精品解析：天津市河西区2024-2025学年高一下学期4月期中质量调查数学试题

河西区2024—2025学年度第二学期高一年级期中质量调查 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】求得对应的坐标，由此得出正确选项. 【详解】复数对应的坐标为，在第三象限. 故选：C. 2. 设，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“·<0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合平面向量数量积的定义，根据充分必要条件的定义判断. 【详解】当与的夹角为钝角时，，充分性满足， 但当与的夹角时，，必要性不满足， 因此是充分不必要条件， 故选：A. 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，可得，解得. 故选：A. 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 5. 已知函数为奇函数，一个周期为，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，结合诱导公式，周期的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，， 此时函数是奇函数，又最小正周期，故A正确； 对于B，因为，所以不是的周期，故B不正确； 对于C，，， 此时函数是偶函数，故C不正确； 对于D，因为函数的最小正周期，所以不是的周期，故D不正确； 故选：A. 6. 已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求出，再由即可判断. 【详解】由可得，， ， 因在上的投影向量为，故，则， 因，则， 即与的夹角为. 故选：C. 7. 在中，角，，所对边的长分别为，，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出,将已知等式代入求出的值,进而求出的值,原式利用诱导公式化简后将的值代入计算即可求出值. 【详解】, , 为三角形的内角, , 则. 故选：B. 8. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得,进而可得，再根据两角差的正切公式即可求出结果. 【详解】因为， 所以， ， ， 所以或， 又，所以， 所以， 所以， 故选：B. 9. 函数.的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（ ） ①函数的图象关于点对称： ②函数的解析式可以为 ③函数在上的值域为； ④若将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数的解析式为是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数的性质判断各结论． 【详解】由已知，．∴， ，又，∴， ∴． ，①错； 又，②正确； 时，，因此，③错误； 若将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向右平移个单位，则所得函数的解析式为是，④错， 所以正确的只有一个， 故选：A． 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共9小题，共64分. 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分. 10. 是虚数单位，__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的模的运算性质计算或者先运用复数的除法计算，再求其模长即可. 【详解】方法一：由. 方法二：因， 故 故答案为：1. 11. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：． 12. 复数范围内方程的根为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算的性质，解方程即可. 【详解】由题意得，则. 故答案为： 13. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合诱导公式，倍角公式求解即可. 【详解】故答案为： 【点睛】本题主要考查了诱导公式和倍角公式化简求值，属于中档题. 14. 如图，某海轮以的速度航行，若海轮在点测得海面上油井在南偏东，向北航行后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为沿北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件先由正弦定理求出的长，得出,求出的长，由勾股定理可得答案. 【详解】海轮向北航行后到达点，则 由题意，在中， 又则, 由正弦定理可得：,即 在中， ， 所以 故答案为： 15. 在中，,点是线段上的动点，则的最小值为__________；当取得最小值时,__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，确定两点坐标，设设，用坐标法求得数量积，结合函数性质得最小值，并由数量积的坐标表示求得，然后由平方关系得正弦值． 【详解】以为坐标原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 又中，，从而， 所以，即， 设， 则， 所以时，取得最小值， 此时，则， ，又， 所以， 故答案为：； 三､解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得． 【小问1详解】 根据正弦定理， 变为，即， 也即， 所以． 整理，得，即，所以， 所以，则． 【小问2详解】 由，，得． 由余弦定理，得， 则，所以．则． 17. 如图，在平行四边形中，.分别为上的点，且 （1）若求的值； （2）求的值； （3）求 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面基本定理求解：用表示出即可得； （2）用为基底表示其它向量后，由数量积的运算律及定义计算； （3）即为与的夹角，由数量积的定义可求得其余弦值． 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 ， 所以 . 【小问3详解】 ， ， ， ， 则. 18. 已知函数． （1）求最小正周期； （2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的对称中心； （3）若在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式化简，再结合正弦型函数周期公式求最小正周期； （2）根据函数图象变换法则求函数的解析式，结合正弦函数性质求其对称中心； （3）由已知可得在上恒成立，再结合正弦函数性质求的值域，结合恒成立性质可得结论. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期为． 【小问2详解】 将函数的图象的横坐标缩小为原来的， 可得到函数的图象， 再将的函数图象向右平移个单位，最后得到函数的图象， 则， 令=，得， 所以对称中心为，. 【小问3详解】 当时，， 则， 所以， 所以在区间上的值域为． 由，得， 由在上恒成立， 得，解得， ∴实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河西区2024—2025学年度第二学期高一年级期中质量调查 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“·<0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为奇函数，一个周期为，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，所对边的长分别为，，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 函数.的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（ ） ①函数的图象关于点对称： ②函数的解析式可以为 ③函数在上的值域为； ④若将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数的解析式为是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共9小题，共64分. 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分. 10. 是虚数单位，__________. 11. 化简：___________． 12. 复数范围内方程的根为___________. 13. 若，则___________. 14. 如图，某海轮以的速度航行，若海轮在点测得海面上油井在南偏东，向北航行后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为沿北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离是________． 15. 在中，,点是线段上的动点，则的最小值为__________；当取得最小值时,__________. 三､解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 17. 如图，在平行四边形中，.分别为上的点，且 （1）若求的值； （2）求的值； （3）求 18. 已知函数． （1）求最小正周期； （2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的对称中心； （3）若在上恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $