最终概率． 【详解】（1）甲在第一轮获胜只需第一轮甲投中，所以概率为. （2）每轮两人均未投中的概率为 ，则 即服从参数为 的几何分布， 故. （3）甲最终获胜的事件可以在第轮甲投中，且前（）轮均无人投中： 甲获胜的概率， 代入，，得. 例2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）某高校自主招生面试设置了3道必答题，每道题答对得10分，答错得0分；设置了2道选答题，考生可从中任选1道作答，答对得20分，答错得0分.已知考生甲答对每道必答题的概率均为，答对每道选答题的概率均为，各题答题结果相互独立. (1)求考生甲恰好答对2道必答题的概率； (2)记考生甲的总得分为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，30 【分析】（1）由独立重复试验求解即可； （2）由总得分的可能取值为0，10，20，30，40，50，由此求解分布列与数学期望即可. 【详解】（1）3道必答题中恰好答对2道的概率. （2）因为必答题的得分可能为0，10，20，30，选答题的得分可能为0，20， 所以总得分的可能取值为0，10，20，30，40，50. 若必答题全错且选答题答错，则； 若只答对1道必答题且选答题答错，则； 若只答对2道必答题且选答题答错或必答题全错且选答题答对， 则； 若答对3道必答题且选答题答错或只答对1道必答题且选答题答对， 则； 若只答对2道必答题且选答题答对，则； 若答对3道必答题且选答题答对，则. 因此，的分布列为 0 10 20 30 40 50 所以. 例3．（25-26高二下·上海·期末）在上海市实验学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的概率； (2)时，若两人共进行（，）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．当时，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，，，. (3). 【分析】（1）利用进行5局比赛，两人所赢局数之差的绝对值为，即为甲赢3局乙赢2局或甲赢2局乙赢3局可解. （2）分析前局甲赢k局后，剩余2局甲需赢多少局才能获胜；根据k的不同范围，判断剩余两局的胜负可能性，当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，求出其概率；当时，需要赢剩余2局，求出其概率；当时，需要赢至少1局，求出其概率；当时，已满足获胜条件，概率为1. （3）利用全概率公式求得，求出，求出，利用基本不等式得证. 【详解】（1）总共进行5局，是甲乙赢局数之差的绝对值，即为甲赢3局乙赢2局、甲赢2局乙赢3局. 所以. （2）当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为；； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故，，，. （3）由全概率公式得 因为，所以，.所以. 因为，所以，即. 变式1．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中全都猜对的概率； (2)求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率； (3)求“星队”在两轮活动中至少猜对1个成语的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算单轮甲乙都猜对的概率，再根据两轮独立的性质，用独立事件概率乘法公式计算两轮全猜对的概率； （2）分析出猜对3个成语的两种互斥情况，分别计算概率后用互斥事件加法公式求和得到结果； （3）利用对立事件简化计算，先计算两轮活动中所有成语全猜错的概率，再用1减去该概率得到至少猜对1个的概率. 【详解】（1）分别用表示甲在第一轮、第二轮活动中猜对；用表示乙在第一轮、第二轮活动中猜对， 则，​； ​，​，所有事件相互独立. “全都猜对”即两轮共4个成语全部猜对，概率为​， （2）猜对3个即恰好1个猜错，分两类： 甲猜错1个，乙全对：概率为 ​ 乙猜错1个，甲全对：概率为 总概率为： （3）至少猜对1个成语的概率 “至少猜对1个”的对立事件是“全部0个猜对（全猜错）”， 全猜错的概率为： 因此至少猜对1个的概率为：. 变式2．（25-26高二下·上海徐汇·期末）A，B两人下棋，每局均无和棋且每局A获胜的概率为，每局比赛相互独立．某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金． (1)求A以 获胜的概率； (2)若第一局比赛A已获胜，后两人因为其他要事而终止比赛，他们都认为依据（在现有的状态下）两人最终胜的可能性大小按比例分配奖金最公平，问两人应如何分配奖金？ 【答案】(1) (2)A获得2400元，B获得300元 【分析】（1）根据独立重复事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立重复事件概率公式，结合概率加法的运算公式进行求解即可. 【详解】（1）A以 获胜的概率为； （2）第一局比赛A已获胜，五局三胜制下获胜需要累计获得3局胜利，即在剩余最多4局中至少赢得2局即可获胜，分三类情况计算获胜的概率： 当接下来2局比赛后甲连胜，直接结束比赛：此时甲赢得比赛的概率为； 当接下来3局比赛后甲获胜（前2局甲1胜1负，第3局甲胜）：此时甲赢得比赛的概率为 ； 当接下来4局比赛后甲获胜（前3局甲1胜2负，第4局甲胜）： 此时甲赢得比赛的概率为， 所以A获胜的概率为， 所以A获得元，B获得元. 变式3．（2026·重庆·模拟预测）小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． (1)求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； (2)记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望； (3)求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设事件为第次投中，则前次投篮中就通过测试可表示，再由概率的加法公式及相互独立事件概率可得； （2）先确定的可能的值，再分别计算相应的概率及期望可得； （3）先计算通过测试概率，再计算前三次通过测试的概率，进而由条件概率公式可得. 【详解】（1）设事件为第次投中， 则小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率为：． （2）的所有可能取值为：． ，， ，． 则的分布列为： ． （3）设事件：小溪同学通过测试，事件：小溪同学恰好投篮了三次， 因为投篮五次通过概率为， 则，， 则在通过测试的情况下，小溪同学投篮了三次的概率为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $