预习手册6《2.2 一元二次方程的解法》预习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的四种解法，从降次思想切入，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的定义、适用条件及步骤，通过知识铺垫、分步探究与归纳总结构建学习支架，为后续二次函数学习奠定基础。 以转化与配方思想为核心，通过根的判别式应用培养推理意识，结合经典例题与分层训练帮助学生灵活选解法，提升运算能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与数学表达。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册6 《第2章一元二次方程第2节一元二次方程的解法》预习讲义 一．学习目标 ( 1.掌握一元二次方程四种基础解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）的定义、适用条件，熟记核心公式与解题步骤，理解各解法之间的内在联系。 2.能根据一元二次方程的形式，灵活选择最简解法求解方程，规范书写解题步骤，初步学会利用根的判别式判断方程实数根的情况。 3.通过配方法的推导过程，体会转化、配方的数学思想，提升代数运算能力和逻辑推理能力，为后续二次函数学习奠定基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.配方法、公式法解一元二次方程的标准步骤。 2.根的判别式的应用，能判断一元二次方程根的个数。 3.根据方程特征灵活选用合适的解法。 （二） 难点 1.理解配方法的原理，掌握二次项系数不为1时的配方技巧。 2.公式法的推导过程，准确区分参数a、b、c的正负符号。 3.因式分解法中提公因式、公式法分解因式解方程的灵活运用。 ) 三．知识梳理 （一）核心思想——降次 解一元二次方程的核心思想——降次：一元二次方程含未知数二次项，通过变形转化为一元一次方程求解，该转化思想称为降次。通常采用直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等四种方法解一元二次方程。 （二）四种解法梳理 1.直接开平方法 （1）知识铺垫 完全平方的非负性：若x2=a，则当a≥0时，方程有实数根；当a<0时，方程无实数根。 （2）解题原理 利用平方根的定义，对等式两边直接开平方，转化为两个一元一次方程求解。 （3）适用方程形式 对于形如或（，）型的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解. 如（）的解为，即，； 如（）转化为，即转化为或进行求解；当时，方程和均无解. 例1.用直接开平方法解方程 （1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16． 解：（1）∵x2﹣1＝80，∴x2＝81，∴x＝±9，即x1＝9，x2＝﹣9； （2）∵9x2+12＝16， ∴x2=， ∵x＝±， 即x1=，x2=-． 例2．用直接开平方法解方程： (1)(2x－1)2＝(x－2)2. (2)4(2y－5)2＝9(3y－1)2. 解：(1)由(2x－1)2＝(x－2)2，得2x－1＝x－2或2x－1＝－(x－2)，∴x1＝－1，x2＝1. (2)开方，得2(2y－5)＝±3(3y－1)，即2(2y－5)＝3(3y－1)或2(2y－5)＝－3(y－1) ∴y1＝－，y2＝1. 【归纳】 （1）适用形式：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0) （2）步骤：两边同时开平方，得mx+n=±，再解一元一次方程； （3）注意：p<0时，方程无实数根。 2.配方法 （1）核心原理 通过恒等变形，将一元二次方程转化为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，本质是将未知转化为已知的数学思想。 （2）配方关键 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，保证等式成立。 （3）分步探究（以基础方程为例） 用配方法解方程 x2-6x+5=0 步骤1：移项，常数项移到右边：x2-6x=-5 步骤2：配方，两边加一次项系数一半的平方：x2-6x+32=-5+9 步骤3：化为完全平方形式：(x-3)2=4 步骤4：开方求解：x-3=±2，得x1=5，x2=1 进阶探究（二次项系数不为1） 尝试解方程：2x2-4x-6=0 【思考】：二次项系数不为1时，第一步需要做什么？ 【解析】把二次项系数为1。 步骤1：化1，方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1；x2-2x-3=0 步骤2：移项，常数项移至方程右侧；x2-2x=3 步骤3：配方，两边加一次项系数一半的平方；x2-2x+1=3+1 步骤4：化为完全平方形式：（x-1）2=4 步骤5：开方求解x-1=±2.得x1=3，x2=-1 【归纳】解方程ax2+bx+c=0(a≠0)标准五步： ① 化1：二次项系数化为1，两边同除以a； ② 移项：常数项移到等号右侧； ③ 配方：等式两边同时加一次项系数一半的平方； ④ 整理：左侧写成完全平方式(x+m)^2=n； ⑤ 开方：分n≥0有实根、n<0无实根讨论。 【口诀】：一除、二移、三配、四开方、五求解。 例3.用配方法解方程： (1)x2＋9＝6x；　　 　(2)(x－1)(x－3)＝8. 解：(1)移项，得x2－6x＋9＝0，即(x－3)2＝0，解这个方程，得x1＝x2＝3. (2)去括号，得x2－4x＋3＝8，移项，得x2－4x＝5，配方，得x2－4x＋4＝9，即(x－2)2＝9， 所以x－2＝±3，所以x1＝5，x2＝－1. 3.公式法（通用万能解法） （1）公式推导（依托配方法） 一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来.用配方法解方程：（、、为常数且）因为，方程两边同除以，得移项，得，配方，因为，所以，当时，直接开平方得：，又因为式子前面已有符号“”，所以无论还是，最终结果总是即；当时，原方程无解． （2）根的判别式 ①定义：△=b2-4ac ②判别 Δ>0：方程有两个不相等实数根，可以代入求根公式计算； Δ=0：方程有两个相等实数根； Δ<0：方程无实数根，。 （3）分步探究（以基础方程为例） 用公式法解方程 x2＝3x 步骤1：化为一元二次方程一般形式：x2＋3x＝0 步骤2：确定系数 a、b、c：a=1、b=3、c=0。 步骤3：计算判别式 Δ= b2-4ac：Δ= b2-4ac=32－4×1×0＝9>0。 步骤4：代入求根公式：： x＝ x1＝0，x2＝－3. 进阶探究：用公式法解方程 x2＋10＝2x 步骤1：化为一元二次方程一般形式：x2-2x＋10＝0 步骤2：确定系数 a、b、c：a=1、b=-2、c=10. 步骤3：计算判别式 Δ= b2-4ac：Δ= b2-4ac=(－2)2－4×1×10＝－20<0。停止计算。 【归纳】 公式法解一元二次方程标准完整步骤 适用方程：ax2+bx+c=0 (a≠0) 判别式：Δ= b2-4ac （1）化为一元二次方程一般形式 （2）确定系数 a、b、c a：二次项系数（x2前面数字，带符号） b：一次项系数（x前面数字，带符号） c：常数项（不含未知数的数字，带符号） （3）计算判别式 Δ= b2-4ac 分三种情况： ①Δ>0：方程有两个不相等实数根，可以代入求根公式计算； ②Δ=0：方程有两个相等实数根； ③Δ<0：方程无实数根，停止计算。 （4）Δ≥0 时代入求根公式： （5）分别计算两个根，化简结果是根式、分数必须化为最简形式。 例4．用公式法解下列方程： (1)3x2－4x－1＝0 (2)x(x－4)＝2－8x. 解：(1)a＝3，b＝－4，c＝－1，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28.x＝， x1＝，x2＝. (2)x2＋4x－2＝0，a＝1，b＝4，c＝－2，Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24.x＝， x1＝－2＋，x2＝－2－. 4.因式分解法（最快，优先选用） 因式分解法的根据：如果两个因式的乘积等于，那么这两个因式至少有一个为，反过来，如果两个因式中有一个因式为，那么它们之积为，即，则或或.例如：，则或. （1）理论依据：若A·B=0，则A=0或B=0 （2）适用条件 方程可整理为左边因式分解、右边为0的形式，即A·B=0，则A=0或B=0。 （3）常用分解方法 提公因式法、平方差公式、完全平方公式。 例5.用因式分解法解下列方程 （1）4x2－(x－2)2＝0 （2）(y＋)2＝4y＋12 解：（1）(2x)2－(x－2)2＝0，(2x＋x－2)(2x－x＋2)＝0，即(3x－2)(x＋2)＝0， ∴3x－2＝0或x＋2＝0，∴x1＝，x2＝－2. （2）y2＋2y＋3－4y－12＝0，y2－2y－9＝0，(y＋)(y－3)＝0，∴y＋＝0或y－3＝0，∴y1＝－，y2＝3. （三）解法选择优先级（考试高频技巧） 因式分解法＞直接开平方法＞配方法（二次项系数1、一次项偶数）＞公式法（无简便方法时保底） 四．经典例题 例1.（2024秋·贵阳市南明区九上期末） 解方程(x+4)2=16，最简便的解法是（ ） A. 因式分解法 B. 配方法 C. 直接开平方法 D. 公式法 【答案】：C 【解析】：方程为完全平方式等于非负数标准形式(x+m)2=n(n≥0)，直接两边开平方即可求解，是直接开平方法的典型题型，其余方法步骤繁琐。 例2.（2026·贵阳市观山湖区一模） 用配方法将x2-8x-1=0化成(x+a)2=b的形式，则a、b的值为（ ） A.a=-4，b=17 B.a=4，b=15 C.a=-8，b=65 D.a=8，b=63 【答案】：A 【解析】：移项得x2-8x=1，两边加一次项系数一半平方42=16，x2-8x+16=1+16，即(x-4)2=17，对比(x+a)2=b得a=-4，b=17。 例3.（2024秋·贵阳市花溪区期中） 一元二次方程2x2-5x+3=0的判别式△的值为（ ） A.-1 B.1 C.49 D.-49 【答案】：B 【解析】：一元二次方程一般式ax2+bx+c=0，a=2,b=-5,c=3；△=b2-4ac=25-24=1。 例4.（2026·贵阳市清镇市二模） 适合用因式分解法求解的方程是（ ） A.x2-3x-5=0 B.3x2-2x+1=0 C.x2+5x=0 D.2x2+4x-1=0 【答案】：C 【解析】：C选项移项后x(x+5)=0，可直接提取公因式分解；A、D无法因式分解分解，适合公式法；B中△<0无实数根。 例5.（2024秋·贵阳市云岩区九上期末） 方程x2-6x=0的两根为x1=____，x2=____。 【答案】：0；6 【解析】：因式分解x(x-6)=0，得x=0或x-6=0，解得两根为0和6。 例6.（2026·贵阳市修文县三模） 用公式法解3x2-2x-2=0，则a=___，b=___，c=___。 【答案】：3；-2；-2 【解析】：整理为标准一般形式ax2+bx+c=0，二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=-2，注意一次项带负号。 例7.（2024秋·贵阳市观山湖区期末） 若(2x-1)2=9，则x=________ 【答案】：2或-1 【解析】：直接开平方2x-1=±3；①2x-1=3，x=2；②2x-1=-3，x=-1。 例8.（2026·贵阳市南明区一模） 配方法解方程2x2-4x-6=0，第一步两边同除以____，化为二次项系数为1的形式 【答案】：2 【解析】：配方法前提：二次项系数不为1时，第一步必须等式两边同除二次项系数，本题二次项系数为2，故除以2。 例9．解方程 (1)（公式法） (2)（配方法）； (3)（因式分解法） (4)（适当的方法）． (5)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (6)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） (7)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (8)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法） 【答案】．(1) (2) (3) (4) 【解析】：(1)∵，∴，，，∴，∴， ∴，； (2)∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，； (3)∵∴，∴，∴，∴，； (4)∵，∴，∴，∴，． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024秋·清镇市九上期末） 一元二次方程x2=9的解是（ ） A.x=3 B.x=-3 C.x1=3,x2=-3 D.无实数根 【答案】：C 【解析】：直接开平方法，x=±=±3，一元二次方程一般两个根。 2.（2024秋·南明区期中） 配方法解方程x2+10x+m=0可化为(x+5)2=11，则m的值为（ ） A.14 B.-14 C.36 D.-36 【答案】：B 【解析】：展开(x+5)2=11得x2+10x+25=11，整理x2+10x+14=0，对比原式m=-14。 3.（2024秋·乌当区期末） 方程x2-4x=0因式分解正确的是（ ） A.x(x-4)=0 B.(x-2)2=0 C.x(x+4)=0 D.(x+2)(x-2)=0 【答案】：A 【解析】：提取公因式x，原式x(x-4)=0，是提公因式法解方程基础题型。 4.（2026·修文县一模） 方程x2-2x+3=0的根的情况是（ ） A.两个不等实根 B.两个相等实根 C.无实数根 D.无法判断 【答案】：C 【解析】：△=(-2)2-4×1×3=4-12=-8<0，判别式小于0，方程没有实数根。 5.（2024秋·观山湖区期中） 解3x2-5x-2=0，优先选择（ ） A.直接开平方法 B.因式分解法 C.配方法 D.公式法 【答案】：B 【解析】：因式分解为(3x+1)(x-2)=0，因式分解计算量最小，优先选用。 6.（2026·花溪区二模） 求根公式中，必须满足的前提条件是（ ） A.a>0 B.b>0 C.△≥0 D.△>0 【答案】：C 【解析】：根号内代数式必须非负，只有△=b2-4ac≥0时，方程才有实数根，才能代入求根公式计算。 7．关于x的一元二次方程(x－a)2＝b，下列说法正确的是(　B　) A．它的解为x＝± B．当b≥0时，它的解为x＝±＋a C．当b≥0时，它的解为x＝±－a D．当b≥0时，方程无实数根 【答案】：B 【解析】：∵方程中b的值不确定，∴当b＜0时，方程无实数根；当b≥0时，x－a＝±，即方程的解为x＝±＋a.故选B. 8、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】依题意得,,代入得,∴,∴.故选A （二）填空题 9.将方程x2+4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为 　  　． 【答案】5． 【解析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．x2+4x+1＝0，∴x2+4x＝﹣1， ∴x2+4x+4＝﹣1+4，∴（x+2）2＝3，∴m＝2，n＝3，∴m+n＝2+3＝5故答案为：5． 10.关于x的方程x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数，则实数c的取值范围是 　     　． 【答案】． 【解析】根据一元二次方程根的情况求参数，根据两个不相等的实数，得Δ＝b2﹣4ac＞0，代入数值进行计算，即可作答．∵关于x的方程x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×c＞0，解得，故答案为：． 11.已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解是 　    　． 【答案】x1＝2，x2＝6． 【解析】把关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0看作关于（x﹣5）的一元二次方程，则x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1，然后解一次方程即可．∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，∴关于（x﹣5）的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解满足x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1，解得x1＝2，x2＝6．故答案为：x1＝2，x2＝6． 12.对于实数a，b，定义一种运算“⊕”为：a⊕b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，则实数m的取值范围为 　    　． 【答案】m＜0． 【解析】根据定义的新运算可得：（x+1）2﹣6m＝0，从而可得（x+1）2＝6m，然后利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答．∵（x+1）⊕（3m）＝0，∴（x+1）2﹣6m＝0，∴（x+1）2＝6m，∵方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，∴6m＜0，∴m＜0，故答案为：m＜0． 13.实数x，y满足（x2+y2）2﹣x2﹣y2﹣5＝0，则x2+y2＝　    　． 【答案】． 【解析】设x2+y2＝t，则t≥0，原方程化为t2﹣t﹣5＝0，解方程得t＝或（舍去），即可得出答案．设x2+y2＝t，则t≥0，∴原方程化为t2﹣t﹣5＝0，解得t＝或（舍去），∴x2+y2＝．故答案为：． 14.已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3＝0，那么x2+x+1的值为 　   　． 【答案】1． 【解析】首先利用换元思想，把x2+x+1看作一个整体换为y，化为含y一元二次方程，解这个方程即可．另y＝x2+x+1，则y2+2y﹣3＝0，即（y﹣1）（y+3）＝0，解得：y＝1或y＝﹣3，当x2+x+1＝﹣3时，即x2+x+4＝0，Δ＝12﹣4×1×4＝﹣15＜0，此时方程无解，当x2+x+1＝1时，即x2+x＝0，Δ＝12﹣4×1×0＝1＞0，此时方程有解，∴x2+x+1＝1，故答案为：1． 15.已知关于x的方程有两个实数根，请写出一个符合条件的m的值 　   　． 【答案】1.2（不唯一） 【解析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0和被开方数2﹣m≥0．∵关于x方程（m﹣1）x2﹣＝0的有两个实数根，∴， 解得：0≤m≤2且m≠1．故答案为：1.2． 16.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 【答案】x1＝1+i，x2＝1﹣i． 【解析】方程整理得：x2﹣2x＝﹣2，配方得：x2﹣2x+1＝﹣1，即（x﹣1）2＝﹣1，开方得：x﹣1＝±i，解得：x1＝1+i，x2＝1﹣i．故答案为：x1＝1+i，x2＝1﹣i． （三）解答题 17．解方程 (1)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (2)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） (3)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (4)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法） 【答案】．(1)x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣ (2)x1＝，x2＝ (3)x1＝﹣，x2＝﹣ (4) 解：(1)x2+2x﹣1＝0，x2+2x＝1，x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝±， ∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． (2)3x2﹣5x+1＝0，∵a＝3，b＝﹣5，c＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， 则x＝，即x1＝，x2＝； (3)3（2x+1）2＝4x+2，3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0， 2x+1＝0或6x+1＝0，x1＝﹣，x2＝﹣． (4)3x2+5x＝3x+3，3x2+2x-3=0∵a＝3，b＝2，c＝-3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x＝＝，∴x1＝，x2＝． 18．求方程x2－5|x|＋4＝0的所有实数根的和． 解：分两种情况讨论：①当x≥0时，原方程可化为x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4. ②当x<0时，原方程可化为x2＋5x＋4＝0，解得x3＝－1，x4＝－4.综上所述，方程x2－5|x|＋4＝0的根为x1＝1，x2＝4，x3＝－1，x4＝－4，∴所有实数根的和为0. 19．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0. (1)若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式． (2)当b＝a＋1时，利用根的判别式判断方程根的情况． (3)若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根． 解：(1)若x＝1是方程的一个解，则a＋b＋＝0，解得a＋b＝－. (2)Δ＝b2－4a×＝b2－2a，∵b＝a＋1，∴Δ＝(a＋1)2－2a＝a2＋2a＋1－2a＝a2＋1＞0. ∴原方程有两个不相等的实数根． (3)∵方程有两个相等的实数根，∴b2－2a＝0，即b2＝2a.取a＝2，b＝2，则方程为2x2＋2x＋＝0，解得x1＝x2＝－. 20．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的三边长，易知AE＝c，这时我们把形如ax2＋cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根． (2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积． 解：（1）证明：由题意，得Δ＝(c)2－4ab＝2c2－4ab.∵a2＋b2＝c2，∴2c2－4ab＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a－b)2≥0，即Δ≥0.∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根． （2）当x＝－1时，有a－c＋b＝0，即a＋b＝c.∵2a＋2b＋c＝6，即2(a＋b)＋c＝6，∴3c＝6.∴c＝2.∴a2＋b2＝c2＝4，a＋b＝2.∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∴ab＝2.∴S△ABC＝ab＝1. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026·贵阳市云岩区一模） 下列方程适合配方法求解的是（ ） A.(x+1)2=7 B.x2-6x-4=0 C.x2-7x+12=0 D.2x2=3x 【答案】：B 【解析】：A直接开平；C、D因式分解；B无法因式分解，系数规整适合配方法，也可用公式法。 2.（2026·修文县二模） 方程3x2-2x-4=0的判别式△=（ ） A.-44 B.52 C.-52 D.44 【答案】：D 【解析】：△=(-2)2-4×3×(-4)=4+48=52。 3.（2024秋·南明区期末） 若ax2+bx+c=0两根为x1、x2，因式分解可写成（ ） A.(x-x1)(x-x2)=0 B.a(x-x1)(x-x2)=0 C.(x+x1)(x+x2)=0 D.a(x+x1)(x+x2)=0 【答案】：B 【解析】：二次项系数为a，两根式分解标准形式为a(x-x1)(x-x2)=0。 4.（2026·花溪区三模） 下列方程无实数根的是（ ） A.x2-2x-1=0 B.2x2+3x-2=0 C.x2+4x+5=0 D.3x2=6x 【答案】：C 【解析】：C中△=16-20=-4<0，无实数根；其余△均大于0。 5.（2026·观山湖区一模） 配方法的核心思想是（ ） A.消元思想 B.转化思想（化归） C.分类讨论 D.数形结合 【答案】：B 【解析】：把普通一元二次方程转化为可直接开平方的完全平方式，属于化未知为已知的转化思想。 6．已知x＝-2是关于x的一元二次方程（m＋1）x2＋m2x＋2＝0的解，则m的值是（　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1 【答案】：B 【解析】：将代入方程得：，解得：或，时，方程为，不合题意，舍去，则．故选：B． 7．已知关于x的一元二次方程有一个根为m，记，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：∵关于x的一元二次方程有一个根为m∴∴∴ 故选：C 8．已知有等腰三角形两边长为一元二次方程x2-3x+2=0的两根，则等腰三角形周长是(B　) A．4 B．5 C．4或5 D．不能确定 【答案】：B 【解析】：x2-3x+2=0，(x-1)(x-2)=0，x-1=0，x-2=0，解得x1=1，x2=2．分为两种情况： ①三角形的三边长分别为1、1、2时，∵1+1=2，∴此时不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形；②三角形的三边长分别为1、2、2时，此时符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此等腰三角形的周长是1+2+2=5．故选：B． 9．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有( ) A．4个　　 B．3个 C．2个　　 D．1个 【答案】：A 【解析】：①若n2－n－1＝1，解得n1＝2，n2＝－1；②若n2－n－1＝－1，n＋2为偶数，解得n＝0；③若n2－n－1≠0，n＋2＝0，解得n＝－2. 10．给出一种新运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如，若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是( ) A. x1＝4，x2＝－4 B. x1＝2，x2＝－2 C. x1＝x2＝0 D. x1＝2，x2＝4 【答案】：B 【解析】：y＝x3. ∴ y′＝3x2 ∴3x2＝12 ∴x1＝2，x2＝－2 故选：B （二）填空题 11.（2026·南明区三模） 5(x-2)2-20=0的根为________ 【答案】：x1=4，x2=0 【解析】：整理(x-2)2=4，开方x-2=±2，解得两根。 12.（2024秋·花溪区期末） 2x2-7x+3=0因式分解形式为________ 【答案】：(2x-1)(x-3)=0 【解析】：十字相乘：2x拆2x、x；常数拆-1、-3，交叉相乘和为-7x。 13.（2026·乌当区一模） 配方法填数：3x2+6x+____=3(x+____)2 【答案】：3；1 【解析】：提取3得3(x2+2x)，括号内配方加1，整体加3。 14.（2024秋·观山湖区期末） 方程x2-3x-7=0中△=____ 【答案】：37 【解析】：△=9+28=37。 15.（2024秋·花溪区期中） 配方法解方程核心两步：化二次项系数为1、移常数项、两边加________ 【答案】：一次项系数一半的平方 【解析】：配方最关键一步，必须加一次项系数一半的平方才能凑完全平方式。 16．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】 【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x-3k=0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2−4ac＝22−4×（−3k）＞0．解得，故答案为：． 17．利用因式分解法可以将一元二次方程x（x﹣2）＋x﹣2＝0转化为两个一元一次方程求解，这两个一元一次方程分别为_____． 【答案】x﹣2＝0，x+1＝0 【解析】：x（x﹣2）+x﹣2＝0， x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0，x+1＝0．故答案为：x﹣2＝0，x+1＝0． 18．对方程进行配方，得，其中______． 【答案】 【解析】：由题意得：m=，故答案为：． 19．已知（b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为_________． 【答案】0 【解析】：∵，∴x为一元二次方程的一个根，∴，故答案为：0． 20、对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝a2－2ab，如x※1＝1.。那么x的值为__________． 【答案】1＋，或1－. 【解析】 ∵a※b＝a2－2ab，∴x※1＝x2－2x＝1.∴x2－2x－1＝0.∴x＝＝1±.∴x1＝1＋，x2＝1－. （三）解答题 21．用适当的方法解下列方程： (1)x2－8x＝20. (2)(y＋)2＝4y. (3)x2－4x＝4. (4)(x－2)2－4(x－2)＝－4. 解：（1）x2－8x－20＝0，(x－10)(x＋2)＝0，∴x1＝10，x2＝－2. (2)y2＋2y＋5－4y＝0，y2－2y＋5＝0，(y－)2＝0，∴y1＝y2＝. (3)x2－4x－4＝0，x2－2x－4＝0，b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－4)＝24， ∴x＝＝＝±，∴x1＝＋，x2＝－. (4)(x－2)2－4(x－2)＋4＝0，(x－2－2)2＝0，(x－4)2＝0，∴x1＝x2＝4. 22.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： (1)9x2＋6x＋2＝0. (2)x2－2x＋2＝0. (3)3(x2－1)－5x＝0. 解：（1）∵a＝9，b＝6，c＝2，∴Δ＝b2－4ac＝62－4×9×2＝－36＜0.∴此方程无实数根． (2)∵a＝1，b＝－2，c＝2∴Δ＝(－2)2－4×1×2＝0.∴此方程有两个相等的实数根． (3)化为一般形式为3x2－5x－3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61>0.∴此方程有两个不相等的实数根． 23．阅读下面的例题： 解方程：x2－|x|－6＝0. 解：当x≥0时，原方程可化为x2－x－6＝0, 解得x1＝3，x2＝－2(不合题意，舍去)． 当x＜0时，原方程可化为x2＋x－6＝0， 解得x3＝－3，x4＝2(不合题意，舍去)， ∴原方程的解为x＝3或x＝－3. 请参照例题解方程：x2－|x－1|－1＝0. 解：当x≥1时，原方程可化为x2－x＝0, 解得x1＝1，x2＝0(不合题意，舍去)． 当x<1时，原方程可化为x2＋x－2＝0, 解得x3＝－2，x4＝1(不合题意，舍去)，∴原方程的解为x＝1或x＝－2. 24．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0. (1)若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式． (2)当b＝a＋1时，利用根的判别式判断方程根的情况． (3)若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根． 解：(1)若x＝1是方程的一个解，则a＋b＋＝0，解得a＋b＝－. (2)Δ＝b2－4a×＝b2－2a，∵b＝a＋1，∴Δ＝(a＋1)2－2a＝a2＋2a＋1－2a＝a2＋1＞0. ∴原方程有两个不相等的实数根． (3)∵方程有两个相等的实数根，∴b2－2a＝0，即b2＝2a.取a＝2，b＝2，则方程为2x2＋2x＋＝0，解得x1＝x2＝－. 25. 已知△ABC的两边AB、AC的长分别是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5. (1) 当k为何值时,△ABC是直角三角形? (2) 当k为何值时,△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长. 解： (1) 由方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0,得b2-4ac=[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)=1>0,∴ 无论k取何值,方程总有两个不相等的实数根.利用求根公式解方程,得x1=k+1,x2=k+2.设AB=k+1,AC=k+2.∵ 第三边BC的长为5,∴ 当△ABC是直角三角形时,分两种情况讨论:① 当BC是斜边时,有AB2+AC2=BC2,即(k+1)2+(k+2)2=52,解得 k1=2,k2=-5(不合题意,舍去);② 当AC是斜边时,有AB2+BC2=AC2,即(k+1)2+52=(k+2)2,解得 k=11.∴ 当k=2或11时,△ABC是直角三角形　 (2) 由(1),不妨设AB=k+1,AC=k+2.∵ BC=5,∴ 当△ABC是等腰三角形时,分两种情况讨论:① 当AC=BC=5时,k+2=5,∴ k=3,则AB=4,此时△ABC的周长为14;② 当AB=BC=5时,k+1=5.∴ k=4,则AC=6,此时△ABC的周长为16.综上所述,当k=3或4时,△ABC是等腰三角形,△ABC的周长分别是14或16 26．如图，有一块长方形空地ABCD，要在中央修建一个长方形花圃EFGH，使其面积为这块空地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等．现无测量工具，只有一条无刻度且足够长的绳子，则该如何确定道路的宽？ = 解：设道路的宽为x, AD＝a, AB＝b，不妨设a<b，则x<.由题意，得(a－2x)(b－2x)＝ab，解方程，得x＝.当x＝时，4x＝a＋b＋>a＋b>2a，∴x>，∴x＝不合题意，舍去，∴x＝.又∵BD＝， ∴x＝(AB＋AD－BD)． 具体做法：先用绳子量出AB和AD的长度之和，并减去BD的长，再将AB＋AD－BD对折两次，即得道路的宽x＝(AB＋AD－BD)． 27．如图，在Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC 上，以AD为折痕，将△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC相交于点E.若△DEB′为直角三角形，求BD的长． 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10.由折叠的性质，得B′D＝BD，AB′＝AB＝10，∠B′＝∠B.∵∠B′＝∠B<90°， ∴只能是∠B′DE＝90°或∠B′ED＝90°.当∠B′DE＝90°时，如解图①，过点B′作B′F⊥AC交AC的延长线于点F.设BD＝B′D＝x，则AF＝6＋x，FB′＝8－x.在Rt△AFB′中，由勾股定理，得AB′2＝AF2＋FB′2，即102＝(6＋x)2＋(8－x)2，解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)，∴BD＝2.,当∠B′ED＝90°时，如解图②，此时点C与点E重合．∵AB′＝AB＝10，AC＝6，∴B′E＝4.设BD＝B′D＝x，则DE＝8－x.在Rt△B′DE中，B′D2＝DE2＋B′E2，即x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，∴BD＝5.综上所述，BD的长为2或5. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册6 《第2章一元二次方程第2节一元二次方程的解法》预习讲义 一．学习目标 ( 1.掌握一元二次方程四种基础解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）的定义、适用条件，熟记核心公式与解题步骤，理解各解法之间的内在联系。 2.能根据一元二次方程的形式，灵活选择最简解法求解方程，规范书写解题步骤，初步学会利用根的判别式判断方程实数根的情况。 3.通过配方法的推导过程，体会转化、配方的数学思想，提升代数运算能力和逻辑推理能力，为后续二次函数学习奠定基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.配方法、公式法解一元二次方程的标准步骤。 2.根的判别式的应用，能判断一元二次方程根的个数。 3.根据方程特征灵活选用合适的解法。 （二） 难点 1.理解配方法的原理，掌握二次项系数不为1时的配方技巧。 2.公式法的推导过程，准确区分参数a、b、c的正负符号。 3.因式分解法中提公因式、公式法分解因式解方程的灵活运用。 ) 三．知识梳理 （一）核心思想——降次 解一元二次方程的核心思想——降次：一元二次方程含未知数二次项，通过变形转化为一元一次方程求解，该转化思想称为降次。通常采用直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等四种方法解一元二次方程。 （二）四种解法梳理 1.直接开平方法 （1）知识铺垫 完全平方的非负性：若x2=a，则当a≥0时，方程有实数根；当a<0时，方程无实数根。 （2）解题原理 利用平方根的定义，对等式两边直接开平方，转化为两个一元一次方程求解。 （3）适用方程形式 对于形如或（，）型的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解. 如（）的解为，即，； 如（）转化为，即转化为或进行求解；当时，方程和均无解. 例1.用直接开平方法解方程 （1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16． 例2．用直接开平方法解方程： (1)(2x－1)2＝(x－2)2. (2)4(2y－5)2＝9(3y－1)2. 【归纳】 （1）适用形式：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0) （2）步骤：两边同时开平方，得mx+n=±，再解一元一次方程； （3）注意：p<0时，方程无实数根。 2.配方法 （1）核心原理 通过恒等变形，将一元二次方程转化为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，本质是将未知转化为已知的数学思想。 （2）配方关键 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，保证等式成立。 （3）分步探究（以基础方程为例） 用配方法解方程 x2-6x+5=0 步骤1：移项，常数项移到右边：x2-6x=-5 步骤2：配方，两边加一次项系数一半的平方：x2-6x+32=-5+9 步骤3：化为完全平方形式：(x-3)2=4 步骤4：开方求解：x-3=±2，得x1=5，x2=1 进阶探究（二次项系数不为1） 尝试解方程：2x2-4x-6=0 【思考】：二次项系数不为1时，第一步需要做什么？ 【解析】把二次项系数为1。 步骤1：化1，方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1；x2-2x-3=0 步骤2：移项，常数项移至方程右侧；x2-2x=3 步骤3：配方，两边加一次项系数一半的平方；x2-2x+1=3+1 步骤4：化为完全平方形式：（x-1）2=4 步骤5：开方求解x-1=±2.得x1=3，x2=-1 【归纳】解方程ax2+bx+c=0(a≠0)标准五步： ① 化1：二次项系数化为1，两边同除以a； ② 移项：常数项移到等号右侧； ③ 配方：等式两边同时加一次项系数一半的平方； ④ 整理：左侧写成完全平方式(x+m)^2=n； ⑤ 开方：分n≥0有实根、n<0无实根讨论。 【口诀】：一除、二移、三配、四开方、五求解。 例3.用配方法解方程： (1)x2＋9＝6x；　　 　(2)(x－1)(x－3)＝8. 3.公式法（通用万能解法） （1）公式推导（依托配方法） 一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来.用配方法解方程：（、、为常数且）因为，方程两边同除以，得移项，得，配方，因为，所以，当时，直接开平方得：，又因为式子前面已有符号“”，所以无论还是，最终结果总是即；当时，原方程无解． （2）根的判别式 ①定义：△=b2-4ac ②判别 Δ>0：方程有两个不相等实数根，可以代入求根公式计算； Δ=0：方程有两个相等实数根； Δ<0：方程无实数根，。 （3）分步探究（以基础方程为例） 用公式法解方程 x2＝3x 步骤1：化为一元二次方程一般形式：x2＋3x＝0 步骤2：确定系数 a、b、c：a=1、b=3、c=0。 步骤3：计算判别式 Δ= b2-4ac：Δ= b2-4ac=32－4×1×0＝9>0。 步骤4：代入求根公式：： x＝ x1＝0，x2＝－3. 进阶探究：用公式法解方程 x2＋10＝2x 步骤1：化为一元二次方程一般形式：x2-2x＋10＝0 步骤2：确定系数 a、b、c：a=1、b=-2、c=10. 步骤3：计算判别式 Δ= b2-4ac：Δ= b2-4ac=(－2)2－4×1×10＝－20<0。停止计算。 【归纳】 公式法解一元二次方程标准完整步骤 适用方程：ax2+bx+c=0 (a≠0) 判别式：Δ= b2-4ac （1）化为一元二次方程一般形式 （2）确定系数 a、b、c a：二次项系数（x2前面数字，带符号） b：一次项系数（x前面数字，带符号） c：常数项（不含未知数的数字，带符号） （3）计算判别式 Δ= b2-4ac 分三种情况： ①Δ>0：方程有两个不相等实数根，可以代入求根公式计算； ②Δ=0：方程有两个相等实数根； ③Δ<0：方程无实数根，停止计算。 （4）Δ≥0 时代入求根公式： （5）分别计算两个根，化简结果是根式、分数必须化为最简形式。 例4．用公式法解下列方程： (1)3x2－4x－1＝0 (2)x(x－4)＝2－8x. 4.因式分解法（最快，优先选用） 因式分解法的根据：如果两个因式的乘积等于，那么这两个因式至少有一个为，反过来，如果两个因式中有一个因式为，那么它们之积为，即，则或或.例如：，则或. （1）理论依据：若A·B=0，则A=0或B=0 （2）适用条件 方程可整理为左边因式分解、右边为0的形式，即A·B=0，则A=0或B=0。 （3）常用分解方法 提公因式法、平方差公式、完全平方公式。 例5.用因式分解法解下列方程 （1）4x2－(x－2)2＝0 （2）(y＋)2＝4y＋12 （三）解法选择优先级（考试高频技巧） 因式分解法＞直接开平方法＞配方法（二次项系数1、一次项偶数）＞公式法（无简便方法时保底） 四．经典例题 例1.（2024秋·贵阳市南明区九上期末） 解方程(x+4)2=16，最简便的解法是（ ） A. 因式分解法 B. 配方法 C. 直接开平方法 D. 公式法 例2.（2026·贵阳市观山湖区一模） 用配方法将x2-8x-1=0化成(x+a)2=b的形式，则a、b的值为（ ） A.a=-4，b=17 B.a=4，b=15 C.a=-8，b=65 D.a=8，b=63 例3.（2024秋·贵阳市花溪区期中） 一元二次方程2x2-5x+3=0的判别式△的值为（ ） A.-1 B.1 C.49 D.-49 例4.（2026·贵阳市清镇市二模） 适合用因式分解法求解的方程是（ ） A.x2-3x-5=0 B.3x2-2x+1=0 C.x2+5x=0 D.2x2+4x-1=0 例5.（2024秋·贵阳市云岩区九上期末） 方程x2-6x=0的两根为x1=____，x2=____。 例6.（2026·贵阳市修文县三模） 用公式法解3x2-2x-2=0，则a=___，b=___，c=___。 例7.（2024秋·贵阳市观山湖区期末） 若(2x-1)2=9，则x=________ 例8.（2026·贵阳市南明区一模） 配方法解方程2x2-4x-6=0，第一步两边同除以____，化为二次项系数为1的形式 例9．解方程 (1)（公式法） (2)（配方法）； (3)（因式分解法） (4)（适当的方法）． (5)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (6)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） (7)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (8)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法） 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024秋·清镇市九上期末） 一元二次方程x2=9的解是（ ） A.x=3 B.x=-3 C.x1=3,x2=-3 D.无实数根 2.（2024秋·南明区期中） 配方法解方程x2+10x+m=0可化为(x+5)2=11，则m的值为（ ） A.14 B.-14 C.36 D.-36 3.（2024秋·乌当区期末） 方程x2-4x=0因式分解正确的是（ ） A.x(x-4)=0 B.(x-2)2=0 C.x(x+4)=0 D.(x+2)(x-2)=0 4.（2026·修文县一模） 方程x2-2x+3=0的根的情况是（ ） A.两个不等实根 B.两个相等实根 C.无实数根 D.无法判断 5.（2024秋·观山湖区期中） 解3x2-5x-2=0，优先选择（ ） A.直接开平方法 B.因式分解法 C.配方法 D.公式法 6.（2026·花溪区二模） 求根公式中，必须满足的前提条件是（ ） A.a>0 B.b>0 C.△≥0 D.△>0 7．关于x的一元二次方程(x－a)2＝b，下列说法正确的是(　B　) A．它的解为x＝± B．当b≥0时，它的解为x＝±＋a C．当b≥0时，它的解为x＝±－a D．当b≥0时，方程无实数根 8、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． （二）填空题 9.将方程x2+4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为 　  　． 10.关于x的方程x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数，则实数c的取值范围是 　     　． 11.已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解是 　    　． 12.对于实数a，b，定义一种运算“⊕”为：a⊕b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，则实数m的取值范围为 　    　． 13.实数x，y满足（x2+y2）2﹣x2﹣y2﹣5＝0，则x2+y2＝　    　． 14.已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3＝0，那么x2+x+1的值为 　   　． 15.已知关于x的方程有两个实数根，请写出一个符合条件的m的值 　   　． 16.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． （三）解答题 17．解方程 (1)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (2)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） (3)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (4)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法） 18．求方程x2－5|x|＋4＝0的所有实数根的和． 19．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0. (1)若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式． (2)当b＝a＋1时，利用根的判别式判断方程根的情况． (3)若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根． 20．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的三边长，易知AE＝c，这时我们把形如ax2＋cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根． (2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026·贵阳市云岩区一模） 下列方程适合配方法求解的是（ ） A.(x+1)2=7 B.x2-6x-4=0 C.x2-7x+12=0 D.2x2=3x 2.（2026·修文县二模） 方程3x2-2x-4=0的判别式△=（ ） A.-44 B.52 C.-52 D.44 3.（2024秋·南明区期末） 若ax2+bx+c=0两根为x1、x2，因式分解可写成（ ） A.(x-x1)(x-x2)=0 B.a(x-x1)(x-x2)=0 C.(x+x1)(x+x2)=0 D.a(x+x1)(x+x2)=0 4.（2026·花溪区三模） 下列方程无实数根的是（ ） A.x2-2x-1=0 B.2x2+3x-2=0 C.x2+4x+5=0 D.3x2=6x 5.（2026·观山湖区一模） 配方法的核心思想是（ ） A.消元思想 B.转化思想（化归） C.分类讨论 D.数形结合 6．已知x＝-2是关于x的一元二次方程（m＋1）x2＋m2x＋2＝0的解，则m的值是（　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1 7．已知关于x的一元二次方程有一个根为m，记，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知有等腰三角形两边长为一元二次方程x2-3x+2=0的两根，则等腰三角形周长是(B　) A．4 B．5 C．4或5 D．不能确定 9．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有( ) A．4个　　 B．3个 C．2个　　 D．1个 10．给出一种新运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如，若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是( ) A. x1＝4，x2＝－4 B. x1＝2，x2＝－2 C. x1＝x2＝0 D. x1＝2，x2＝4 （二）填空题 11.（2026·南明区三模） 5(x-2)2-20=0的根为________ 12.（2024秋·花溪区期末） 2x2-7x+3=0因式分解形式为________ 13.（2026·乌当区一模） 配方法填数：3x2+6x+____=3(x+____)2 14.（2024秋·观山湖区期末） 方程x2-3x-7=0中△=____ 15.（2024秋·花溪区期中） 配方法解方程核心两步：化二次项系数为1、移常数项、两边加________ 16．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 17．利用因式分解法可以将一元二次方程x（x﹣2）＋x﹣2＝0转化为两个一元一次方程求解，这两个一元一次方程分别为_____． 18．对方程进行配方，得，其中______． 19．已知（b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为_________． 20、对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝a2－2ab，如x※1＝1.。那么x的值为__________． （三）解答题 21．用适当的方法解下列方程： (1)x2－8x＝20. (2)(y＋)2＝4y. (3)x2－4x＝4. (4)(x－2)2－4(x－2)＝－4. 22.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： （1）9x2＋6x＋2＝0. （2）x2－2x＋2＝0. （3）3(x2－1)－5x＝0. 23．阅读下面的例题： 解方程：x2－|x|－6＝0. 解：当x≥0时，原方程可化为x2－x－6＝0, 解得x1＝3，x2＝－2(不合题意，舍去)． 当x＜0时，原方程可化为x2＋x－6＝0， 解得x3＝－3，x4＝2(不合题意，舍去)， ∴原方程的解为x＝3或x＝－3. 请参照例题解方程：x2－|x－1|－1＝0. 24．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0. (1)若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式． (2)当b＝a＋1时，利用根的判别式判断方程根的情况． (3)若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根． 25. 已知△ABC的两边AB、AC的长分别是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5. (1) 当k为何值时,△ABC是直角三角形? (2) 当k为何值时,△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长. 26．如图，有一块长方形空地ABCD，要在中央修建一个长方形花圃EFGH，使其面积为这块空地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等．现无测量工具，只有一条无刻度且足够长的绳子，则该如何确定道路的宽？ = 27．如图，在Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC 上，以AD为折痕，将△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC相交于点E.若△DEB′为直角三角形，求BD的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $