第12讲 函数的概念和图象（3大知识点+8大题型）讲义-2026年新高一数学暑假进阶讲义（苏教版）

第12讲 函数的概念和图象 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：函数的概念 3 知识点二：函数定义域的求法 3 知识点三：函数值域的求法 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：函数概念辨析 5 题型 2：同一函数判定 7 题型 3：解析式求定义域 10 题型 4：抽象函数求定义域 11 题型 5：由定义域求参数范围 14 题型 6：函数图象识别 15 题型 7：代入自变量求函数值 18 题型 8：函数值域求解 22 04 过关测试 28 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； 知识点二：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点三：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型 1：函数概念辨析 例1．（2026·高一·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确； 对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误； 对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确. 故选：C 例2．（2026·山东·二模）如图所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→弧AB→BO的路径运动一周，设点P到点O的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当点P在OA段运动时， s随t的增大而匀速增大， 点P在弧AB上运动时， s＝OP＝AB(定值)， 点P在BO上运动时， s随着t的增大而减小． 故选：C 例3．（2026·高一·四川南充·期中）下列关系中一定是函数关系的是（   ） A．空调的销售额和利润的关系 B．大豆的产量和施肥量的关系 C．正方形的面积与周长的关系 D．钢铁的产量和单位生产成本的关系 【答案】C 【解析】对于空调的销售额与利润、大豆的产量与施肥量、钢铁产量和单位生产成本， 其中一个变量的变化受到多种因素的影响，以上各情况中列出的另一个变量只是其中的一个因素， 所以一个变量的变化对另一个变量的影响具有一定的随机性，故它们都是相关关系， 对于正方形的面积与周长，一个变量的变化对另一个变量影响是确定的，，即具有函数关系. 故选：C 变式1．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】C 【解析】对于A，因为，但是没有意义，0在中无对应的元素，A不符合题意； 对于B，因为对于任意一个实数，当时，无意义，B不符合题意； 对于C，任意一个实数，，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意； 对于D，当时，，不满足函数值的唯一性，D不符合题意. 故选：C. 变式2．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）下列对应关系能构成从集合到的函数的是（   ） A．，对应关系：“求平方” B．，对应关系： C．，对应关系： D．，对应关系： 【答案】C 【解析】对A：因为，，即集合中存在元素，按对应法则：“求平方”，集合中无元素与之对应，所以该对应关系不能构成从集合到的函数，所以A不合题意； 对B：同理，集合中存在元素，按对应法则：，集合中无元素与之对应，所以该对应关系不能构成从集合到的函数，所以B不合题意； 对C：对，且唯一存在，故对应关系：能构成从集合到的函数，所以C满足题意； 对D：因为集合不是数集，所以从到不能构成函数关系，所以D不合题意. 故选：C 变式3．（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，若，则当时，，故A错误； 对于B，若，则当时，，当时，，故B正确； 对于C，若，则当时，无意义，故C错误； 对于D，若，则当时，，故D错误； 故选：B. 题型 2：同一函数判定 例4．（2026·高一·广东肇庆·期末）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数. 故选：B 例5．（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为R，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，B是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为R，C不是； 对于D，函数与的定义域均为R，而的值域为， 函数的值域为R，D不是. 故选：B 例6．（2026·高一·安徽·阶段检测）下列四组函数，表示同一个函数的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】对于A选项 ：对于，定义域为全体实数； 对于，分母不能为，所以定义域为， 由于定义域不同，因此这两个函数不是同一个函数； 对于B选项 ：对于，对应法则是直接取自变量的值； 对于，根据根式性质，即， 当时，与的函数值不同，对应法则不同，因此这两个函数不是同一个函数； 对于C选项： 对于，定义域为；对于，真数，即； 由于定义域不同，因此这两个函数不是同一个函数； 对于D选项：对于，定义域为全体实数；对于， 分母恒大于，所以定义域也为全体实数， 对化简，根据指数运算法则，则，与的表达式完全相同， 因此这两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一个函数. 故选：D. 变式4．（2026·高一·广东·期末）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】对于A，，与的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数，A错误； 对于B，，与的对应关系不同，不是同一函数，B错误； 对于C，，与的定义域不同，不是同一函数，C错误； 对于D，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，D正确． 故选：D． 变式5．（2026·高一·河北衡水·阶段检测）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】对于A：，由且，可得， 即定义域为， ，由，得或， 即的定义域为，两函数定义域不同，故不是相同函数，错误； 对于B：的定义域为R，的定义域为R， 且，所以两函数定义域相同，对应关系也相同，故是相同函数，正确； 对于C：的定义域为R，的定义域为，两个函数的定义域不同， 所以不是相同函数，错误； 对于D：的定义域为R，的定义域为，两个函数的定义域不同， 所以不是相同函数，错误. 故选：B 题型 3：解析式求定义域 例7．（2026·高一·吉林·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 则，即，则函数的定义域是. 故选：B 例8．（2026·高一·贵州安顺·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得，所以函数的定义域为. 故选：D. 例9．（2026·高一·天津·期末）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数有意义，则，解得且， 所以的定义域为， 故选：B 变式6．（2026·高一·四川凉山·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，解得且，所以定义域为. 故选：D. 变式7．（2026·高一·广西贺州·期中）函数的定义域为（   ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】D 【解析】由题意得，解得且，故D正确. 故选：D. 题型 4：抽象函数求定义域 例10．（2026·高一·安徽黄山·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为，函数， 所以，解得：或, 所以函数的定义域为， 故选：D 例11．（2026·高一·江西赣州·期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得：,解得：， 所以函数的定义域是, 故选：B 例12．（2026·高一·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以. 所以函数的定义域为. 故选：B. 变式8．（2026·高一·湖北·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，则函数的自变量满足： ，解得， 所以函数的定义域为， 故选：B 变式9．（2026·高一·广东·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】函数的定义域为，即，所以， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为， 即，则，故函数的值域为． 故选：C． 变式10．（2026·高一·福建福州·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为， 则对于函数，由，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C 题型 5：由定义域求参数范围 例13．（2026·高一·湖南邵阳·期中）若函数定义域为R，则k的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】由题意得对恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上所述，. 故答案为：. 例14．（2026·高一·浙江·期中）已知函数的定义域为，则k的取值范围为__________. 【答案】 【解析】由题意可知恒成立， 即， 解得：， 即k的取值范围为， 故答案为： 例15．（2026·高一·天津·期中）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围为______________ 【答案】 【解析】由函数的定义域为R，得， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为： 变式11．（2026·高一·吉林长春·阶段检测）若对一切实数都有意义，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】由题意可得对一切实数都有意义， 当时，成立； 当时，显然不成立， 当时，需满足，解得， 综上实数的取值范围为， 故答案为： 变式12．若函数的定义域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意可知，对任意，恒成立． （ⅰ）当时，不恒成立，舍去； （ⅱ）当时，应满足，解得． 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 题型 6：函数图象识别 例16．（2026·高一·山西大同·期中）若函数的定义域为，且，值域为，且，则的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，图象中不含，不符合函数的定义域，故错误； 对于B，函数值中包含，不符合函数的值域，故错误； 对于C，函数值中包含，不符合函数的值域，故错误； 对于D，符合函数的定义域和值域，正确， 故选：D 例17．（2026·高一·陕西渭南·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，该函数的定义域为，故A错误； 对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确； 对C，当时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误； 对D，该函数的值域不是为，故D错误. 故选：B. 例18．（2026·高一·山东青岛·期中）若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是 （    ） A．     B．   C．     D．   【答案】B 【解析】选项A，定义域为，与条件不符，故A错误； 选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确； 选项C，不符合函数的定义，在内的任一的值，在内并非只有唯一的值与之对应，故C错误； 选项D，值域与条件不符，故D错误． 故选：B． 变式13．（2026·高一·陕西咸阳·期中）已知函数f(x)的定义域为[-2，4]，其图像如图所示，则xf(x)<0的解集为（    ） A．{x|-2≤x<-1} B．{x|-1≤x≤0} C．{x|1≤x≤3} D．{x|0≤x≤4} 【答案】A 【解析】由题图可知，当-2≤x<-1时，f(x)>0，当-1≤x≤0时，f(x)≤0，当0<x≤4时，f(x)>0，故xf(x)<0的解集为{x|-2≤x<-1}， 故选：A. 变式14．（2026·高一·浙江·阶段检测）函数与的图像如下图，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】定义域为，所以函数在是断开的，故排除C，D； 当x为很小的正数时，，排除A． 故选：B． 题型 7：代入自变量求函数值 例19．已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值；当时，求的值． 【解析】（1）因为，所以点不在的图象上. （2）当时，； 若，则，即，解得. 例20．（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求的值. 【解析】（1）令，解得且， 所以函数的定义域为. （2）因为， 则，， 所以. （3）当时，则， 所以. 例21．（2026·高一·吉林辽源·期中）已知函数. (1)当时，求的值； (2)求的解集； (3)若，求实数的值. 【解析】（1）因为，所以. （2）不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为. （3）由可得，即，解得或，合乎题意. 变式15．（2026·高一·吉林松原·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 【解析】（1）使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是. 所以，这个函数的定义域是， （2）； . （3）因为，所以，有意义. ； . 变式16．已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 【解析】（1）因为， 所以， ． （2）证明：． （3）由（2）知，所以，所以． 变式17．（2026·高一·云南昆明·期中）已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 【解析】（1）因为， 所以； （2）证明：为定值； （3）由（2）可知，，， 所以 ． 变式18．（2026·高二·陕西西安·期末）已知且． (1)求； (2)求； (3)求的值域． 【解析】（1）因为且， 所以. （2）由（1）得， . （3）因为， 所以的值域为且； 因为， 所以的值域为. 题型 8：函数值域求解 例22．求下列函数的值域. (1); (2); (3)， (4) 【解析】（1）设，则，所以， 根据二次函数的图象和性质，函数的值域为. （2）函数的定义域为，， 所以函数的值域为. （3）因为函数图象的对称轴为，所以函数在单调递减，单调递增， 所以函数的值域为. （4），， 当时，，当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立. 故函数值域为. 例23．求下列函数的值域： (1)； (2) (3)； (4)． 【解析】（1）因为，，，，，所以函数的值域为． （2）因为，且，所以，所以函数的值域为． （3）因为，所以，所以函数的值域为. （4）设（换元），则且，令. 因为，所以，即函数的值域为. 例24．求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） （9）； （10）. 【解析】（1）分式函数， 定义域为，故，所有， 故值域为； （2）函数中，分母， 则，故值域为； （3）函数中，令得， 易见函数和都是减函数， 故函数在时是递减的，故时， 故值域为； （4）， 故值域为且； （5）， 而，， ，， 即，故值域为； （6）函数，定义域为，令， 所以，所以，对称轴方程为， 所以时，函数，故值域为； （7）由题意得，解得， 则， 故，，， 由y的非负性知，，故函数的值域为； （8）函数，定义域为，，故，即值域为； （9）函数，定义域为， 故，所有，故值域为； （10）函数， 令，则由知，，， 根据对勾函数在递减，在递增, 可知时，，故值域为. 变式19．求函数的值域． 【解析】令，则． ∴原函数可化为． ∵当，即时，；且原函数无最小值． 故原函数的值域为． 变式20．（2026·高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【解析】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 变式21．（2026·高一·湖北随州·阶段检测）求值域： （1）； （2）； （3）. 【解析】（1）， 则， ， 即函数值域为； （2）令， 则， ， 根据二次函数的性质，其在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以函数的值域为； （3）， ， ， ， ， 所以函数的值域为； 变式22．求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）． 【解析】（1）, ∵,∴, ∵函数的值域为 （2）设,则, ∴, 由知,∴, ∴函数的值域为 （3）∵恒成立,∴, 设t是所求值域中的元素,则关于x的方程有解, 即有解, 当时,,不符合； 当时,得,即, 又,∴,故函数的值域为 1．（2026·高一·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 2．（2026·高一·新疆·阶段检测）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，解得， 所以的定义域是. 故选：D 3．（2026·高一·云南红河·阶段检测）已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】对于，且，， 令，可得，解得， 因为，所以，解得， 令，可得，得到， 则，故D正确. 故选：D 4．（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数，则有，解得， 故函数的定义域为， 因为， 且， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，当且仅当或时，等号成立， 所以，又因为，故，故原函数的值域为. 故选：C. 5．（2026·高一·贵州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 则函数中，有， 解得，.即函数的定义域为 故选：B. 6．（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，所以，，又， 则，，， ，，， ，，故B正确，ACD错误. 故选：B. 7．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）下列命题是正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由，得或，所以定义域为，正确； 对于B，定义域为，定义域为， 所以与不是同一个函数，错误； 对于C，，解得，正确； 对于D，因为，所以， 又，所以，正确． 8．（多选题）（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【解析】对于选项A：因为，与的对应关系不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 9．（多选题）（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对A：令，则，集合中有两个元素与对应，不符，故A错误； 对B：任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故B正确； 对C：时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 故任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故C正确； 对D：任意元素，则，又因为，有， 即集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故D正确； 故选：BCD. 10．（2026·高一·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】在中，，则， 所以函数中，解得. 11．函数的值域是______． 【答案】 【解析】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 12．（2026·高一·贵州遵义·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. 13．（2026·高一·天津·期末）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）当时，由，可得，即， 解得. 所以当时，不等式的解集为. （2）由，得. 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当或时，， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的取值范围为． 14．（2026·高一·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【解析】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； 15．（2026·高一·江苏·期中）已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 【解析】（1）二次函数满足， ，解得， ． （2）函数的定义域为，， 函数图象如图所示： 由函数图象可知，， 函数在上的值域为． 16．（2026·高一·广西玉林·阶段检测）给定函数，，． (1)在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)．用表示，中的较大者，记．例如，当时，，请在图二中画出函数的图象并求其解析式． 【解析】（1）因为函数单调递增，且过点， 函数为二次函数，开口向上且关于直线对称， 故图象如图所示： （2）不等式，意味着图象上在之上的的解集， 由图可以看出不等式的解集为. （3）当或时，，此时， 当时，，此时. 所以函数的解析式为. 图象如图所示： 17．（2026·高一·安徽阜阳·期中）求函数的值域． 【解析】法一：， ， ，则，， 得，即， 即函数的值域为． 法二：由得， 即， 当时，方程等价为，不成立，则， 则，得且，解得， 故函数的值域为. 18．（2026·高一·江苏无锡·期中）设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设.    (1)设，将表示成关于的函数，并写出定义域； (2)设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 【解析】（1）由题意知，，，， 所以，所以， 因为矩形的周长为12，， 所以， 因为，所以，所以， 在中，可得，所以， 整理得. （2）（i）； （ii）因为， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 于是有， 所以当时，有最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 函数的概念和图象 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：函数的概念 3 知识点二：函数定义域的求法 3 知识点三：函数值域的求法 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：函数概念辨析 5 题型 2：同一函数判定 6 题型 3：解析式求定义域 7 题型 4：抽象函数求定义域 7 题型 5：由定义域求参数范围 8 题型 6：函数图象识别 9 题型 7：代入自变量求函数值 11 题型 8：函数值域求解 13 04 过关测试 16 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； 知识点二：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点三：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型 1：函数概念辨析 例1．（2026·高一·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（2026·山东·二模）如图所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→弧AB→BO的路径运动一周，设点P到点O的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·高一·四川南充·期中）下列关系中一定是函数关系的是（   ） A．空调的销售额和利润的关系 B．大豆的产量和施肥量的关系 C．正方形的面积与周长的关系 D．钢铁的产量和单位生产成本的关系 变式1．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 变式2．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）下列对应关系能构成从集合到的函数的是（   ） A．，对应关系：“求平方” B．，对应关系： C．，对应关系： D．，对应关系： 变式3．（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（   ） A． B． C． D． 题型 2：同一函数判定 例4．（2026·高一·广东肇庆·期末）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 例5．（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例6．（2026·高一·安徽·阶段检测）下列四组函数，表示同一个函数的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式4．（2026·高一·广东·期末）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式5．（2026·高一·河北衡水·阶段检测）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A． B．和 C．和 D．和 题型 3：解析式求定义域 例7．（2026·高一·吉林·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例8．（2026·高一·贵州安顺·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例9．（2026·高一·天津·期末）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高一·四川凉山·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式7．（2026·高一·广西贺州·期中）函数的定义域为（   ） A．且 B．且 C． D．且 题型 4：抽象函数求定义域 例10．（2026·高一·安徽黄山·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例11．（2026·高一·江西赣州·期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例12．（2026·高一·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 变式8．（2026·高一·湖北·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式9．（2026·高一·广东·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式10．（2026·高一·福建福州·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型 5：由定义域求参数范围 例13．（2026·高一·湖南邵阳·期中）若函数定义域为R，则k的取值范围为_____________. 例14．（2026·高一·浙江·期中）已知函数的定义域为，则k的取值范围为__________. 例15．（2026·高一·天津·期中）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围为______________ 变式11．（2026·高一·吉林长春·阶段检测）若对一切实数都有意义，则实数的取值范围为___________. 变式12．若函数的定义域为，则实数的取值范围为______． 题型 6：函数图象识别 例16．（2026·高一·山西大同·期中）若函数的定义域为，且，值域为，且，则的图像可能是（   ） A． B． C． D． 例17．（2026·高一·陕西渭南·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 例18．（2026·高一·山东青岛·期中）若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是 （    ） A．     B．   C．     D．   变式13．（2026·高一·陕西咸阳·期中）已知函数f(x)的定义域为[-2，4]，其图像如图所示，则xf(x)<0的解集为（    ） A．{x|-2≤x<-1} B．{x|-1≤x≤0} C．{x|1≤x≤3} D．{x|0≤x≤4} 变式14．（2026·高一·浙江·阶段检测）函数与的图像如下图，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 题型 7：代入自变量求函数值 例19．已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值；当时，求的值． 例20．（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求的值. 例21．（2026·高一·吉林辽源·期中）已知函数. (1)当时，求的值； (2)求的解集； (3)若，求实数的值. 变式15．（2026·高一·吉林松原·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 变式16．已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 变式17．（2026·高一·云南昆明·期中）已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 变式18．（2026·高二·陕西西安·期末）已知且． (1)求； (2)求； (3)求的值域． 题型 8：函数值域求解 例22．求下列函数的值域. (1); (2); (3)， (4) 例23．求下列函数的值域： (1)； (2) (3)； (4)． 例24．求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） （9）； （10）. 变式19．求函数的值域． 变式20．（2026·高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 变式21．（2026·高一·湖北随州·阶段检测）求值域： （1）； （2）； （3）. 变式22．求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）． 1．（2026·高一·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·新疆·阶段检测）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·云南红河·阶段检测）已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·贵州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）下列命题是正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 8．（多选题）（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．（多选题）（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·高一·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 11．函数的值域是______． 12．（2026·高一·贵州遵义·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 13．（2026·高一·天津·期末）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的取值范围． 14．（2026·高一·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 15．（2026·高一·江苏·期中）已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 16．（2026·高一·广西玉林·阶段检测）给定函数，，． (1)在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)．用表示，中的较大者，记．例如，当时，，请在图二中画出函数的图象并求其解析式． 17．（2026·高一·安徽阜阳·期中）求函数的值域． 18．（2026·高一·江苏无锡·期中）设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设.    (1)设，将表示成关于的函数，并写出定义域； (2)设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $