第16讲 幂函数（2大知识点+9大题型）（讲义）2026-2027学年新高一数学暑假进阶精品讲义（苏教版2019）

第16讲 幂函数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点01 幂函数概念 3 知识点02 幂函数的图象及性质 3 03 题型精讲举一反三 5 题型一：幂函数的概念辨析 5 题型二：函数解析式的确定 6 题型三：定义域的求解计算 7 题型四：值域的求解计算 9 题型五：图象识别与分析应用 12 题型六：图象定点求解问题 14 题型七：单调性的应用与不等式求解 15 题型八：幂函数式大小比较 17 题型九：幂函数性质的综合应用 19 04 过关测试 24 知识点01 幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点02 幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 题型一：幂函数的概念辨析 例1．（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 例2．（2026·高一·湖北·阶段检测）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合. 故选：A． 例3．在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】函数是幂函数， 函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数， 所以所给函数中幂函数的个数是1. 故选：B 变式1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，中指数上有变量，所以此函数不是幂函数，所以A错误， 对于B，是指数函数，不是幂函数，所以B错误， 对于C，是幂函数，所以C正确， 对于D，是一次函数，不是幂函数，所以D错误， 故选：C 变式2．下列函数中不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确； 对于选项B，是幂函数，故B项正确； 对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立； 对于选项D，是幂函数，故D项正确. 故选：C. 题型二：函数解析式的确定 例4．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 【答案】 【解析】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以 ，即，解得 ，即， 则，定义域为 . 故所求幂函数的解析式为：. 例5．（2026·高一·湖南衡阳·开学考试）如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 【答案】 【解析】设， 所以，解得：，故. 例6．（2026·高一·浙江杭州·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数解析式：①是奇函数；②是上单调递减的幂函数：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】对于幂函数，定义域为， 由于，即是奇函数； 且在上单调递减，故符合题意的一个函数为. 变式3．（2026·高一·广东肇庆·期末）已知幂函数的图像过点，则幂函数的解析式是__________. 【答案】 【解析】幂函数的图像过点，则， 所以幂函数的解析式是， 故答案为： 变式4．（2026·高一·天津和平·期中）若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 【答案】/ 【解析】因为是幂函数，则，解得或， 若，则，此时的图象与轴没有交点，故成立； 若，则，此时的图象与轴有交点，故不成立； 综上，，即. 故答案为：. 题型三：定义域的求解计算 例7．（2026·高一·上海青浦·阶段检测）函数的定义域是______． 【答案】 【解析】，，解得：， 的定义域为. 故答案为：. 例8．（2026·高一·上海·期中）若有意义，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】直接根据负数不能开偶次方根求解.若有意义， 则， 解得 所以实数的取值范围是， 故答案为： 例9．（2026·高一·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【解析】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 变式5．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 【答案】1 【解析】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 变式6．（2026·高一·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【解析】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 题型四：值域的求解计算 例10．（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【解析】（1）由于， 则，，， 所以过点， 故的图象，如图所示，函数的定义域为； （2）由题可知， 设，则， 当时取等号，故的值域为． 例11．已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 【解析】（1）依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或 （2）若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； 若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减； 若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； （3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 例12．（2026·高一·山东泰安·阶段检测）已知幂函数（其中，）满足： ①在区间上为减函数； ②对任意的，都有. 求幂函数的解析式，并求当时，的值域. 【解析】，，，0，1. 对任意，都有，即，是偶函数. 当时，，满足条件①②； 当时，，不满足条件①； 当时，，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数的解析式为，且在区间上是增函数，当时，函数的值域为. 变式7．（2026·高一·云南玉溪·阶段检测）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数. (1)求函数的解析式. (2)函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. 【解析】（1）因为幂函数在内是单调增函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为． （2）由（1）知，，函数的定义域为， 又，所以函数的值域为， 因为在上单调递增， 若存在，使得在上的值域为， 则函数在上单调递增， 有，解得或，或， 显然，所以，， 即存在，使得在上的值域为， 故函数为“佳”函数. “佳”函数的区间为； 变式8．（2026·高一·广西河池·阶段检测）已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 【解析】（1）∵为幂函数，∴， 解得或， 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， ∴； （2）由（1）得，∴时，， ∵为上的减函数， ∴当时，， ∵，∴， ∴解得， 实数k的取值范围是． 题型五：图象识别与分析应用 例13．若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 例14．（2026·高二·湖南娄底·学业考试）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，故C选项错误，D选项错误； 函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称，故B选项错误；A选项正确； 例15．（2026·高一·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【解析】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 变式9．（2026·高一·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 变式10．（2026·高一·新疆阿克苏·期末）如图是某幂函数的图象，则该幂函数可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知，该幂函数的定义域为，而ABC选项中的幂函数的定义域均为， 幂函数的定义域为，符合题意， 由图可知，该幂函数在上为增函数，且在第一象限内的图象呈“上凸”状， 故该函数为. 故选：D. 题型六：图象定点求解问题 例16．（2026·高一·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【答案】 【解析】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 例17．（2026·高一·上海·阶段检测）函数的图像恒过点________________． 【答案】 【解析】令得，此时，所以的图象恒过. 例18．（2026·高一·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【解析】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 变式11．幂函数的图像恒过定点______． 【答案】 【解析】幂函数的图像恒过定点. 故答案为： 变式12．（2026·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________． 【答案】 【解析】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 题型七：单调性的应用与不等式求解 例19．（2026·高一·四川绵阳·期末）已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】设幂函数的解析式为，由题意可得：， 即幂函数的解析式为：， 则即：， 得：，求解不等式组可得实数的取值范围是. 故答案为： 例20．（2026·高一·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 例21．（2026·高一·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 变式13．（2026·高一·甘肃兰州·期末）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，是奇函数，符合题意； 当时，是偶函数，不符合题意； 所以，，因为在上单调递增， ，所以，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 变式14．（2026·高二·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【解析】由题意得，，解得，. 变式15．（2026·高三·上海·期中）设，若，且，则取值的集合是_____． 【答案】 【解析】若，则与均为偶函数，由偶函数的对称性，不妨考虑时， 此时，符合题意； 若，则与均为偶函数，由偶函数的对称性，仍不妨考虑时， 此时，符合题意； 若或时，此时为奇函数，且时，，不符合题意； 综上所述：取值的集合是. 故答案为： 题型八：幂函数式大小比较 例22．（2026·高一·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【答案】 【解析】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 例23．（2026·高一·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 【答案】 【解析】因为在上单调递增，则， 所以. 故答案为：. 例24．若，则的大小关系为______． 【答案】 【解析】因为幂函数在上单调递增，， 所以即，又， 所以. 故答案为： 变式16．（2026·高一·北京房山·期末）已知，，，则的大小关系为_______． 【答案】/a<c<b 【解析】函数在R上递增，，则，函数为偶函数且在单调递增，，则， 综上，. 故答案为：. 变式17．设，，，把它们按从小到大的顺序排列是_____________. 【答案】 【解析】因为，，所以. 故答案为： 变式18．（2026·高二·新疆伊犁·期末）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论： ①；②；③；④． 其中正确结论的序号是______ 【答案】②③ 【解析】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即,解得：，所以，定义域为， 设，定义域为，因为， 所以在上单调递增， 若，则有，即，故①不正确，②正确； 设，定义域为，因为， 所以在上单调递减， 若，则有，即故③正确，④不正确； 因此正确结论的序号是②③， 故答案为：②③. 题型九：幂函数性质的综合应用 例25．（2026·高一·广东广州·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上具有严格的单调性，求t的取值范围； (3)若实数a，满足，求的最小值. 【解析】（1）由题意可得，解得， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得， 即或2，又因为为偶函数，所以， 即； （2）因为，所以， 其开口向上，对称轴为， 又因为函数在上具有严格的单调性，所以或， 解得或， 所以实数t的取值范围为； （3）由题可知a，，且， 所以，可得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值是 例26．（2026·高一·山东枣庄·期中）幂函数过点. (1)求函数的解析式； (2)用单调性的定义证明在其定义域上单调递增. 【解析】（1）把点代入，得，解得，所以. （2）由题意可知，函数的定义域为， 、且，则 ， 因为，所以， 若，则，解得，矛盾，故， 所以，即在其定义域上单调递增. 例27．（2026·高一·上海·期中）已知幂函数，其中， (1)若函数不经过原点，求函数的解析式； (2)若函数在上严格增函数， ①求不等式的解集，其中； ②若函数，当，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）为幂函数， 则，解得或， 当时，，不过原点，符合题意； 当时，，过原点，不符合题意； 所以； （2）由（1）知，当时，在单调递减，不符合题意， 当时，在单调递增，符合题意； 所以， ①不等式为， 即， （Ⅰ）当时，不等式的解集为或； （Ⅱ）当时，不等式的解集为； （Ⅲ）当时，不等式的解集为； （Ⅳ）当时， 不等式的解集为； （Ⅴ）当时，不等式的解集为； ②，令， 则， 当，即，在单调递增， ，解得； 当，即，在单调递减， ，解得（舍去）； 当，即， ，解得（舍去）； 综上，存在，． 变式19．（2026·高一·安徽芜湖·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式：. 【解析】（1）因为在上单调递增，故，即， 而为整数，故， 当时，，是奇函数，图象关于轴不对称，不合题意； 当时，，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 当时，，是奇函数，图象关于轴不对称，不合题意， 所以. （2）易知为偶函数，且在上为增函数. 所以不等式可转化为， 所以，即， 移项因式分解得， 即，因式分解得， 由穿根法得不等式的解集为. 变式20．（2026·高一·河南·期中）已知幂函数. (1)求的解析式并判断的奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由是幂函数，得，解得，       则，其定义域为.       因为，所以为奇函数. （2）由，可得. 而在上单调递减且恒负，在上单调递减且恒正， 所以或或，解得或. 故的取值范围是. 变式21．（2026·高一·天津滨海新区·期中）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)当时，求不等式的解集． 【解析】（1）由为幂函数，得，解得或， 当时，为奇函数，舍去； 当时，为偶函数，符合题意. 综上所述，. （2）因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且为偶函数， 则，等价于， 则，整理得，解得或， 所以的取值范围为． （3）由， 则，即， 当时，不等式为，则不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 1．（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数，由题意，故， 于是，则， 令，则，且， 故的最值可转化为函数的最值， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值3. 2．（2026·高二·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 3．（2026·高二·浙江舟山·期末）若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【解析】当，则，显然函数为非奇非偶函数，充分性成立， 当幂函数，则， 即，得或， 若，即为非奇非偶函数，满足， 若，即为奇函数，不满足，所以，故必要性成立， 综上，p是q的充要条件. 4．（2026·高二·浙江·阶段检测）已知函数，不等式对于恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，所以； 当时，，所以； 当时，. 所以对，总有. 所以函数为奇函数. 当时，，在上单调递减. 结合奇函数的性质和函数图象可得函数在上单调递减. 所以， 所以，恒成立. 又（当且仅当时取等号）. 所以，可得. 即实数的取值范围为. 5．已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项 A，因为函数在上是单调递增函数， 又 ，所以，A正确. 选项 B，令，， 则 ，，此时，B 错误. 选项 C，由 可得 ， 函数 在上单调递增，所以，C 错误. 选项 D，同样取，， 则 ， ，此时，D 错误. 6．（2026·高三·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【解析】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 7．（2026·高三·湖南长沙·开学考试）已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解析】因为为幂函数， 所以，即，解得，或， 所以或 又函数的定义域为，所以，， 所以， 故选：D 8．（2026·高一·江苏淮安·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【解析】幂函数，A选项错误； 定义域为，又因为，所以是偶函数，C选项错误； 幂函数，所以的值域为，D选项正确； 因为幂函数在上单调递增，所以，B选项错误. 故选：D. 9．（多选题）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 【答案】BD 【解析】由题意，解得，则， 将点，即代入，得，即， 定义域为，有， 故为奇函数，故B正确，C错误； 又，所以在和上为减函数，故A错误，D正确． 10．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·期末）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ABD 【解析】对于A，设幂函数解析式为，代入点，可得，，解得，解析式为，故A正确， 对于B，，，故B正确， 对于C，函数为幂函数，且，所以在区间上单调递减， 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故C错误， 对于D，由已知可得，，解得或， 又幂函数图象关于轴对称，，，在区间上单调递增， ，， ，故D正确. 11．（多选题）（2026·高一·湖北·期末）已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 【答案】ABD 【解析】因为幂函数的图象过， 所以，解得，A正确； 所以，定义域为，因为， 所以是奇函数，B正确； 在和上各自单调递减，但在整个定义域上不是减函数，C错误； 根据幂函数的性质可知，的值域为，D正确. 故选：ABD. 12．（2026·高一·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 【答案】2 【解析】易知，即，解得或； 又因为在上是增函数，所以. 13．（2026·高一·浙江·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则______. 【答案】 【解析】设，代入点， 可得， 解得，所以， 所以. 14．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【解析】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 15．（2026·高一·福建福州·期中）已知幂函数的图象不关于原点对称．    (1)求的解析式，并在该直角坐标系中作出图象； (2)判断的单调性，并用定义法证明． 【解析】（1）由题意可得，解得或， 当时，，是奇函数，其图象关于原点对称，不合题意； 当时，，定义域为，其图象不关于原点对称，符合题意， 所以. 作出的图象，如图， （2）在上为减函数， 证明：任取， ， 因为，所以， 所以，即在上为减函数. 16．（2026·高一·重庆·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)设函数，求的定义域和单调递增区间. 【解析】（1）由题意得，所以或， 当时，此时，显然为奇函数，故舍去； 当时，此时，显然为偶函数，满足题意. 则. （2）由(1)可得， 在上不是单调函数，所以对称轴，即，所以， 实数a的取值范围为. （3），则，解得或， 则其定义域为， 设，则内函数在上单调递增， 又因为外函数在上单调递增， 故的单调递增区间为. 17．（2026·高一·陕西西安·期中）已知幂函数，其中m为整数. (1)求. (2)判断函数的奇偶性并加以说明. (3)若，求的最小值. 【解析】（1）幂函数，所以， 解得或， 因为m为整数，所以，所以. （2）为奇函数，证明如下： 的定义域为， ，， 所以为奇函数. （3）当， ， 因为，， ， ，， 当且仅当，即时取等. 故的最小值为. 18．（2026·高一·山西晋中·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)当时，求函数的最小值. 【解析】（1）由题意可得：， 解得：； （2）由（1）， 则，对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，所以． 综上所述， 19．（2026·高一·河北邢台·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递增． (1)求的值，并求的解析式； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【解析】（1）因为为幂函数， 所以，解得或. 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在上单调递减，不符合题意． 综上所述，的值为的解析式为. （2）因存在，则， 令，则， 当且仅当时，等号成立，即取得最小值. 故，即的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 幂函数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点01 幂函数概念 3 知识点02 幂函数的图象及性质 3 03 题型精讲举一反三 5 题型一：幂函数的概念辨析 5 题型二：函数解析式的确定 5 题型三：定义域的求解计算 6 题型四：值域的求解计算 6 题型五：图象识别与分析应用 7 题型六：图象定点求解问题 9 题型七：单调性的应用与不等式求解 9 题型八：幂函数式大小比较 10 题型九：幂函数性质的综合应用 10 04 过关测试 13 知识点01 幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点02 幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 题型一：幂函数的概念辨析 例1．（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（2026·高一·湖北·阶段检测）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 例3．在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 变式2．下列函数中不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：函数解析式的确定 例4．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 例5．（2026·高一·湖南衡阳·开学考试）如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 例6．（2026·高一·浙江杭州·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数解析式：①是奇函数；②是上单调递减的幂函数：_________． 变式3．（2026·高一·广东肇庆·期末）已知幂函数的图像过点，则幂函数的解析式是__________. 变式4．（2026·高一·天津和平·期中）若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 题型三：定义域的求解计算 例7．（2026·高一·上海青浦·阶段检测）函数的定义域是______． 例8．（2026·高一·上海·期中）若有意义，则实数的取值范围是________ 例9．（2026·高一·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 变式5．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 变式6．（2026·高一·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 题型四：值域的求解计算 例10．（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 例11．已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 例12．（2026·高一·山东泰安·阶段检测）已知幂函数（其中，）满足： ①在区间上为减函数； ②对任意的，都有. 求幂函数的解析式，并求当时，的值域. 变式7．（2026·高一·云南玉溪·阶段检测）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数. (1)求函数的解析式. (2)函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. 变式8．（2026·高一·广西河池·阶段检测）已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 题型五：图象识别与分析应用 例13．若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 例14．（2026·高二·湖南娄底·学业考试）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 例15．（2026·高一·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 变式9．（2026·高一·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 变式10．（2026·高一·新疆阿克苏·期末）如图是某幂函数的图象，则该幂函数可能是（   ）    A． B． C． D． 题型六：图象定点求解问题 例16．（2026·高一·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 例17．（2026·高一·上海·阶段检测）函数的图像恒过点________________． 例18．（2026·高一·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 变式11．幂函数的图像恒过定点______． 变式12．（2026·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________． 题型七：单调性的应用与不等式求解 例19．（2026·高一·四川绵阳·期末）已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 例20．（2026·高一·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 例21．（2026·高一·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 变式13．（2026·高一·甘肃兰州·期末）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为________． 变式14．（2026·高二·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 变式15．（2026·高三·上海·期中）设，若，且，则取值的集合是_____． 题型八：幂函数式大小比较 例22．（2026·高一·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 例23．（2026·高一·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 例24．若，则的大小关系为______． 变式16．（2026·高一·北京房山·期末）已知，，，则的大小关系为_______． 变式17．设，，，把它们按从小到大的顺序排列是_____________. 变式18．（2026·高二·新疆伊犁·期末）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论： ①；②；③；④． 其中正确结论的序号是______ 题型九：幂函数性质的综合应用 例25．（2026·高一·广东广州·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上具有严格的单调性，求t的取值范围； (3)若实数a，满足，求的最小值. 例26．（2026·高一·山东枣庄·期中）幂函数过点. (1)求函数的解析式； (2)用单调性的定义证明在其定义域上单调递增. 例27．（2026·高一·上海·期中）已知幂函数，其中， (1)若函数不经过原点，求函数的解析式； (2)若函数在上严格增函数， ①求不等式的解集，其中； ②若函数，当，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 变式19．（2026·高一·安徽芜湖·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式：. 变式20．（2026·高一·河南·期中）已知幂函数. (1)求的解析式并判断的奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. 变式21．（2026·高一·天津滨海新区·期中）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)当时，求不等式的解集． 1．（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 2．（2026·高二·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·高二·浙江舟山·期末）若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 4．（2026·高二·浙江·阶段检测）已知函数，不等式对于恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高三·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 7．（2026·高三·湖南长沙·开学考试）已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 8．（2026·高一·江苏淮安·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 9．（多选题）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 10．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·期末）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 11．（多选题）（2026·高一·湖北·期末）已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 12．（2026·高一·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 13．（2026·高一·浙江·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则______. 14．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 15．（2026·高一·福建福州·期中）已知幂函数的图象不关于原点对称．    (1)求的解析式，并在该直角坐标系中作出图象； (2)判断的单调性，并用定义法证明． 16．（2026·高一·重庆·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)设函数，求的定义域和单调递增区间. 17．（2026·高一·陕西西安·期中）已知幂函数，其中m为整数. (1)求. (2)判断函数的奇偶性并加以说明. (3)若，求的最小值. 18．（2026·高一·山西晋中·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)当时，求函数的最小值. 19．（2026·高一·河北邢台·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递增． (1)求的值，并求的解析式； (2)若存在，使得，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $