一元二次方程与系数的关系衔接练 -2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接

**基本信息** 2026-2027新高一暑期初高中数学衔接题集，聚焦一元二次方程与系数关系，通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度设计，强化初高中知识衔接与综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|根的判别式、含参方程根的情况、韦达定理应用|结合电路情境，考查知识迁移| |填空题|9|判别式取值范围、韦达定理、代数式求值|注重基础公式变形与逆向思维| |解答题|6|解方程（公式法/因式分解法/配方法）、韦达定理综合应用、新定义“倍根方程”|梯度分明，含等腰三角形与方程结合、创新定义问题，衔接高中逻辑推理要求|

初高衔接点--一元二次方程与系数的关系 衔接练 2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当 时，方程没有实数根 B．当 时，方程有两个相等的实数根 C．当 时，方程有两个不相等的实数根 D．方程根的情况与m的值无关 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A．2 B．1 C． D． 4．关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（    ） A． B． C． D． 6．设、是方程的两个根，且，则的值是（ ） A．2 B． C．6 D． 7．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（ ） A．175 B．210 C．245 D．365 8．如图，电路中有三个定值电阻，，，且，的阻值（单位:Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是（ ） A． B． C． D． 9．关于x的方程的两个根，，满足，则m的值为（ ） A．5 B． C． D．1 10．若一元二次方程的两根为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 12．已知实数满足，则代数式的值是______． 13．已知关于的一元二次方程的两个根互为倒数，则____________ 14．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 15．设，是方程的两个根，则的值为______． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 17．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 18．两个非零实数，（）满足，，则的值为______． 19．已知方程的两根分别为，，则的值为______． 三、解答题 20．用适当的方法解下列方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）； (3)（配方法）． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 23．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 24．为实数，关于的方程为． (1)求证：不论为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两根均不大于1，试求的取值范围． 25．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断 是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D B D A B C C 1．B 【详解】∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 2．C 【分析】原方程可化为，再利用根的判别式计算即可得. 【详解】∵原方程可化为， ∴， 方程根的情况与m的值有关，故D选项错误； 当时，即时，方程没有实数根，故A选项错误； 当时，即时，方程有两个相等的实数根，故B选项错误； 当时，即时，方程有两个不相等的实数根， ∴当时，方程必有两个不相等的实数根，故C选项正确． 3．D 【详解】∵ 一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得 ， 因选项中只有，故D正确，A , B , C错误． 4．D 【分析】已知关于的方程有4个不同的实数解，可以分三种情况讨论：，方程有2个根；且，方程有两个正根；且时，方程有两个负根；分别求出实数a的取值范围即可完成求解. 【详解】时，方程为有两个不同的实数根，不符合题意； 当且时，方程 有个不同的实数根， ∴方程一定有2个不同的正实数根， ∴， 解得：； 当且时，方程 有个不同的实数根， ∴方程 一定有2个不同的负实数根， ∴， 解得：， 的取值范围是． 5．B 【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，即可求解. 【详解】∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或. 解得． 6．D 【详解】∵、是方程的两个根， ∴， ∵ ∴ ∴． 7．A 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴由一元二次方程根的性质得，整理得， 由根与系数的关系得， ∴． 8．B 【详解】解：∵，的阻值（单位:Ω）满足方程， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：， 则有， ∴， ∴电路中的总电阻为， ∴． 9．C 【详解】∵ 是一元二次方程 的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， 又， 代入，得，解得， 将 代入，得 ， ∴，即，整理得，因此， 检验：当时，该方程的判别式，符合题意， 故m的值为． 10．C 【详解】将原方程展开整理为一元二次方程一般形式：， 由一元二次方程的两根为，得 ， 则点的坐标为，所以该点位于第三象限. 11．且 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可. 【详解】∵关于的一元二次方程有实数根 ∴ 且， 解得且 ， 则的取值范围为且 ． 12． 【分析】令，通过题意得出或，分类讨论和即可求解. 【详解】，设， 则原方程可化为，即， 得或，解得或， 当时，，整理得， ，方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，，整理得， ，方程有实数根，符合题意， 所以． 13． 【详解】设关于的一元二次方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得 ， 因为方程的两个根互为倒数， 所以，即． 14．0 【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式，解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 15． 【详解】，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 代入得：． 16． 【详解】将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 17．且 【详解】方程是关于的一元二次方程， ， 又方程有两个不相等的实数根， ，解得， 综上，的取值范围为且． 18． 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】 ，满足，， ，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， ． 19． 【分析】将代入得，再结合韦达定理求解. 【详解】∵是方程的根， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴ ，∴，∴． ∴． 20．(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用公式法计算求解； （2）利用因式分解法计算求解； （3）利用配方法计算求解． 【详解】（1）方程中， ，，， ， ， 解得，． （2）， 则或， 解得，． （3）已知， 则， 则， 故， 故， 解得，． 21．(1)∵， ∴无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)或 【分析】（1）利用根的判别式计算即可得； （2）借助韦达定理计算即可得. 【详解】（1）略 （2）∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或． 22．(1)证明：在方程中，，，， 因 故方程总有两个实数根； (2) 【详解】（1）略 （2）解法一： ①若腰长为时，则方程必有1个实根为5， 即，解得， 此时方程为，解得 ，， 三角形三边长为，，，此时显然满足三边关系，符合题意； ②若底边长为时，则方程必有两个等根， 则，解得， 此时三边为，，，不满足三边关系，不合题意. 综上可得； 解法二：原方程因式分解得， 解得 ，， 是等腰三角形， ，分两种情况： ① 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； ② 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 23．(1)证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． (2)1或3 【分析】（1）通过证明判别式即可求证； （2）利用求根公式求出两根，再根据根为整数即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 则方程的根为，，， 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 24．(1)证明：整理原方程得， 当 时，方程化为，解得，方程有实数根； 当时，计算根的判别式得：，方程有两个实数根； ∴不论为何值，方程总有实数根； (2)或 【详解】（1）略 （2）整理原方程得，方程有两根，因此， 对方程因式分解得：，解得，， ∵两根均不大于，且满足条件，∴只需． 当时，，不等式成立，符合条件； 当时，不等式两边同乘得，即； 综上，的取值范围是或． 25．(1)是 (2)0或3 (3)6，4 【分析】（1）解一元二次方程，利用“倍根方程”的定义判断即可； （2）解一元二次方程，利用“倍根方程”的定义可求的值． （3）设两根为、，由题意得，进而利用根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）∵ ，∴， ∴或，解得，， ，∴方程 是“倍根方程”． （2）∵，∴， ，，． 若，则，解得 ； 若，则，解得 ； 或 ． （3）设两根为、，则， 解得，∴，∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得，经检验符合要求. 学科网（北京）股份有限公司 $