2.3.1两条直线的交点坐标同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 聚焦两条直线交点坐标，分层设计基础巩固、中档提升、综合应用三阶练习，覆盖从单一计算到参数综合的知识路径，适配新授课分层教学需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一交点坐标计算、定点问题|直接求解两直线交点（如1-2题），强化方程联立运算能力| |中档|参数与位置关系|含参数直线过定点（3题）、垂直/平行条件下交点应用（4-5题），发展推理意识| |综合|几何综合应用|三角形面积分割（15题）、顶点坐标求解（16题），体现模型观念与空间观念|

2.3.1　两条直线的交点坐标 　 1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是（　　） A. B. C. D. 2. (2025·高二上·广州期中) 直线：与：的交点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  3.（2024·枣庄质检）已知方程kx－y－1＝3k，当实数k变化时，方程表示的所有直线都通过的定点坐标为（　　） A.（0，0） B.（0，1） C.（3，1） D.（3，－1） 4.已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y－12＝0互相垂直，则垂足的坐标为（　　） A.（1，－2） B.（－1，2） C.（－2，1） D.（2，－1） 5. (2025高二上·广州期中) 已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（　　） A.  B.  C.  D.  6.（多选）已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法正确的是（　　） A.l1与l2的交点坐标是（0，－1） B.过l1与l2的交点且与l1垂直的直线的方程为x－3y＋13＝0 C.l1，l2与x轴围成的三角形的面积是 D.l1的倾斜角是锐角 7.已知直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C＝　　　　. 8.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx－2y－5＝0相交于同一点，则实数m＝　　　　. 9. (2025·高二上·平果期中) 已知直线经过与的交点，则点到的距离的最大值为　 　. 10.已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2. （1）求直线l1与l2的交点坐标； （2）已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程. 11.已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线x＋2y－4＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（　　） A.（－6，2） B.（－，0） C.（－，－） D.（，＋∞） 12.（2024·广州月考）已知直线y－1＝k（x－1）恒过定点A，且点A在直线mx＋ny－2＝0（m＞0，n＞0）上，则mn的最大值为　　　　. 13.（2024·周口月考）已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则满足条件的实数a＝　　　　. 14.已知直线l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0（m∈R），直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0. （1）求证：直线l恒过定点； （2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB的中点，求m. 15.△ABC的三个顶点分别为A（0，3），B（3，3），C（2，0），如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a＝（　　） A. B.1＋ C.1＋ D.2－ 16.（2024·湛江月考）已知△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高所在的直线方程为x＋y－3＝0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x＋3y－7＝0. （1）求顶点A的坐标； （2）求过点E且在x轴，y轴上的截距相等的直线l的方程. 2.3.1　两条直线的交点坐标 1.B　由得故交点为. 2.A　解：联立方程组解得，故与的交点坐标为．. 3.D　将直线方程化为y＋1＝k（x－3），可得直线过定点（3，－1）. 4.A　由两直线垂直得－×＝－1，解得a＝10.由解得则垂足的坐标为（1，－2）.故选A. 5.A　直线与直线的交点为，又因为l与直线平行，所以设直线l为：，代入得，所以，所以直线l的方程为． 6.BC　联立3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0，解得交点坐标为（－1，4），所以A中说法错误；由所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直得所求直线的斜率为，由点斜式得y－4＝（x＋1），即x－3y＋13＝0，所以B中说法正确；l1，l2与x轴围成的三角形的面积S＝×（7－）×4＝，所以C中说法正确；l1的斜率k1＝－3＜0，所以l1的倾斜角是钝角，所以D中说法错误. 7.－4　解析：因为两直线的交点在y轴上，且直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点坐标是（0，），所以点（0，）在直线Ax＋3y＋C＝0上，则A×0＋3×＋C＝0，解得C＝－4. 8.9　解析：联立解得即（1，2）为三条直线的交点坐标，把（1，2）代入直线方程mx－2y－5＝0，得m－2×2－5＝0，即m＝9. 9. ．解析：设两直线的交点为，联立，解得，即直线经过点，则点到直线的距离的最大值为的长，且. 10.解：（1）设l2的方程为 2x－y＋m＝0. 因为l2在x轴上的截距为. 所以2×－0＋m＝0，解得m＝－3， 即l2：2x－y－3＝0. 由得 所以直线l1与l2的交点坐标为（2，1）. （2）当l3过原点时，l3的方程为y＝x； 当l3不过原点时，设l3的方程为＋＝1， 则＋＝1，得a＝， 所以l3的方程为2x＋y－5＝0. 综上，l3的方程为x－2y＝0或2x＋y－5＝0. 11.C　联立解得由直线kx－y＋2k＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点在第四象限可得解得－＜k＜－，即实数k的取值范围为（－，－）.故选C. 12.1　解析：已知直线y－1＝k（x－1），令得∴直线y－1＝k（x－1）恒过定点A（1，1）.将点A（1，1）的坐标代入mx＋ny－2＝0，得m＋n＝2.又m＞0，n＞0，∴mn≤（）2＝1（当且仅当m＝n＝1时，等号成立）.∴mn的最大值为1. 13.－1或或－2　解析：由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×（－2）＝1×2，解得a＝－1；②当l3∥l2时，不能构成三角形，此时a×3＝4×2，解得a＝；③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时联立l1与l2的方程，得解得所以l1与l2过点（－2，1），将（－2，1）代入ax＋2y－6＝0得a×（－2）＋2×1－6＝0，解得a＝－2.综上，当a＝－1，，－2时，不能构成三角形. 14.解：（1）证明：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0可化为m（x－y＋3）－（2x＋y）＝0， 由于m∈R，则解得 即直线l恒过定点（－1，2）. 所以直线l恒过定点. （2）由（1）知P（－1，2），不妨设A（x0，y0）， 因为P恰为AB的中点，所以B（－2－x0，4－y0）. 因为A，B分别在直线l1和直线l2上， 所以 解得所以A（－2，5）. 将A（－2，5）代入直线l的方程，解得m＝－. 所以m的值为－. 15.A　lAC：＋＝1，即3x＋2y－6＝0.由得因为S△ABC＝，所以×a×（3－）＝，得a＝或a＝－（舍去）. 16.解：（1）由已知得kAB＝1，∴直线AB的方程为y－4＝x－3，即x－y＋1＝0. 由解得 ∴点A的坐标为（1，2）. （2）设E（x0，y0），则C（2x0－3，2y0－4），则 解得∴E（4，1）. ∵直线l在x轴，y轴上的截距相等，∴当直线l经过原点时，设直线l的方程为y＝kx，把点E（4，1）代入，得1＝4k，解得k＝，此时直线l的方程为x－4y＝0. 当直线l不经过原点时，设直线l的方程为＋＝1，把点E（4，1）代入，得＋＝1，解得a＝5，此时直线l的方程为x＋y－5＝0， ∴直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $