1.2 集合间的基本关系 专项训练-2026年新高一暑期初高中数学衔接（人教A版必修第一册）

**基本信息** 聚焦集合间基本关系，以空集-子集-真子集-集合相等为递进逻辑链，通过公式推导（子集个数公式）和分层题型构建系统性训练，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空集的概念|2题（单选+多选）|空集定义辨析|从特殊集合切入，建立集合关系认知基础| |子集的概念|3题（单选+多选）|子集定义及性质应用|一般包含关系，承接空集性质（∅⊆A）| |真子集的概念|4题（选择+解答）|真子集定义辨析，子集个数公式推导（2ⁿ系列）|子集特殊化，深化包含关系| |集合相等的概念|4题（选择+填空+解答）|双向包含判定（A⊆B且B⊆A）|等价关系，整合子集概念形成完整体系|

1.2 集合间的基本关系 知识点1：空集的概念 空集是指没有任何元素的集合，用∅来表示 1.下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可． 【详解】解：，，所以，A不是空集． ，，所以,B不是空集． ，，，；即C是空集． ，，，即，所以；D不是空集． 故选：C． 2.（多选）给出下列选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】BCD 【知识点】空集的概念以及判断、判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】利用空集的特征，以及元素和集合，集合与集合之间的关系逐项判断 【详解】对于，不是的元素，故不正确；对于，是任何集合的子集，所以是的子集，故正确；对于，是的元素，故正确；对于，是任何非空集合的真子集，有一个元素，是非空集合，故正确. 故答案为：. 知识点2：子集的概念 1. 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。 记作：A⊆B（读作“A包含于B”），或B⊇A（读作“B包含A”）。 或 推论： (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 1．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 2．满足的集合的个数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，写出符合题意的集合即可. 【详解】根据题意，是集合的子集， 集合是的子集， 符合题意的集合为： ，，，， ，，，，共8个. 故选：A 3.（多选题）已知非空集合满足：①，②若，则.则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求集合的子集（真子集）、判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系以及子集的定义求解即可. 【详解】由题意可知且，而或2与4同时出现，所以且，所以满足条件的非空集合有， 故选：AC 知识点3：真子集的概念 1.定义 如果集合A⊆B，但存在元素属于B，且不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 记作：A⫋B（读作“A真包含于B”）。A全部在B里面，但是B里面有A没有的元素，A、B不能完全相同。 2.重要性质 空集是任何非空集合的真子集： 若集合A不是空集，则∅⫋A。 总结 子集个数公式推导： 含 n 个元素的集合，子集个数 = 2×2×…×2（n 个 2）=2ⁿ； 真子集个数 = 2ⁿ-1（去掉自身）； 非空真子集个数 = 2ⁿ-2（去掉自身和空集）。 1.已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据真子集的定义进行求解即可. 【详解】因为集合的所有非空真子集为：， 所以有， 故选：D 2.满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：由题意可得，共3个. 故选：A 3.（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】根据子集与真子集的定义求解即可． 【详解】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 4.已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 知识点4：集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 1．已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 2．下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 3．已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 4．已知集合，若，则__，__. 【答案】 5 6 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以一元二次方程的两个实数根为， 所以有. 随堂检测 一、单选题 1．若集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 二、多选题 3．已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 4．下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 6．已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 三、填空题 7．若集合，则实数的取值范围是_____. 8．设集合，，若，则的值为______． 四、解答题 9．设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 10．记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年6月27日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C ACD ACD BC AB 1．B 【详解】因为集合，所以的子集个数为． 2．C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 3．ACD 【详解】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 4．ACD 【分析】根据集合的定义和性质，结合元素特性逐一分析各选项中集合是否为同一集合． 【详解】选项A：，解得，集合， ，解得，集合， ，即集合表示同一个集合，故A正确； 选项B：集合中的元素是有序数对，顺序不同表示元素不同， 集合表示不同集合，故B错误； 选项C：集合中元素完全相同，集合表示同一个集合，故C正确； 选项D：表示奇数集，也表示奇数集， 集合表示同一个集合，故D正确． 故选：ACD． 5．BC 【分析】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可. 【详解】因为，所以或解得或则或. 故选：BC 6．AB 【分析】利用元素与集合关系求解判断A；求出集合判断B；根据集合中元素的个数求出参数的值或取值范围，可判断CD选项. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. 7． 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8．0或1或 【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得． 【详解】由， 方程至多1个解，故. ， 或或， ①若，则； ②若，则； ③若，则，解得； 综上可得，或1或. 故答案为：0或1或. 9．(1) (2)，，，. (3) 【分析】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； （3）由，结合（2）分别对进行讨论，从而求解. 【详解】（1）由，所以，得， 则，解得或， 所以. （2）由， 所以集合的子集为：，，，. （3）由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 10．(1) (2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. $ 1.2 集合间的基本关系 知识点1：空集的概念 空集是指没有任何元素的集合，用∅来表示 1.下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）给出下列选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D．⫋ 知识点2：子集的概念 1. 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。 记作：A⊆B（读作“A包含于B”），或B⊇A（读作“B包含A”）。 或 重要性质： (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 （3）空集是任何集合的子集：∅⊆A（A为任意集合） 1．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 2．满足的集合的个数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 3.（多选题）已知非空集合满足：①，②若，则.则集合可能是（    ） A． B． C． D． 知识点3：真子集的概念 1.定义 如果集合A⊆B，但存在元素属于B，且不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 记作：A⫋B（读作“A真包含于B”）。A全部在B里面，但是B里面有A没有的元素，A、B不能完全相同。 2.重要性质 空集是任何非空集合的真子集： 若集合A不是空集，则∅⫋A。 总结 子集个数公式推导： 含 n 个元素的集合，子集个数 = 2×2×…×2（n 个 2）=2ⁿ； 真子集个数 = 2ⁿ-1（去掉自身）； 非空真子集个数 = 2ⁿ-2（去掉自身和空集）。 1.已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 3.（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 4.已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 知识点4：集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 1．已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 2．下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 4．已知集合，若，则__，__. 随堂检测 一、单选题 1．若集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 二、多选题 3．已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 4．下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 6．已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 三、填空题 7．若集合，则实数的取值范围是_____. 8．设集合，，若，则的值为______． 四、解答题 9．设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 10．记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $