精品解析：天津市河西区2025-2026学年高一下学期数学（二）试题

高一年级数学（二） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 参考公式： ·如果事件，互斥，那么． ·如果事件，相互独立，那么． ·台体的体积公式，其中，分别表示上、下底面面积，表示台体的高． ·球的表面积公式，球的体积公式，其中表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校为了了解高一学生的近视情况，计划先从高一年级的10个班级中抽取3个班，再按照男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是（ ） A. 简单随机抽样 B. 先用分层抽样，再用随机数表法 C. 抽签法 D. 先用抽签法，再用分层抽样 2. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ） A. ①是棱台 B. ②是圆台 C. ③是棱锥 D. ④是棱柱 3. 甲乙两人射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，记事件为“两人都击中”，事件为“至少1人击中”，事件为“无人击中”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是相互独立 C. 事件与是对立事件 D. 4. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A. 若，，，则，是异面直线 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 在某频率直方图中，从左到右共有11个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为（ ）． A. 32 B. 0.2 C. 40 D. 0.25 6. 设，且相互独立，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 7. 已知一组数据4，7，6，5，a的平均数为5，则这组数据的方差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则这两部分的体积比为（ ） A. B. C. D. 9. 已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ） A. B. C. D. 高一年级数学（二） 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共9小题，共64分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 数据2，1，3，6，4，9，6，8，5的极差为________． 11. 某企业三个分厂生产同一种电子产品共200件，用分层抽样方法从三个分厂共抽取10件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂2件，来自第三分厂3件，则第一分厂生产的电子产品件数为________． 12. 已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为________． 13. 已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的内切球的表面积为________． 14. 有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，3个红球；乙袋中有2个白球，4个红球．现掷一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过2，从甲袋中摸出1个球；如果点数超过2，从乙袋中摸出1个球，则摸出的是红球的概率为________． 15. 如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点A为下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，则该圆台的体积为________；直线与平面所成角的正切值最大为________． 三．解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 某厂生产的8件产品中，有6件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别．从这8件产品中任意地抽检2件． （1）求2件都是合格品的概率； （2）求1件是合格品、1件是不合格品的概率； （3）若抽检的2件产品都是不合格品，则这批产品将被退货，求这批产品没有被退货的概率． 17. 某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，从测试成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示． （1）求的值并估计该样本中成绩在80分以上的人数； （2）试分别估计本次测试成绩的平均成绩和上四分位数； （3）立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳．假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学（二） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 参考公式： ·如果事件，互斥，那么． ·如果事件，相互独立，那么． ·台体的体积公式，其中，分别表示上、下底面面积，表示台体的高． ·球的表面积公式，球的体积公式，其中表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校为了了解高一学生的近视情况，计划先从高一年级的10个班级中抽取3个班，再按照男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是（ ） A. 简单随机抽样 B. 先用分层抽样，再用随机数表法 C. 抽签法 D. 先用抽签法，再用分层抽样 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知先用抽签法抽出三个班级，再按照男女生比例分层抽样. 2. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ） A. ①是棱台 B. ②是圆台 C. ③是棱锥 D. ④是棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间几何体的概念特征直接判断即可. 【详解】根据棱台的概念，①中上下底面不相似，不是棱台；根据圆台的概念，②中上下底面不平行，不是圆台；根据棱锥的概念，③中下底面不是多边形，即不是棱锥；故A，B，C都是错误的，根据棱柱的概念，④是上下底面为五边形的五棱柱的，故D正确的. 故选：D． 3. 甲乙两人射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，记事件为“两人都击中”，事件为“至少1人击中”，事件为“无人击中”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是相互独立 C. 事件与是对立事件 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算各事件的概率，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义逐一判断选项，选出错误结论. 【详解】对A：事件与不能同时发生，故事件与是互斥事件，故A正确； 对B：，， ，有，故事件与不是相互独立事件，故B错误； 对C：“至少1人击中”与 “无人击中”为对立事件，故C正确； 对D：，故D正确. 4. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A. 若，，，则，是异面直线 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合长方体模型及线面平行，线面垂直关系判断可得. 【详解】对于A：如图：在长方体中，，，，但，故A错误； 对于B：如图：在长方体中，，，，但，故B错误； 对于C：因为，，所以，又因为，所以，故C正确； 对于D：如图：在长方体中，，，，但，所以D错误； 故选：C 5. 在某频率直方图中，从左到右共有11个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为（ ）． A. 32 B. 0.2 C. 40 D. 0.25 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到居中的那个小矩形的面积占全部面积的，计算得到答案. 【详解】根据题意：居中的那个小矩形的面积占全部面积的，故. 故选：A. 6. 设，且相互独立，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】利用相互独立事件乘法公式，再由和事件概率公式即可求解. 【详解】由相互独立，所以， 又因为，所以， 而， 故选：C. 7. 已知一组数据4，7，6，5，a的平均数为5，则这组数据的方差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先由平均数的计算公式可得，再由方差的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为4，7，6，5，a的平均数为5， 即，解得， 则方差为. 故选：A 8. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则这两部分的体积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先作出过，，三点的截面，再利用棱柱和棱台的体积公式，即可求解. 【详解】如图，延长，交的延长线于点，连接，交于 因为是棱的中点，且，所以， 又，所以为中点，故过，，三点的截面为， 又正方体的棱长为，则正方体的体积为， 又，， 所以棱台的体积为， 则两部分的体积比为. 9. 已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，作，设点轨迹所在平面为，设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，则可得平面平面，且四点共面，求出三棱锥外接球半径和到平面的距离，从而可求出平面截外接球所得截面圆的半径，进而可得结果. 【详解】取中点，连接， 则，平面 ∴平面，，又， ∴， 则三棱锥的高， 三棱锥体积为； 作，设点轨迹所在平面为， 则平面经过点且， 设三棱锥外接球的球心为的中心分别为， 易知平面平面，且四点共面， 由题可得，， 解Rt ，得，又， 则三棱锥外接球半径， 易知到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径为， ∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为. 故答案为：. 高一年级数学（二） 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共9小题，共64分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 数据2，1，3，6，4，9，6，8，5的极差为________． 【答案】 【解析】 【详解】最大数据为9，最小数据为1，则极差为. 11. 某企业三个分厂生产同一种电子产品共200件，用分层抽样方法从三个分厂共抽取10件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂2件，来自第三分厂3件，则第一分厂生产的电子产品件数为________． 【答案】 100 【解析】 【详解】设第一分厂生产的电子产品件数为件，则有，故， 即第一分厂生产的电子产品件数为件. 12. 已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由圆锥底面积求出底面半径，再根据侧面展开图的弧长等于底面圆周长的等量关系求解母线长. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， ，解得， 则有，得. 13. 已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的内切球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，由正方体的体对角线是外接球直径，正方体的棱长等于内切球直径可求解． 【详解】设正方体的棱长为，则外接球的半径，所以外接球的体积为，解得， 所以内切球的半径为，则该正方体的内切球的表面积为. 14. 有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，3个红球；乙袋中有2个白球，4个红球．现掷一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过2，从甲袋中摸出1个球；如果点数超过2，从乙袋中摸出1个球，则摸出的是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合古典概型概率计算、相互独立事件概率计算，求得摸到红球的概率. 【详解】掷一枚质地均匀的骰子，点数不超过2的概率为，从甲箱子摸到红球的概率为， 掷到点数超过2的概率为，从乙箱子摸到红球的概率为， 故摸出红球的概率P＝＝． 15. 如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点A为下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，则该圆台的体积为________；直线与平面所成角的正切值最大为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用圆台体积公式直接计算体积；根据面面垂直的性质定理作出线面角，建立三角函数模型，利用函数的单调性求解最大值. 【详解】由题意可知，圆台的上底面半径，下底面半径，高， 可得该圆台的体积. 因为垂直于圆台的上下底面，且平面， 所以平面下底面圆. 设平面与下底面的交线为直线，则直线过点，且. 过点作于点，连接. 因为平面下底面圆，平面下底面圆，下底面圆， 所以平面， 则直线与平面所成角即为. 在中，. 设，因为点在下底面圆周上，直线过圆心，下底面半径为2， 所以， 在中，. 在中，. 所以. 令， 因为在上单调递减，且恒大于0， 所以在上单调递增. 故当时，取得最大值， 最大值为. 即直线与平面所成角的正切值最大为. 三．解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 某厂生产的8件产品中，有6件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别．从这8件产品中任意地抽检2件． （1）求2件都是合格品的概率； （2）求1件是合格品、1件是不合格品的概率； （3）若抽检的2件产品都是不合格品，则这批产品将被退货，求这批产品没有被退货的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算基本事件数，代入古典概型公式求解； （2）计算基本事件数，代入古典概型公式求解； （3）通过对立事件概率性质代入古典概型公式运算. 【小问1详解】 从8件产品中任意抽取2件，总抽取方法数为种， 2件都是合格品的事件包含的基本事件数为从6件合格品中抽取2件的组合数，即种， 由古典概型概率公式得所求概率. 【小问2详解】 1件是合格品、1件是不合格品的事件包含的基本事件数为种，由古典概型概率公式得所求概率. 【小问3详解】 设“这批产品被退货”为事件A，即抽取的2件均为不合格品，事件A包含的基本事件数为种，故， “这批产品没有被退货”是事件A的对立事件，由对立事件概率性质得. 17. 某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，从测试成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示． （1）求的值并估计该样本中成绩在80分以上的人数； （2）试分别估计本次测试成绩的平均成绩和上四分位数； （3）立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳．假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率． 【答案】（1），估计该样本中成绩在分以上的人数为人； （2）平均成绩为分，上四分位数为分； （3）小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求解即可； （2）由频率分布直方图结合平均数以及百分位数的计算即可求解； （3）由小明立定跳远项目最终获得满分的概率包括第一次满分和第一次没有满分但第二次满分两种情况即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，， 解得， 所以该样本中成绩在分以上的人数为. 【小问2详解】 本次测试成绩的平均成绩为， 本次测试成绩的上四分位数为，解得. 【小问3详解】 若第一跳满分，则其概率为，第一跳未满分但第二跳满分，概率为， 所以小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面平面，引用面面垂直的性质定理，得平面，再根据线面垂直的性质，得到； （2）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理得平面，最后利用线面平行性质定理得到； （3）由二面角的定义知是二面角的平面角，由此可设再由面面垂直的判定定理可知平面，所以即为与底面所成角，求解即可. 【小问1详解】 因为底面为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以. 【小问2详解】 取的中点，连接，， 因为点分别为的中点， 所以，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面 所以. 【小问3详解】 因为平面，平面，所以，又， 是二面角的平面角，所以， 设则，连接，， 因为，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，所以即为与底面所成角， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以在直角三角形中，. 所以与底面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $