第17讲 指数函数（3大知识点+10大题型）-2026年新高一数学暑假进阶讲义（苏教版2019）

第17讲 指数函数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点01 指数函数的概念 3 知识点02 指数函数的图象及性质 3 知识点03 指数函数底数变化与图像分布规律 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：指数函数的概念辨析 5 题型二：定义约束下的参数求解 6 题型三：指数函数解析式的确定 7 题型四：指数型函数定点求解 9 题型五：图象识别与分析应用 10 题型六：定义域与值域的求解 14 题型七：单调性的判定与综合应用 18 题型八：指数幂的大小比较 21 题型九：指数型不等式求解 23 题型十：函数奇偶性的判定 25 04 过关测试 28 知识点01 指数函数的概念 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 知识点02 指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点03 指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图像： 题型一：指数函数的概念辨析 例1．（2026·高一·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数的定义：形如（且）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确． 故选：D． 例2．（2026·高一·宁夏吴忠·阶段检测）给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为指数函数的形式为且， 所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误. 故选：C. 例3．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】指数函数定义为：形如且的函数叫做指数函数； 对于A，不满足指数函数定义，A错误； 对于B，不满足指数函数定义，B错误； 对于C，不满足指数函数定义，C错误； 对于D，满足指数函数定义，D正确. 故选：D. 变式1．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】①中，的系数是－1，故①不是指数函数； ②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数； ④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数． ⑤中，底数，不是指数函数． 综上，指数函数的个数为1， 故选：B. 变式2．下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】指数函数解析式为且， 对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误； 对于③，符合指数函数解析式特征，③正确. 故选：B. 题型二：定义约束下的参数求解 例4．若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【解析】由指数函数的定义得，解得. 例5．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 例6．（2026·高一·浙江杭州·期末）设函数.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数，且， 则，且， 所以，即， 得. 故选：B. 变式3．（2026·高一·广西河池·期末）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】由指数函数的图象经过点，得，解得， 所以. 故选：A 变式4．若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得. 故选：C. 题型三：指数函数解析式的确定 例7．已知指数函数的图象过点，则函数的解析式为________． 【答案】 【解析】设（且），将点代入，得到， 解得，所以， 故答案为： 例8．（2026·高一·重庆江北·期末）写出定义域为且同时满足下列三个条件的函数的表达式：___________. （1）；（2）在上单调递增；（3）的值域为. 【答案】（答案不唯一） 【解析】函数满足条件， 首先， 又，满足（1）， 当时，为增函数，满足（2）， 当时，， 又，所以的值域为，满足（3）. 故答案为： 例9．（2026·高一·上海青浦·阶段检测）已知函数为偶函数，定义域，当时，，则当时，函数的表达式是______． 【答案】 【解析】当时，，，因为为偶函数，所以，故. 所以当时，函数的表达式是. 故答案为： 变式5．（2026·高三·河北秦皇岛·开学考试）已知函数满足：①，都有成立；②．请写出一个符合上述两个条件的函数_____________． 【答案】 【解析】由，都有成立，我们发现指数函数满足其条件， 不妨设，再由得，解得，故. 故答案为：. 变式6．（2026·高一·上海宝山·期中）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___． 【答案】 【解析】设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1）， ∴， 解得， ∴. 故答案为：. 题型四：指数型函数定点求解 例10．（2026·高一·福建福州·期末）函数的图象恒过定点，则的坐标为___________． 【答案】 【解析】由函数可知，当时，， 即函数的图象恒过点. 故答案为：. 例11．（2026·高一·安徽安庆·期末）函数（且）的图象经过定点，则点的坐标为____________. 【答案】 【解析】因为函数过定点，所以，解得， 又， 所以函数经过定点， 故答案为：. 例12．（2026·高一·湖南长沙·期末）且的图象恒过定点_________． 【答案】 【解析】令，得，则， 即且的图象恒过定点. 故答案为：. 变式7．（2026·高一·山东淄博·期末）已知函数的图象恒过定点，则_____. 【答案】 【解析】当时，，则函数的图象恒过定点， 则，则. 故答案为： 变式8．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知直线过函数图象的定点，则最小值为______． 【答案】 【解析】函数的定点为， 故直线满足（）. 将化为，则 . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 结合，解得，，此时. 所以最小值为 故答案为： 题型五：图象识别与分析应用 例13．（2026·高一·安徽合肥·期末）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除C. 令，则，所以或. 由，得，解得. 所以函数有唯一零点.所以可排除D. 因为， 所以，. 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B. 故选：A. 例14．（2026·高一·河北承德·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，得定义域为，关于原点对称． 又因为， 所以函数为上的奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，故A，D错误． 当时，，， 所以，即； 当时，，， 所以，即． 所以由图象可知，C错误，B正确． 故选：B 例15．（2026·高一·宁夏石嘴山·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，，，则， 则. 故选：A 变式9．（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】如下图： 作直线，得直线与指数函数的交点，根据交点的纵坐标，及， 可知对应，对应，对应. 故选：B 变式10．（2026·高一·陕西安康·期末）指数函数与的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，指数函数是增函数；当时，指数函数是减函数， 所以根据函数的图象可知，． 故选：C． 变式11．（2026·上海长宁·一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，为增函数， 且，与图象不符， 若，为减函数， 且，与图象相符，所以， 当时，， 结合图象可知，此时，所，则，所以， 故选:C. 题型六：定义域与值域的求解 例16．已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 【解析】（1）当时，， 由，得， 则，即，解得， 所以函数的定义域为； 令，则， 于是，所以函数的值域为. （2）设，则， 令， 由函数的值域为，得函数的值域包含， 当时，函数的图象开口向下，对称轴为，有最大值，不符合题意； 当时，值域为，包含，符合题意，则； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为， 函数值域为，包含，符合题意，则， 所以m的取值范围是. 例17．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）要使函数式有意义，则，解得. 所以函数的定义域为. 因为，所以，即函数的值域为且. （2）由题意知，所以，所以， 所以函数的定义域为. 因为，所以，所以，即， 所以函数的值域为. （3）由题意知函数的定义域为R. 因为，所以， 又，所以函数的值域为. （4）由题意易知函数的定义域为R， 因为， 又，所以，故函数的值域为. 例18．（2026·高一·河南新乡·阶段检测）已知函数且的图象经过点. (1)设函数，求的定义域； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）函数且的图象经过点， 可得，解得或（舍去），即 令，即，可得或，解得或， 所以函数的定义域为. （2）令， 则， 因为，所以， 又因为对任意恒成立， 所以，解得，所以的取值范围为. 变式12．（2026·高一·北京昌平·期末）已知函数是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性；（只需写出结论） (3)若不等式恒成立，求m的取值范围． 【解析】（1）∵为奇函数，定义域为R， ∴， 即， 即， 解得：， （2）的定义域为R，任取， 则， ∵在R上单调递增，， ∴，且， ∴，即， 故在R上单调递增． （3）不等式恒成立， 即恒成立， ∵在定义域R上是奇函数， ∴， 又在R上为增函数， ∴恒成立， 即恒成立，有，解得：， ∴m的取值范围是． 变式13．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）由题意知，∴，∴函数的定义域为． ∵，∴，∴函数的值域为． （2）由题意知函数的定义域为R．∵，∴， ∴函数的值域为． （3）由题意知，∴，∴，∴函数的定义域为． ∵，∴，又，∴，∴，∴，∴函数的值域为． （4）由题意知定义域为R．∵，∴． 又，∴函数的值域为． 变式14．（2026·高一·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【解析】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 题型七：单调性的判定与综合应用 例19．（2026·高一·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 例20．（2026·高一·湖北黄冈·阶段检测）已知函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 因为单调递增，时，单调递减， 所以由复合函数的单调性知单调递减， 故选：B 例21．（2026·高一·甘肃天水·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由题设及指数复合函数的单调性知，解得. 故选：C. 变式15．（2026·高一·全国·期末）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C．, D．, 【答案】D 【解析】根据题意，设，对称轴为，则， 函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则在区间上单调递减， 必有，解得， 所以实数的取值范围是，． 故选：D． 变式16．（2026·高一·江苏常州·期末）已知函数，对任意，，且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对任意，，且，都有， 所以在上单调递增，则有， 解得，即. 变式17．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由是上的单调递增函数， 得：， 解得：，即：. 变式18．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 因为函数在定义域上单调递增， 则在区间上单调递增， 函数的图象开口向上，对称轴为， 所以， 则实数a的取值范围是. 故选：A. 题型八：指数幂的大小比较 例22．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是减函数，又， 则， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 例23．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 例24．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 变式19．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 变式20．（2026·高一·浙江衢州·期中）若正实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 若，则，与矛盾. 若，则，则，成立. 若，则，代入原式得，即，解得，与题干中是正实数矛盾， 综上，与均不成立，则一定成立. 取，代入等式得，根据零点存在性定理可得,此时，C不成立； 取，代入等式得，根据零点存在性定理可得,此时，D不成立. 变式21．（2026·高一·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为减函数，函数为增函数， 所以，所以. 