2.3 2.3.2　两点间的距离公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“两点间的距离公式”及坐标法应用，以“公路建公交站点”现实情境导入，衔接直线交点坐标知识，通过自主评测、合作探究搭建学习支架，引导学生从数轴到平面直角坐标系推导公式，形成完整知识脉络。 其特色在于以问题驱动学习，通过“自主学习-合作探究-典例研析”培养数学运算与逻辑推理素养，如坐标法证明等腰直角三角形、正方形中线段关系，提升数学表达能力。分层练习兼顾基础与综合，PPT可编辑方便教师调整，助力学生深化理解，教师高效教学。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第二章 直线和圆的方程 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 学习目标　1.掌握两点间的距离公式并会应用，以培养数学运算能力．(重点)　2.会用坐标法证明简单的平面几何问题，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点) 2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3．2　两点间的距离公式 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点P，以方便居住在两个小区的住户出行． 问题1　如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 提示：设两个小区为A，C，过点C作公路的垂线，使CH＝HB，连接AB交公路于点P，则点P就是公交站点，使站点到两个村的距离之和最小值为AB． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P72，分析思考： 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式能否表示为|P1P2|＝ eq \r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)？为什么？ 提示：能，因为 eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)＝ eq \r((x1－x2)2＋(y1－y2)2). 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)原点O与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ eq \r(x2＋y2).(　　 ) (2)已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.(　　 ) (3)用坐标法解决平面几何问题时，关键是建立适当的平面直角坐标系．(　　 ) (4)已知点A(a，2a)，点B(－a，－a)，a>0，则A，B两点间的距离是13a．(　　 ) 提示：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 　两点之间的距离公式 问题2　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：|AB|＝|xA－xB|. 问题3　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|P1P2|? 提示：(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2， 所以|P1P2|＝ eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2). 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝ eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2). eq \x(,此公式与两点的先后顺序无关．) 温馨提示 此公式与两点的先后顺序无关. 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ ． 2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ ． eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2) eq \r(x2＋y2) 例1　(链接教材：人A版教材P73例3)已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则 eq \f(|AC|,|CB|)的值为(　　 ) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C．3 D．2 解析：选D．由两点间的距离公式，得|AC|＝=＝4 eq \r(2)，|CB|＝＝2 eq \r(2)，故 eq \f(|AC|,|CB|)＝ eq \f(4\r(2),2\r(2))＝2. 类题通法 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)； (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解. 【迁移运用】 1.已知△ABC的顶点分别为A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是(　　 ) A．2 eq \r(3) B．3＋2 eq \r(3) C．6＋3 eq \r(2) D．6＋ eq \r(10) 解析：选C．由两点间的距离公式，得|AB|＝ eq \r((2＋1)2＋(3－0)2)＝3 eq \r(2)，|BC|＝ eq \r((2＋1)2＋(0－0)2)＝3， |AC|＝ eq \r((2－2)2＋(3－0)2)＝3，所以△ABC的周长为6＋3 eq \r(2). eq \r(1＋k2)|x1－x2| eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2| 　两点之间的距离公式的应用 计算两点间距离的方法 对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝ ＝ ＝ ． eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2) 例2　(链接教材：人A版教材P74练习T2)已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为 eq \f(\r(2),4)，求a的值． 解：由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中， 令y＝0，有x＝ eq \f(1,a)，则A( eq \f(1,a)，0)， 令x＝0，有y＝ eq \f(1,2)，则B(0， eq \f(1,2))， 故AB的中点为( eq \f(1,2a)， eq \f(1,4))， ∵线段AB的中点到原点的距离为 eq \f(\r(2),4)， ∴ eq \r((\f(1,2a)－0)2＋(\f(1,4)－0)2)＝ eq \f(\r(2),4)， 解得a＝±2. 【迁移运用】 2.(1)已知两点A(－3，4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于(　　 ) A．0或8 B．0或－8 C．0或6 D．0或－6 解析：选A．由两点间的距离公式，得|AB|＝ eq \r(32＋(b－4)2)＝5， 解得b＝0或b＝8. (2)已知两点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，a＝________． 解析：由两点间距离公式，得|AB|＝ eq \r((5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2)＝ eq \r((a－4)2＋(a＋3)2)＝ eq \r(a2－8a＋16＋a2＋6a＋9)＝ eq \r(2a2－2a＋25)＝ ， 所以当a＝ eq \f(1,2)时，|AB|取最小值． 答案： eq \f(1,2) (3)直线y＝2x＋b上横坐标分别为－1，3的E，F两点，计算E，F两点之间的距离． 解：法一　由题E(－1，－2＋b)，F(3，6＋b)得|EF|＝ eq \r((－1－3)2＋(－2－6)2)＝4 eq \r(5). 法二　|EF|＝ eq \r(1＋22)|－1－3|＝4 eq \r(5). 　坐标法的应用 问题4　为了判定某三角形的形状，我们将之放入平面直角坐标系中，并已知三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，请给出结论． 提示：|AB|＝ eq \r((3＋3)2＋(－3－1)2)＝2 eq \r(13)， 同理|AC|＝2 eq \r(13)，|BC|＝2 eq \r(26)， 于是|AB|＝|AC|且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，故△ABC为等腰直角三角形． 温馨提示 建系的两个主要原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算； (2)如果条件中有互相垂直的两条直线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． 坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为 问题，通过建立适当的 ，加以分析研究解决问题的方法． 代数 平面直角坐标系 例3　已知在正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB的中点，DE，CF相交于点G，用坐标法求证：|AG|＝|AD|. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则B(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，E(1，0)，F(0，1)，D(2，2). 易得直线DE的方程为y＝2x－2，直线CF的方程为y＝－ eq \f(1,2)x＋1， 联立得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2x－2，,y＝－\f(1,2)x＋1，))解得x＝ eq \f(6,5)，y＝ eq \f(2,5)，即点G， 所以|AG|＝＝2＝|AD|. eq \x(,1.利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤,(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量．,(2)进行有关代数运算．,(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．,2.用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．) 类题通法 1．利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 (1)建立坐标系，用坐标表示有关的量． (2)进行有关代数运算． (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 2．用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”. 【迁移运用】 3.已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系， 设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)， 所以|AC|＝ eq \r((b－0)2＋(c－0)2)＝ eq \r(b2＋c2)， |BD|＝ eq \r((a－b－a)2＋(c－0)2)＝ eq \r(b2＋c2)，故|AC|＝|BD|. 1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　 ) A．5 B． eq \r(37) C． eq \r(13) D．4 解析：选A．|MN|＝ eq \r((2＋1)2＋(1－5)2)＝ eq \r(9＋16)＝5. 2．(多选)对于 eq \r(x2＋2x＋5)，下列说法正确的是(　　 ) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 解析：选BCD．对于A，点(x，0)与点(1，2)的距离为 eq \r((x－1)2＋(0－2)2)＝ eq \r(x2－2x＋5)，故A不正确；对于B，点(x，0)与点(－1，－2)的距离为 eq \r((x＋1)2＋(0＋2)2)＝ eq \r(x2＋2x＋5)，故B正确；对于C，点(x，0)与点(－1，2)的距离为 eq \r((x＋1)2＋(0－2)2)＝ eq \r(x2＋2x＋5)，故C正确；对于D，点(x，－1)与点(－1，1)的距离为 eq \r((x＋1)2＋(－1－1)2)＝ eq \r(x2＋2x＋5)，故D正确． 3．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C( eq \f(a,2)， eq \f(\r(3),2)a)，a>0，则△ABC的形状是(　　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 解析：选C．由已知得|AB|＝2a，|AC|＝＝ eq \r(3)a，|BC|＝＝a，∴|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，∴△ABC是直角三角形． 4．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________. 解析：BC的中点坐标为(0，1)， 则BC边上的中线长为 eq \r((－1－0)2＋(5－1)2)＝ eq \r(17). 答案： eq \r(17) 【基础巩固】 1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　 ) A．2 eq \r(5) B．3 eq \r(5) C． eq \f(5\r(5),2) D． eq \f(7\r(5),2) 解析：选C．由中点坐标公式可得BC边的中点D，由两点间的距离公式得|AD|＝＝ eq \f(5\r(5),2). 2．(多选)已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7 eq \r(2)，则x＝(　　 ) A．－9 B．－5 C．5 D．9 解析：选BD．由|MN|＝7 eq \r(2)， 得|MN|＝ eq \r((x－2)2＋(－4－3)2)＝7 eq \r(2)， 即x2－4x－45＝0，解得x＝9或x＝－5， 故所求x的值为9或－5. 3．(多选)在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B的坐标可能是(　　 ) A．(2，0) B．(6，4) C．(4，6) D．(0，2) 解析：选AC．设B(x，y)， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x－3)·\f(4－3,0－3)＝－1，,\r((x－3)2＋(y－3)2)＝\r((0－3)2＋(4－3)2)，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝6.))故点B的坐标是(2，0)或(4，6). 4．(易错题)已知x，y∈R，S＝ eq \r((x＋1)2＋y2)＋ eq \r((x－1)2＋y2)，则S的最小值是(　　 ) A．0 B．2 C．4 D． eq \r(2) 解析：选B．∵S＝ eq \r((x＋1)2＋y2)＋ eq \r((x－1)2＋y2)＝ eq \r([x－(－1)]2＋(y－0)2)＋ eq \r((x－1)2＋(y－0)2)，∴S可以看作点(x，y)到点(－1，0)和点(1，0)的距离之和， 如图所示，∴当点(x，y)在x轴上，且位于点(－1，0)和点(1，0)之间时，S取最小值，最小值是2. 5．(学科融合)光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A走到B的路程为(　　 ) A．5 eq \r(2) B．2 eq \r(5) C．5 eq \r(10) D．10 eq \r(5) 解析：选C．如图，作点A(－3，5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)，连接A′B，则光线从A到B走过的路程等于|A′ B|，即 eq \r((2＋3)2＋(10＋5)2)＝5 eq \r(10). 6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点P(2，－1)，则|AB|＝________． 解析：设A(x，0)，B(0，y)，由中点坐标公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝ eq \r((0－4)2＋(－2－0)2)＝2 eq \r(5). 答案：2 eq \r(5) 7．已知点P(－2，0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则直线l过定点________，点P到直线l的距离d的最大值为________． 解析：直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，化为(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0， 令 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0，))解得x＝y＝1，因此直线l经过定点Q(1，1)， 当直线PQ⊥直线l时，点P到直线l的距离d有最大值，最大值为|PQ|＝ eq \r((－2－1)2＋(0－1)2)＝ eq \r(10). 答案：(1，1)　 eq \r(10) 8．(2025·石家庄高二期末)已知两点P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，则|PQ|的最大值为________． 解析：因为P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)， 所以|PQ|＝ eq \r((cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2) ＝ eq \r(cos2α＋cos2β－2cosαcos β＋sin2α＋sin2β－2sinαsin β) ＝ eq \r(2－2(cos αcos β＋sin αsin β)) ＝ eq \r(2－2cos (α－β))， 因为cos (α－β)∈[－1，1]，所以|PQ|∈[0，2]，即|PQ|的最大值为2. 答案：2 9．在△ABC中，AO是BC边上的中线，用坐标法求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 证明：以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图， 则O(0，0)，设B(－a，0)，C(a，0)，A(m，n)， 其中a>0， 则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)，|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2，故|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 【综合运用】 10．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于 eq \r(2)的点的坐标是(　　 ) A．(－4，5) B．(－3，4) C．(－1，2) D．(0，1) 解析：选BC．设所求点的坐标为(x0，y0)， 有x0＋y0－1＝0，且 eq \r((x0＋2)2＋(y0－3)2)＝ eq \r(2)， 两式联立解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝4))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝2.)) 11．已知菱形ABCD的对角线BD与x轴平行，D(－3，1)，A(－1，0)，则点C的坐标为(　　 ) A．(－1，2) B．(－2，1) C．(－1，1) D．(2，2) 解析：选A．∵四边形ABCD为菱形，BD∥x轴， ∴AC⊥x轴，∴可设C(－1，t)，∵|AD|＝|CD|， ∴ eq \r((－3＋1)2＋(1－0)2)＝ eq \r((－3＋1)2＋(1－t)2)， 解得t＝0(舍)或t＝2，∴C(－1，2). 12．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 eq \f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝________． 解析：以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)， 所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2， |PC|2＝a2＋b2，于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，即 eq \f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝10. 答案：10 13．已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg x的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则|PQ|的最小值为________． 解析：易知A(0，1)，B(1，0)，所以直线AB：y＝1－x. 又Q(0，－2)，设P(x0，y0)，则y0＝1－x0， 所以|PQ|＝ eq \r((x0－0)2＋(y0＋2)2)＝eq \o\al(2,0) eq \r(x＋(3－x0)2) ＝≥ eq \r(\f(9,2))＝ eq \f(3\r(2),2)(当且仅当x0＝ eq \f(3,2)时等号成立)，所以|PQ|的最小值为 eq \f(3\r(2),2). 答案： eq \f(3\r(2),2) 14．如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明|AE|＝|CD|. 证明：如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy. 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c， 则A(－a，0)，C(c，0)，E，D， 由距离公式得 |AE|＝＝ eq \r(a2＋ac＋c2)， |CD|＝＝ eq \r(a2＋ac＋c2). 所以|AE|＝|CD|. 【创新探索】 15．(2025·云南高二期末模拟)如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－ eq \f(1,2)|AC|2＝2|BD|2. 证明：如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系． 设B(b，c)，C(a，0)， 依题意得A(－a，0). |AB|2＋|BC|2－ eq \f(1,2)|AC|2＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－ eq \f(1,2)(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以|AB|2＋|BC|2－ eq \f(1,2)|AC|2＝2|BD|2. $