2.3.1 两条直线的交点坐标课件-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线的交点坐标与位置关系判定”，通过课前自学梳理方程组解与交点的关系，结合知识拓展对比斜截式与一般式条件，搭建从直线方程基础到位置关系判断的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于题型分层与探究总结结合，通过例1解方程组判断相交、例5分离参数法求定点等实例，培养数学运算和逻辑推理素养。采用“例题-思考题-探究”模式，学生能系统掌握判定方法，教师可借助结构化资源高效开展分层教学。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 Content Navigation 01 02 03 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 素养目标 1.会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学运算)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学运算) 课前自学 4 要点1　两条直线的交点 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则这两条直线的交点P的坐标就是 方程组_________________________的解． 第页 要点2　两直线的位置关系和方程组解的个数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示． 相交 重合 平行 第页 两条直线的位置关系： 返 回 课时学案 8 例 1　分别判断下列直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； 题型一　 判断两直线位置关系的方法 第页 9 (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； 【解析】　(2)因为l2的方程化简后与l1的方程相同，所以l1与l2重合． 第页 (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 第页 探究1 判断两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系时，先求A1B2和A2B1，当A1B2≠A2B1时，l1与l2相交；当A1B2＝A2B1时，再判定l1与l2是平行还是重合． 第页 思考题1　判断下列两条直线的位置关系： (1)l1：4x＋3y－5＝0，l2：4x－2y＋3＝0； 第页 (2)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＝7－8y； 第页 (3)l1：2y＝7，l2：3y＋5＝0. 第页 例 2　已知两条直线l1：ax－y＋a＋2＝0，l2：ax＋(a2－2)y＋1＝0，当a为何值时，l1与l2： (1)相交； 【解析】　首先由a·(a2－2)＝－a， 得a＝0或a＝－1或a＝1. ∴当a≠0且a≠－1且a≠1时，两直线相交， 当a＝0时，代入计算知l1∥l2， 当a＝－1时，代入计算知l1与l2重合， 当a＝1时，代入计算知l1∥l2. (1)当a≠－1且a≠0且a≠1时，l1与l2相交． 第页 (2)平行； 【解析】　(2)当a＝0或a＝1时，l1与l2平行． (3)重合． 【解析】　(3)当a＝－1时，l1与l2重合． 第页 探究2 已知一般式判断两直线的位置关系有两种思路 (1)若斜率存在，可化为斜截式，利用斜率求解． (2)利用一般式相交、平行、重合的条件求解． 第页 思考题2　已知：l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2： (1)相交； 第页 (2)平行； (3)重合． 第页 例 3　若三条直线x＋y＝2，x－y＝0，x＋ay＝3能围成三角形，求a的取值范围． 题型二　 利用位置关系求参数的值 第页 21 思考题3　若三条直线ax＋2y＋7＝0，4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值． 【思路分析】　先求出两条已知直线的交点坐标，再将交点坐标代入方程ax＋2y＋7＝0中，求出a的值． 第页 例 4　求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程． 题型三　 直线系的应用 第页 23 第页 第页 探究3 经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m，n为参数，m2＋n2≠0)． 当m＝1，n＝0时，方程即为l1的方程；当m＝0，n＝1时，方程即为l2的方程． 上面的直线系方程可改写成A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为参数)，方程中不包括直线l2的方程，但这个参数方程形式在解题中较为常用． 第页 思考题4　求经过直线2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程． 第页 第页 第页 第页 例 5　已知方程(m＋2)x＋(m－3)y＋4＝0(m∈R)所表示的直线恒过定点，试求该定点的坐标． 题型四　 直线系过定点问题 【思路分析】　可以从两个角度考虑这个问题：①因为直线恒过定点，故该定点坐标与m的取值无关，于是我们可令m取一些特殊值，进而求出两条不同直线的公共点．②将方程变形为m(x＋y)＋2x－3y＋4＝0，依题意定点的坐标与m的取值无关，于是m的系数x＋y必为0，且2x－3y＋4＝0，联立即可求出公共点． 第页 31 第页 探究4 解决过定点问题常用的方法 (1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出x，y的值，即为所求定点的坐标． (2)点斜式法：若斜率存在，将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)． (3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点． 比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用． 第页 思考题5　求证：当a∈R时，直线ax＋y＋a＋2＝0必过定点． 第页 方法三：令a＝0，则y＋2＝0①. 令a＝1，则x＋y＋3＝0②. 联立①②，得x＝－1，y＝－2. 所以直线恒过定点(－1，－2)． 【讲评】　对于直线方程含有一个参数，且直线过定点问题，对直线方程灵活变形是解决问题的关键，对于变形后特点还不明显的情况，可采用方法二的解法． 第页 返 回 课后巩固 37 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3，2)　　　　　　　　　 B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) √ 第页 √ 第页 3．过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为____________． 3x＋y＝0 第页 4．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是________． (2，3) 返 回 请做：课时作业（二十） 教师备用资料 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0)) 方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 _______ _______ _______ 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \o\al(2,1)＋Beq \o\al(2,1)≠0)， A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \o\al(2,2)＋Beq \o\al(2,2)≠0) 相交 k1≠k2，当k1k2＝－1时，两直线垂直 A1B2－A2B1≠0，当A1A2＋B1B2＝0时，两直线垂直 平行 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝k2，,b1≠b2)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0)) 重合 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝k2，,b1＝b2)) A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0，且A1C2－A2C1＝0 【解析】　(1)方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0))的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.)) 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． 【解析】　(3)方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋2y＋4＝0，,2x＋y－3＝0))无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 【解析】　(1)∵l1：y＝－eq \f(4,3)x＋eq \f(5,3)，l2：y＝2x＋eq \f(3,2)， ∴l1与l2的斜率不相等，则l1与l2相交． 【解析】　(2)∵l1：y＝－eq \f(3x,4)＋eq \f(5,4)，l2：y＝－eq \f(3x,4)＋eq \f(7,8)， ∴l1与l2的斜率相等，但在y轴上的截距不相等，则l1与l2平行． 【解析】　(3)∵l1：y＝eq \f(7,2)，l2：y＝－eq \f(5,3)， ∴l1与l2的斜率相等，在y轴上的截距不相等，则l1与l2平行． 【解析】　当m＝0时，则l1：x＋6＝0，l2：－2x＋3y＝0，∴l1，l2相交． 当m＝2时，则l1：x＋2y＋6＝0，l2：3y＋4＝0，∴l1，l2相交． 当m≠0且m≠2时，eq \f(A1,A2)＝eq \f(1,m－2)，eq \f(B1,B2)＝eq \f(m,3)，eq \f(C1,C2)＝eq \f(6,2m). 若eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)，则m＝－1或m＝3.若eq \f(A1,A2)＝eq \f(C1,C2)，则m＝3. (1)当m≠－1且m≠3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(A1,A2)≠\f(B1,B2)))时，l1，l2相交． 【解析】　(2)当m＝－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)≠\f(C1,C2)))时，l1与l2平行． 【解析】　(3)当m＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)＝\f(C1,C2)))时，l1与l2重合． 【解析】　当x＋y＝2与x＋ay＝3平行时， 1·a－1×1＝0，即a＝1； 当x－y＝0与x＋ay＝3平行时， 1·a－(－1)×1＝0，即a＝－1. 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝0，))得两条直线交于点(1，1)， 当x＋ay＝3过点(1，1)时，a＝2. ∴若三条直线能围成三角形，则a∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，2)∪(2，＋∞)． 【解析】　解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝14，,2x－3y＝14，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.)) 所以两条直线的交点坐标为(4，－2)． 由题意知点(4，－2)也在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－eq \f(3,4). 【解析】　方法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5).)) ∴两直线交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(7,5))). ∵直线l和直线3x＋y－1＝0平行，∴直线l的斜率k＝－3. 根据点斜式有y＋eq \f(7,5)＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,5)))， 即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0. 方法二：∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行， ∴设l的方程为3x＋y＋d＝0(d≠－1)． 由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5).)) ∴两直线交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(7,5))).∴3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－eq \f(7,5)＋d＝0，∴d＝eq \f(16,5). ∴直线l的方程为3x＋y＋eq \f(16,5)＝0， 即15x＋5y＋16＝0. 方法三：∵直线l过直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点， ∴可设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0. ∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行， ∴eq \f(λ＋2,3)＝eq \f(λ－3,1)≠eq \f(2λ－3,－1)，解得λ＝eq \f(11,2). 从而所求直线方程为15x＋5y＋16＝0. 【解析】　方法一：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋8＝0，,x＋y＋3＝0，))得交点(－5，2)． ∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－eq \f(2,3)， ∴所求直线的斜率是eq \f(3,2). ∴所求直线方程为3x－2y＋19＝0. 方法二：设所求直线方程为3x－2y＋m＝0，解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋8＝0，,x＋y＋3＝0，))得交点(－5，2)． 把点(－5，2)代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19. 故所求直线方程为3x－2y＋19＝0. 方法三：设所求直线的方程为2x＋y＋8＋λ(x＋y＋3)＝0， 即(2＋λ)x＋(1＋λ)y＋8＋3λ＝0.(*) ∵所求直线与直线2x＋3y－10＝0垂直， ∴2(2＋λ)＋3(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq \f(7,5). 把λ代入(*)式得所求直线方程为3x－2y＋19＝0. 【讲评】　本题的三种方法中，方法一较为常用，方法三则应用了过两直线交点的直线系，省去了求两直线交点坐标的运算． 一般地，我们可以把与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程表示为Bx－Ay＋D＝0.与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线可表示为y＝－eq \f(1,k)x＋c. 【解析】　方法一：令m＝－2，则方程变为－5y＋4＝0，故y＝eq \f(4,5). 令m＝3，则方程变为5x＋4＝0，故x＝－eq \f(4,5).依题意可知直线恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(4,5))). 方法二：将方程变形为m(x＋y)＋2x－3y＋4＝0.依题意定点的坐标与m的取值无关，于是此定点的坐标必然满足x＋y＝0且2x－3y＋4＝0. 解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,2x－3y＋4＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,5)，,y＝\f(4,5).))∴定点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(4,5))). 【证明】　方法一：将直线方程改写为y＋2＝－a(x＋1)， 将－a看成直线的斜率，这就是点斜式方程， 所以直线一定过定点(－1，－2)． 方法二：由方程ax＋y＋a＋2＝0，知a(x＋1)＋y＋2＝0. 上式是关于a的恒等式，必有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝0，,y＋2＝0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2.)) 所以直线ax＋y＋a＋2＝0必过定点(－1，－2)． 1．方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的充要条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0. 2．直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)． 解析　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2.)) 而x＋ky＝0必经过点(－1，－2)，∴k＝－eq \f(1,2). 2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于(　　) A．－2 B．－eq \f(1,2) C．2 D.eq \f(1,2) 解析　整理原方程得k(2x－y－1)＋(－x－3y＋11)＝0，所以直线过eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,－x－3y＋11＝0))所确定的点(2，3)． $