变式22．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递增，又，所以， 又因为在上单调递增，又，所以， 故. 题型九：指数型不等式求解 例25．（2026·高一·安徽阜阳·开学考试）函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，该函数的定义域为， ，都有，且， 所以函数是奇函数， 因是上的增函数，则是上的增函数且恒为正数， 故是上的减函数，是上的增函数， 由，得，则， 则，解得. 例26．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为偶函数，得，则的图象关于直线对称， 由函数在上单调递增，又， 因此，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B 例27．（2026·高三·江苏南京·期中）已知函数（且），若，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于函数（且）， 因,由可知函数在上单调递减， 故不等式，解得. 故选：A 变式23．（2026·高一·江苏无锡·期中）已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 由于是上的奇函数，故在上单调递增， 又，故， 由得，等价于， 所以，解得. 故选：A. 变式24．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 变式25．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出的图象如图所示. 当时，，， 所以，， 所以，符合题意； 当时，，， 所以，， 所以，符合题意； 当时，，， ， 令得，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：C. 题型十：函数奇偶性的判定 例28．函数是______函数.（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”或“既奇又偶”）. 【答案】奇 【解析】由已知得的定义域为R，， 即，故为奇函数. 故答案为：奇. 例29．（2026·高一·北京·期中）下列函数中，值域为R且为奇函数的有_____________. ①  ②  ③  ④  ⑤ 【答案】②③⑤ 【解析】对于①，为偶函数，故①错误； 对于②，为奇函数且值域为R，故②正确； 对于③，为奇函数且值域为R，故③正确； 对于④，为非奇非偶函数，故④错误； 对于⑤，为奇函数且值域为R，故⑤正确. 故答案为：②③⑤. 例30．（2026·高一·山东聊城·期中）已知奇函数的定义域为，且时，，则_____.（写出具体数值） 【答案】 【解析】由题意，可得，即，得， 所以时，， 所以. 故答案为：. 变式26．（2026·高一·广东东莞·期中）奇函数的定义域是，其中，则的最小值是______. 【答案】 【解析】因为是奇函数，定义域为， 所以，即，经检验，满足题意， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 1．（2026·高一·四川泸州·阶段检测）已知函数，若存在实数满足，且，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象，如图所示： 令，则， 又因为，，， 所以. 2．（2026·高一·江苏无锡·开学考试）若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，函数在和上都递增， 且当时，， 则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且时，，而， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增， 当时，， 所以，解得， 此时，， 综上所述，． 3．（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数， 当时，单调递增，则， 当时，，单调递减，， 当时，，单调递增，， 当时，单调递增，， 故当时，，此时，，满足， 当时，，此时，， 满足， 当时，，此时可得， 解得， 综上可知，的解集为. 4．（2026·高一·山西·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在上是奇函数，故， 故可变形为，即， 当时，单调递增， 令，解得，故， 结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示. 由得或， 由图象得或， 所以或， 即不等式的解集是. 5．（2026·高一·安徽淮北·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于函数，因为， 所以是奇函数，排除A、B； 又因为当时，，所以，即图象在轴上方， 当时，，所以，即图象在轴下方，所以排除C； 综上可得，D符合题意. 6．（2026·高一·四川成都·期末）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为函数的图象恒过定点，所以. 又A点在直线上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为2. 7．（2026·高一·青海海南·期末）已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，则在单调递减，即，， 当时，的最大值为，又因为，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，当时，，，当时，的最大值为， 只需的最大值大于等于2， 所以，解得. 8．（2026·高一·安徽安庆·开学考试）若函数分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是R上的奇函数，是R上的偶函数， 因此满足： ，， 所以， 将替换为，代入得：， 消去得：，即 ， 消去得：，即 ， 中，是增函数，也是增函数，因此是R上的增函数， 所以，又因为， 所以， 故选：B. 9．（多选题）（2026·高一·福建漳州·期中）下列函数中，与函数有相同奇偶性的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由得 即函数是定义在上的偶函数， 对于A：，奇函数， 对于B：，偶函数， 对于C：，奇函数； 对于D：，偶函数. 故选：BD. 10．（多选题）（2026·高一·贵州毕节·期中）已知函数，，下列命题正确的有（    ） A．的图象关于原点对称 B．对于任意实数a，有 C．任意的，，有成立 D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 【答案】BD 【解析】函数的定义域为， 对于A，，函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又不恒为0，因此的图象关于原点不对称，A错误； 对于B，当时，，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，，则，B正确； 对于C，由函数在上单调递增，得任意的，， 有成立，C错误； 对于D，当时，，不等式， 解得或，因此所求解集为，D正确. 11．（多选题）（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，令，由，得到， 当且仅当，即时取等号，所以D正确， 12．定义在上的函数，则的最大值是________. 【答案】 【解析】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减， ∴． 13．（2026·高一·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 14．（2026·高一·上海·期末）已知函数为偶函数，其中. (1)求的值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数为偶函数， 所以，即，亦即， 因为，所以，约分可得，即，解得. （2）由（1）得， 又，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立， 又对恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 15．（2026·高一·上海徐汇·期末）已知函数，其中． (1)当时，请用函数奇偶性的定义证明：函数是偶函数； (2)当时，判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 【解析】（1）当时，， 函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数. （2）当时，，在上为增函数，证明如下： 设， 则 因为在上为增函数，且，所以，所以， 又，，所以， 所以，即，可得. 所以函数在上为增函数. 16．（2026·高一·四川成都·期中）已知函数（，且）在上的最大值比最小值大2． (1)求的值； (2)设函数，求证：为奇函数的充要条件是． 【解析】（1）当时，此时单调递增，， 此时有，解得或（舍）； 当时，此时单调递减，， 此时有，方程无解， 所以的值为2； （2）由（1）知 先证充分性： 当时，， 所以， 所以此时为奇函数； 再证必要性： 因为为奇函数，且的定义域为， 所以， 即， 所以， 综上可知为奇函数的充要条件是． 17．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知奇函数的定义域为． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)解不等式：． 【解析】（1）奇函数的定义域关于原点对称，故． 又在时有意义的奇函数满足，∴， 将代入：． ∴，； （2）在上单调递增，证明： 由（1）得． 任取，且，则： ∵单调递增，且，故，即； 又，，因此，即． 故在上单调递增； （3）由奇函数性质，不等式可化为： ， 又在上单调递增，故： （第二个不等式恒成立，只需考虑第一个不等式）， 解：． ∴的取值范围是． 18．（2026·高一·上海·期末）已知奇函数的表达式为，其中常数且． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是奇函数， 所以 ， 因为常数且，不恒等于0， 所以； （2）函数是上的增函数，证明如下： ， 设是任意两个实数，且， ， 因为，且函数是上的减函数，是上的增函数， 所以，，，即， 所以函数是上的增函数； （3）由上可知，函数为奇函数， 则， 又为上的增函数， 则有，解得， 所以实数的取值范围为. 19．（2026·高一·山西太原·期中）已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题，， 则有， 又因为偶函数和奇函数，所以， 所以联立， 解得. （2）因为， 由， 可得， 即， 令， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 又因为，所以， 所以，即恒成立，其中， 令，， 则函数在时恒成立， 当，即时，在单调递增， 所以，符合题意； 当，即时， 函数在对称轴处取得最小值，则， 则，即， 解得，又因为，所以， 综上，， 所以的取值范围是. 20．（2026·高一·浙江台州·期中）已知奇函数的定义域为， (1)求实数的值； (2)当时，有解，求的取值范围. 【解析】（1）因为函数是奇函数，则， 即，整理得， 所以，即，可得， 因为定义域为（即）关于原点对称，所以. （2）由（1）可知： 因为，即， 又因为，整理得， 由，则，令，则， 可得， 分离参数得， 令，可知其对称轴为， 则在上单调递增， 所以当，即时，取到最大值， 由题意可知：不等式在有解， 则，解得， 所以的取值范围. 21．（2026·高一·福建厦门·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 【解析】（1）由题意得，所以或， 因为为偶函数，所以，所以. （2）由(1)可得， 在上不是单调函数，所以对称轴，即， 所以，实数a的取值范围为. （3）由（1）可得，而即为，故. 若，则即不等式解集为， 若，则即不等式解集为. 综上，当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为. 22．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）已知函数且． (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值； (2)若函数的图象过． ①比较与的大小； ②解不等式：． 【解析】（1）当时，在上单调递增，最大值为，最小值为， 由题意得：，解得：； 当时，在上单调递减，最大值为，最小值为， 由题意得：，解得：； 综上，的值为或； （2）依题意，由得，即，则. ①因，且在上是增函数， 所以； ②因，则（其中）， 由可得，即， 令，则在上单调递增，且， 所以不等式等价于， 故原不等式的解集为. 23．（2026·高一·广东深圳·期中）设，． (1)证明：； (2)令． ①解关于实数a的不等式：； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由题意可知 ， 故，即； （2）①由题意得，定义域为 ，为奇函数. 当时，易知单调递增，则在单调递减， 为奇函数，在单调递减， ， 又有为奇函数， 在单调递减，由定义域知 当时，，不等式恒成立； 当时， ， ，解得； 当时， ，此时，与题意矛盾，舍去. 综上： ②当，单调递减，则， ，即 设，则在上恒成立， 当，即时，，解得，； 当，即时，，解得， ； 综上，实数的取值范围为． 24．（2026·高一·广东湛江·期中）设为实数，已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上的单调性； (2)若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【解析】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，即，所以，则， 设，且，则， 由，得，则， 所以在上单调递减. （2）依题意，， 而函数在上单调递减， 则， 因此， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则， 所以m的取值范围是或． 25．（2026·高一·湖南衡阳·期中）已知函数的图象关于原点对称． (1)求实数的值； (2)若，求的取值范围； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数的图象关于原点对称， 所以函数是奇函数， 令可得，，解得， 经验证，时，， 因此，实数的值为1； （2）由（1）可知，则， 则任取，且， 则， 即，因此函数在上单调递减， ， 由，解得， 又由于，所以的取值范围是． （3）因为，， 所以即， 因为，所以， 则不等式转化为有解，令，， 所以，即实数的取值范围是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 指数函数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点01 指数函数的概念 3 知识点02 指数函数的图象及性质 3 知识点03 指数函数底数变化与图像分布规律 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：指数函数的概念辨析 5 题型二：定义约束下的参数求解 5 题型三：指数函数解析式的确定 6 题型四：指数型函数定点求解 6 题型五：图象识别与分析应用 7 题型六：定义域与值域的求解 8 题型七：单调性的判定与综合应用 10 题型八：指数幂的大小比较 11 题型九：指数型不等式求解 12 题型十：函数奇偶性的判定 12 04 过关测试 14 知识点01 指数函数的概念 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 知识点02 指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点03 指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图像： 题型一：指数函数的概念辨析 例1．（2026·高一·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·高一·宁夏吴忠·阶段检测）给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 例3．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 变式2．下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 题型二：定义约束下的参数求解 例4．若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 例5．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例6．（2026·高一·浙江杭州·期末）设函数.若，则等于（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·高一·广西河池·期末）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 变式4．若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 题型三：指数函数解析式的确定 例7．已知指数函数的图象过点，则函数的解析式为________． 例8．（2026·高一·重庆江北·期末）写出定义域为且同时满足下列三个条件的函数的表达式：___________. （1）；（2）在上单调递增；（3）的值域为. 例9．（2026·高一·上海青浦·阶段检测）已知函数为偶函数，定义域，当时，，则当时，函数的表达式是______． 变式5．（2026·高三·河北秦皇岛·开学考试）已知函数满足：①，都有成立；②．请写出一个符合上述两个条件的函数_____________． 变式6．（2026·高一·上海宝山·期中）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___． 题型四：指数型函数定点求解 例10．（2026·高一·福建福州·期末）函数的图象恒过定点，则的坐标为___________． 例11．（2026·高一·安徽安庆·期末）函数（且）的图象经过定点，则点的坐标为____________. 例12．（2026·高一·湖南长沙·期末）且的图象恒过定点_________． 变式7．（2026·高一·山东淄博·期末）已知函数的图象恒过定点，则_____. 变式8．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知直线过函数图象的定点，则最小值为______． 题型五：图象识别与分析应用 例13．（2026·高一·安徽合肥·期末）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 例14．（2026·高一·河北承德·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 例15．（2026·高一·宁夏石嘴山·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 变式9．（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 变式10．（2026·高一·陕西安康·期末）指数函数与的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 变式11．（2026·上海长宁·一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 题型六：定义域与值域的求解 例16．已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 例17．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)； (4). 例18．（2026·高一·河南新乡·阶段检测）已知函数且的图象经过点. (1)设函数，求的定义域； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 变式12．（2026·高一·北京昌平·期末）已知函数是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性；（只需写出结论） (3)若不等式恒成立，求m的取值范围． 变式13．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式14．（2026·高一·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 题型七：单调性的判定与综合应用 例19．（2026·高一·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 例20．（2026·高一·湖北黄冈·阶段检测）已知函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 例21．（2026·高一·甘肃天水·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式15．（2026·高一·全国·期末）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C．, D．, 变式16．（2026·高一·江苏常州·期末）已知函数，对任意，，且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式17．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式18．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八：指数幂的大小比较 例22．已知，则（ ） A． B． C． D． 例23．已知，则（    ） A． B． C． D． 例24．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 变式19．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 变式20．（2026·高一·浙江衢州·期中）若正实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式21．（2026·高一·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 变式22．若，则（ ） A． B． C． D． 题型九：指数型不等式求解 例25．（2026·高一·安徽阜阳·开学考试）函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例26．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例27．（2026·高三·江苏南京·期中）已知函数（且），若，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 变式23．（2026·高一·江苏无锡·期中）已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式24．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式25．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型十：函数奇偶性的判定 例28．函数是______函数.（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”或“既奇又偶”）. 例29．（2026·高一·北京·期中）下列函数中，值域为R且为奇函数的有_____________. ①  ②  ③  ④  ⑤ 例30．（2026·高一·山东聊城·期中）已知奇函数的定义域为，且时，，则_____.（写出具体数值） 变式26．（2026·高一·广东东莞·期中）奇函数的定义域是，其中，则的最小值是______. 1．（2026·高一·四川泸州·阶段检测）已知函数，若存在实数满足，且，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 2．（2026·高一·江苏无锡·开学考试）若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·山西·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·安徽淮北·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·四川成都·期末）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 7．（2026·高一·青海海南·期末）已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·安徽安庆·开学考试）若函数分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·福建漳州·期中）下列函数中，与函数有相同奇偶性的函数有（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·贵州毕节·期中）已知函数，，下列命题正确的有（    ） A．的图象关于原点对称 B．对于任意实数a，有 C．任意的，，有成立 D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 11．（多选题）（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 12．定义在上的函数，则的最大值是________. 13．（2026·高一·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 14．（2026·高一·上海·期末）已知函数为偶函数，其中. (1)求的值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 15．（2026·高一·上海徐汇·期末）已知函数，其中． (1)当时，请用函数奇偶性的定义证明：函数是偶函数； (2)当时，判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 16．（2026·高一·四川成都·期中）已知函数（，且）在上的最大值比最小值大2． (1)求的值； (2)设函数，求证：为奇函数的充要条件是． 17．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知奇函数的定义域为． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)解不等式：． 18．（2026·高一·上海·期末）已知奇函数的表达式为，其中常数且． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求实数的取值范围． 19．（2026·高一·山西太原·期中）已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20．（2026·高一·浙江台州·期中）已知奇函数的定义域为， (1)求实数的值； (2)当时，有解，求的取值范围. 21．（2026·高一·福建厦门·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 22．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）已知函数且． (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值； (2)若函数的图象过． ①比较与的大小； ②解不等式：． 23．（2026·高一·广东深圳·期中）设，． (1)证明：； (2)令． ①解关于实数a的不等式：； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 24．（2026·高一·广东湛江·期中）设为实数，已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上的单调性； (2)若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围； 25．（2026·高一·湖南衡阳·期中）已知函数的图象关于原点对称． (1)求实数的值； (2)若，求的取值范围； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $