精品解析：天津市宝坻区第九中学2025-2026学年度高一第二学期阶段期中考试数学试卷

宝坻九中2025-2026学年度第二学期第二次练习 （数学学科） 2026年5月 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 化简的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 2. 关于向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，只说明向量模长相等，但向量的方向不一定相同，所以不一定等于，A错误； 对于B，若，零向量和任意向量平行，此时、，但与不一定平行，B错误； 对于C，说明与方向相反，方向相反的两个向量是平行向量，即，C正确； 对于D，向量既有大小又有方向，向量不能直接比较大小，只有模长可以比较，D错误． 3. 已知平面向量，则向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量，，所以，，则. 4. 已知平面向量，且与的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数量积和模的坐标计算公式及夹角公式计算可得的值. 【详解】由， 可得，，， 所以，解得， 由可得，故. 5. 已知复数，则下列命题中不正确的是（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面上对应的点位于第一象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的相关概念，即可判断选项. 【详解】由复数可知，，，的虚部为1，在复平面上对应的点为，位于第一象限，所以不正确的是C. 故选：C 6. 已知圆柱的底面半径为，高为，则此圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知圆柱的底面半径为，高为， 则圆柱的表面积． 7. 给出下列4个命题，其中正确的命题个数是（ ） ①垂直于同一直线的两条直线平行 ②垂直于同一平面的两条直线平行 ③垂直于同一直线的两个平面平行 ④垂直于同一平面的两个平面平行 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】对于①：在空间范围内，垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，故①错误； 对于②：由线面垂直的性质定理可知，垂直于同一平面的两条直线平行，故②正确； 对于③：由线面垂直的性质与面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故③正确； 对于④：垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交，例如墙角处的两个竖直墙面均垂直于地面，但两墙面相交，故④错误; 综上，正确的命题为②③，共2个，故选B. 8. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合投影向量公式求解即可. 【详解】因为在上的投影向量为，， 所以在上的投影向量为． 9. 在中，已知，，，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】在中，根据正弦定理得， 所以， 故. 10. 已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积等于（ ） A. 12 B. 15 C. 36 D. 45 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 已知是虚数单位，复数____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由复数的除法运算计算可得结果. 【详解】. 12. 已知，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】设为坐标原点， 因为， 所以，， 所以. 13. 已知向量，若．则____________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，，所以，解得，. 14. 在中，若，则角____________． 【答案】 【解析】 【详解】在中，根据正弦定理， 代入已知条件， 得， 整理得，， 又， 由三角形边角关系可知， ， 又， 故角. 15. 在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为______． 【答案】36π 【解析】 【分析】如图，正方体外接球的半径为，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图， 设该正方体外接球的半径为R， 则， 所以该正方体外接球的表面积为． 故答案为： 三、解答题（每题12分，共60分） 16. 已知是虚数单位，复数． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） 或 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为为实数，所以，即，所以或； 【小问2详解】 因为为纯虚数，所以，即，所以； 【小问3详解】 若在复平面内对应的点位于第二象限,所以，即，所以. 17. 已知向量，且与的夹角为． （1）求的值； （2）求的值； （3）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量，且与的夹角为，利用数量积的定义求解； （2）由求解； （3）根据与垂直，由求解. 【小问1详解】 因为向量，且与的夹角为， 所以； 【小问2详解】 因为向量，且， 所以， ； 【小问3详解】 因为与垂直， 所以， ， 解得. 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的值； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由，得，由正弦定理得. 又，，所以，，所以， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 即的面积为. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，. （1）求b的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）1； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理建立方程求解即得； （2）利用同角三角函数基本关系及正弦定理求解； （3）利用二倍角公式及两角和的余弦公式求解. 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得，整理得， 所以. 【小问2详解】 在中，由，得， 由正弦定理，得. 【小问3详解】 由（2）得，， 所以. 20. 如图，四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧棱长相等均为4，E为棱SC的中点． （1）求证：平面BDE； （2）求异面直线SA与BE所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交点，连接，得出，利用线面平行的判定定理即可证明. （2）由题意得出为异面直线所成的角，利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 连接交点，连接， 底面是边长为2的正方形，E为棱SC的中点， 则，因为平面BDE ，平面BDE ， 所以平面BDE. 【小问2详解】 由（1）可知异面直线SA与BE所成角为， 因为底面是边长为2的正方形，侧棱长相等均为4， 所以，， 取的中点，连接，， 在中，， 在中，. 所以异面直线SA与BE所成角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻九中2025-2026学年度第二学期第二次练习 （数学学科） 2026年5月 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 化简的结果等于（ ） A. B. C. D. 2. 关于向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知平面向量，则向量等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，且与的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数，则下列命题中不正确的是（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面上对应的点位于第一象限 6. 已知圆柱的底面半径为，高为，则此圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 给出下列4个命题，其中正确的命题个数是（ ） ①垂直于同一直线的两条直线平行 ②垂直于同一平面的两条直线平行 ③垂直于同一直线的两个平面平行 ④垂直于同一平面的两个平面平行 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，已知，，，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 10. 已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积等于（ ） A. 12 B. 15 C. 36 D. 45 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 已知是虚数单位，复数____________． 12. 已知，则____________． 13. 已知向量，若．则____________． 14. 在中，若，则角____________． 15. 在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为______． 三、解答题（每题12分，共60分） 16. 已知是虚数单位，复数． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 17. 已知向量，且与的夹角为． （1）求的值； （2）求的值； （3）若与垂直，求的值． 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的值； （2）若，，求的面积． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，. （1）求b的值； （2）求的值； （3）求的值. 20. 如图，四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧棱长相等均为4，E为棱SC的中点． （1）求证：平面BDE； （2）求异面直线SA与BE所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $