6.1 幂函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦幂函数、指数函数等基本初等函数，通过列举y=x³、y=1/x等具体函数图像及表达式导入，引导学生从已学函数知识过渡到新内容，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合数学眼光观察函数图像抽象属性，通过对比不同函数的定义域、值域、奇偶性及单调性培养数学思维，用清晰的性质列表呈现数学语言。采用实例分析与对比归纳法，学生能提升函数概念理解与推理能力，教师可借助结构化素材提高教学效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6．1　幂函数 y＝xα {x|x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 减 增 增 减 减 课下培优巩固练（二十七） [课程标准]　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x eq \s\up16(\f(1,2)) 的图象，理解它们的变化规律．2．了解幂函数． 一、幂函数的概念 一般地，函数_________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 微点拨：对幂函数y＝xα概念的理解 (1)xα的系数为1. (2)xα的底数是自变量． (3)xα的指数为常数．只有同时满足这三个条件，才是幂函数，对于形如y＝ (2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x eq \s\up16(\f(1,2)) ，y＝x－1的图象如图所示： 微点拨：如图： 在第一象限内，幂函数y＝xα在直线x＝1右侧的图象，自上而下指数α的值依次减小． 三、五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x eq \s\up16(\f(1,2)) y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) _______________ 值域 R _______________ R _____________ _______________ 奇偶性 ___ ___ ___ ____________ ___ 单调性 增 在[0，＋∞)上___， 在(－∞，0]上___ ___ ___ 在(0，＋∞)上___， 在(－∞，0)上___ 微点拨：一般幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1). (2)α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． (4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 【基点小试】 1．下列所给的函数中是幂函数的为(　　) A．y＝2x5 B．y＝x3＋1 C．y＝x－3 D．y＝3x 解析：由幂函数的定义知C正确． 答案：C 2．若幂函数y＝xa，y＝xb在同一坐标系中的部分图象如图所示，则a、b的大小关系正确的是(　　) A．a>1>b B．b>1>a C．0>a>b D．0>b>a 解析：y＝xa和y＝xb在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)) 上单调递增，所以a>0，b>0， 当x>1时，y＝xa图象在y＝x上方，所以a>1， 当x>1时，y＝xb图象在y＝x下方，所以b<1， 所以a>1>b. 答案：A 3．幂函数是奇函数，且在(0，＋∞)是减函数，则整数a的值是(　　) A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 解析：由于幂函数是奇函数，且在(0，＋∞)是减函数， 故a2－2a－3<0，且a2－2a－3是奇数，且a是整数， ∴－1<a<3，a∈Z， 当a＝0时，a2－2a－3＝－3，是奇数； 当a＝1时，a2－2a－3＝－4，不是奇数； 当a＝2时，a2－2a－3＝－3，是奇数； 故a＝0或2. 答案：B 4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2， eq \f(\r(2),2) )，则f(4)＝______． 解析：由f(2)＝ eq \f(\r(2),2) 可知2α＝ eq \f(\r(2),2) ，即α＝－ eq \f(1,2) ，所以f(4)＝4－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) . 答案： eq \f(1,2) 5．给出下列说法： ①幂函数图象均过点(1，1)； ②幂函数的图象均在两个象限内出现； ③幂函数在第四象限内可以有图象； ④任意两个幂函数的图象最多有两个交点． 其中说法正确的有________(填序号). 解析：根据幂函数的图象特征可知①正确，②③④错误． 答案：① 题型一　幂函数的概念 例1.(1)在函数①y＝ eq \f(1,x) ，②y＝x2，③y＝2x， ④y＝2，⑤y＝2x2，⑥y＝x－ eq \f(1,2) 中，是幂函数的是(　　) A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 解析：幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－ eq \f(1,2) 的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数． 答案：C (2)已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出定义域． 解：∵为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x|x≠0}或y＝x0，定义域为{x|x≠0}． [总结] 　幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1. (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 【练一练】 1．(2025·丹阳高一上期末)已知幂函数f(x)＝(m－2)xn经过点(8，2)，则m＋n的值是________． 解析：因为幂函数f(x)＝(m－2)xn经过点(8，2)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－2＝1，,8n＝2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝\f(1,3)，))所以m＋n＝ eq \f(10,3). 答案： eq \f(10,3) 2．若幂函数f(x)＝在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)) 上是减函数，则整数m＝________． 解析：因为幂函数f(x)＝在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)) 上是减函数， 所以m2－4m＋3<0，解得1<m<3， 因为m∈Z，所以m＝2. 答案：2 题型二　幂函数的图象及应用 例2.若点( eq \r(2) ，2)在幂函数f(x)的图象上，点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4))) 在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x). 解：设f(x)＝xα，因为点( eq \r(2) ，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点( eq \r(2) ，2)代入f(x)＝xα中，得2＝( eq \r(2) )α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2. 在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得， (1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； (3)当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x). [总结]　(1)幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 【练一练】 3．在同一坐标系内，函数y＝xa eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠0)) 和y＝ax－ eq \f(1,a) 的图象可能是(　　) 解析：由题意，若a>0时，函数y＝xa在(0，＋∞)递增，此时y＝ax－ eq \f(1,a) 递增， 若a<0时，函数y＝xa在(0，＋∞)递减，y＝ax－ eq \f(1,a) 递减， 所以当x>0时，y＝xa eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠0)) 和y＝ax－ eq \f(1,a) 单调性相同，故排除选项A，B， 选项D中：由y＝xa图象可知a<0，此时y＝ax－ eq \f(1,a) 与y轴交点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,a))) ， 所以交于y轴正半轴，可排除D. 答案： C 4．下列四个图象中，函数y＝x eq \s\up16(\f(3,4)) 的图象是(　　) 解析：因为y＝x eq \s\up16(\f(3,4)) ，即y＝x eq \s\up16(\f(3,4)) ＝ eq \r(4,x3) ，所以x3≥0，解得x≥0，即函数的定义域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)) ，故排除A、C、D，且函数在定义域上单调递增，故B正确． 答案：B 题型三　比较幂值的大小 例3.(1)已知幂函数f(x)的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－8)) ，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则a的取值范围是________． 解析：设f(x)＝xα，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2)) eq \s\up12(α) ＝－8，得α＝3，所以f(x)＝x3.容易判断f(x)是定义在R上的增函数，且为奇函数，所以由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1)) ≤－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－3)) ，得f(a＋1)≤f(3－a)，得a＋1≤3－a，故a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1)) . 答案： eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1)) (2)（苏教版必修一P132例2改编）比较下列各组数中两个数的大小． (1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up12(0.5) 与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(0.5) ； (2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－1) 与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(－1) ； (3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up16(\f(3,4)) 与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up16(\f(3,2)) . 解：(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又 eq \f(2,5) > eq \f(1,3) ，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up12(0.5) > eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(0.5) . (2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－ eq \f(2,3) <－ eq \f(3,5) ，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－1) > eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(－1) . (3)∵函数y1＝x eq \s\up16(\f(3,4)) 为(0，＋∞)上的增函数，又 eq \f(3,2) ＞1，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up16(\f(3,4)) ＞1 eq \s\up16(\f(3,4)) ＝1. 又∵函数y2＝x eq \s\up16(\f(3,2)) 在(0，＋∞)上是增函数，且 eq \f(3,4) ＜1， ∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up16(\f(3,2)) ＜1 eq \s\up16(\f(3,2)) ＝1，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up16(\f(3,4)) ＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up16(\f(3,2)) . [总结]　比较幂值大小的两种基本方法 直接法 当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小 【练一练】 5．a＝1.2 eq \s\up16(\f(1,2)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,9))) eq \s\up16(\f(1,2)) ，c＝1.1 eq \s\up16(\f(1,2)) 的大小关系是(　　) A．c<a<b B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 解析：因为y＝x eq \s\up16(\f(1,2)) 是增函数，所以1.2 eq \s\up16(\f(1,2)) > eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,9))) eq \s\up16(\f(1,2)) >1.1 eq \s\up16(\f(1,2)) ，即a>b>c. 答案：D 6．若(3－2m) eq \s\up16(\f(1,2)) ＞(m＋1) eq \s\up16(\f(1,2)) ，求实数m的取值范围． 解：因为y＝x eq \s\up16(\f(1,2)) 在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2m≥0，,m＋1≥0，,3－2m＞m＋1，)) 解得－1≤m＜ eq \f(2,3) . 故实数m的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3))) . 题型四　幂函数性质的综合应用 例4.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1)) eq \s\up12(－\f(m,3)) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－2a)) eq \s\up12(－\f(m,3)) 的a的取值范围． 解：因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0， 解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1，2. 因为函数的图象关于y轴对称， 所以3m－9为偶数，故m＝1. 则原不等式可化为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1)) eq \s\up12(－\f(1,3)) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－2a)) eq \s\up12(－\f(1,3)) . 因为y＝x－ eq \f(1,3) 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减， 所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a， 解得 eq \f(2,3) <a< eq \f(3,2) 或a<－1. 故a的取值范围是{a|a<－1或 eq \f(2,3) <a< eq \f(3,2) }． [总结] 　解决幂函数的综合问题，应注意以下两点 (1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等； (2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合、转化与化归思想等． 【练一练】 7．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图象关于y轴对称，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2)) <f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3)) . (1)求m的值及函数f(x)的解析式； (2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2)) <f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2a)) ，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，函数f(x)＝(m∈Z)的图象关于y轴对称，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2)) <f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3)) ， 所以在区间(0，＋∞)为单调递增函数， 所以m2－4m<0，解得0<m<4， 由m∈Z，m＝1，2，3. 又函数f(x)＝的图象关于y轴对称，所以4m－m2为偶数，所以m＝2，所以f(x)＝x4. (2)因为函数f(x)＝x4图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)为单调递增函数， 所以不等式f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2)) <f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2a)) ，等价于|a＋2|<|1－2a|，解得a>3或a<－ eq \f(1,3) ， 所以实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))) ∪(3，＋∞). $