2026 年广东省初中学业水平考试数学试卷

**基本信息** 试卷以文化传承与科技前沿为情境载体，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查学生抽象能力、运算能力、推理意识等核心素养，如榫卯结构俯视图、无人机抛物线轨迹等题体现学科融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、三视图、实数估算|结合广惠城际数据考查大数认识，体现社会热点| |填空题|5/15|概率计算、等边三角形、二次函数|以五张安全知识卡片考概率，渗透安全教育| |解答题（一）|3/21|分式化简、不等式应用、力学分解|设计“分式拼图”游戏，增强问题趣味性| |解答题（二）|3/27|新定义“倍和数”、扇形计算、统计分析|借水车灌溉考弧长与扇形面积，传承农耕文明| |解答题（三）|2/27|二次函数综合、几何探究|以无人机投递物资为背景，考查函数与几何综合应用|

2026年广东省初中学业水平考试 数 学 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列图形为轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．上面 2.广惠城际北延段，作为粤港澳大湾区域城际轨道网的重要组成部分，今年以来，广惠城际发送旅客近人次，这个数据原数是（    ） A．26000 B．260000 C．2600000 D．26000000 3.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是(　　)数学试卷 （共6页） 题3图 A B C D 4.已知实数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.如图所示，光从空气斜射入水中，光线的传播方向发生改变，这就是折射现象，入射光线AO和折射光线OB如图所示，若∠2＝40°，∠3＝20°，则∠1的度数为(　　) 题图5 A. 60° B. 40° C. 30° D. 20° 6.如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 题图6 甲：，路程为； 乙：，路程为； 丙：，路程为， 下列关系正确的是（   ） A. B． 题图7 C. D． 7.我国古代数学著作《尚书·尧典》中记载：“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁”。如图所示，若某根圭表立柱的高度为 8 尺，某节气时正午太阳光线与地面的夹角为30，则此时该立柱的影长约为（ ） A. 尺 B. 8尺 C. 尺 D. 16尺题图8 8.已知点A是反比例函数y＝(k＞0)的图象上一点.如图，若OA＝AB，且k=4，则△AOB的面积为（ ） A.4 B.2 C.3 D.1 9.如图，在中，，分别以点B、C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA、CA的延长线分别交于点D、E．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．数学试卷 （共6页） 题9图 10.如图在中，，在AC上取一点D，连接BD，延长CA至点E，使AE=CD，连接BE．记， ，则以下式子一定成立的是（    ） A． B．题10图 C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.=　　　　.题14图 12.在平面直角坐标系中，把点P(-3，1)绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P'的坐标为　　　　. 13.为加强校园消防安全教育，某中学制作了五张形状、大小、质地完全相同的安全知识卡片，正面分别印有：“懂消防”“会逃生”、“灭初火”、“查隐患”、“保平安”，将卡片背面朝上洗匀后随机抽取。从中先随机抽取一张卡片，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，两次抽取的卡片恰好是“懂消防” 和 “会逃生”的概率为　　　　　　　. 14.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°。若BD＝4DC，AD=3，则DE的长为　　　　　　　. 15.在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，2）、B（2，2）、C（4，2）、D（3，3）。同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于_________．题15图 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16.为了筹备校园文化节，数学社团设计了一个“分式拼图”游戏,有三张分式卡牌： A： B： C： 游戏规则是：先则组成的形式后，取计算分值。 (1)同学们发现其中有一个分式还可以进行约分，这个分式是　　　　　　，约分的依据为　　　　　　； (2)请你帮他们在两个形式中选择一个进行化简求值. 17.为响应“把人工智能知识普及作为智能教育发展的前提和基础”，某校成立了 “智能机器人社团”。社团原本在展览架的上、下两层摆放40套机器人模型，为迎接校园科技节，社团又采购了20套新模型，计划全部摆放到这两层，使两层总数变为60套。社团成员经过讨论，确定了摆放规则：调整后上层模型数量不超过下层的倍；下层模型数量不少于20套，方便低年级同学参观体验。求新增模型后上层最多有多少套模型.数学试卷 （共6页） 18.无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角，帆与航行方向的夹角，根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，题18图 ，当风对帆的作用力F=AD=400N，求动力的大小。（参考数据：） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19.对于任意一个四位数m，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上 的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“倍和数”、例如: 是“倍合数” 不是“倍合数” (1)，为了让成为“倍合数”，t的个位应该填 ; (2)判断6132和1374是否为“倍和数”?并说明理由; (3)当一个“倍和数” m千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数” m的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为，记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为，令，当能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”m。 20.如图①，我国是世界上最早制造和使用水车的国家，水车作为古代重要的水利灌溉工具，凝聚了中华农耕文明的深厚智慧，是古代劳动人民因地制宜、改良生产工具的典型成果。如图②是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉。（结果保留π）数学试卷 （共6页） (1)那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是多少米; (2)求水车轮的辐条OA扫过的面积； (3)过点B作，交的延长线于点H，求线段OH的长度（结果保留根号） 21.某小区为了解决快递堆积问题，对小区内的“丰巢”快递柜进行了智能化升级,快递公司还记录了包裹的滞留时长，随机抽取了yi周（7天）的数据进行分析。 素材一：每日存件统计 该周每日的存件数量（单位：件）如下：180, 190, 200, 210, 220, 240, 260 素材二：滞留时长分布 将这7天累计的1500件包裹，按照滞留时长分成了四类，并绘制了如下不完整的统计表： 滞留时长类别 时长范围(小时) 频数(件) 频率 A类(极速取) 0<t≤12 600 a B类(正常取) 12<t≤24 450 0.3 C类(慢速取) 24<t≤48 b 0.15 D类(超时取) t>48 75 c 素材三：拟定的收费方案 为了兼顾运营效率与用户体验，该小区快递柜引入了目前主流的 “会员分级+封顶限价” 运营模式，具体标准如下： 普通用户 会员用户（购买月卡/季卡） 1.免费保管时长：24小时。 2.超时收费：超出部分按0.5元/12小时计费。 3.计费规则：不足12小时按12小时计算（进一法）。 4.单次封顶：最高收费3元（即超过48小时后不再累加费用） 1.免费保管时长：7天（168小时）。 2.超时收费：超出7天后，按1元/天计费。 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空: a= ，b= ；若用扇形统计图表示各类别占比，C类所对应的圆心角度数为 °; (2)为了估算成本，经理假设C类包裹的平均滞留时长为36小时，D类包裹的平均滞留时长为60小时。请计算这1500件包裹中，C类和D类包裹的平均滞留时长（精确到0.1小时）;数学试卷 （共6页） (3)现有甲、乙两个滞留时长均为50小时的包裹。已知甲的用户是普通用户，乙的用户是会员用户。请分别计算甲、乙两个包裹的滞留费用。 五、解答题(三）：本大题共2小题,第22小题13分,第23小题14分,共27分. 22.综合与实践 【问题情景】在某次应急救援演练中，工作人员操控无人机沿抛物线轨迹投递物资。已知无人机起飞点O（0，0），物资投放目标点在A(4，0)，中转观察点B(1，4)，且抛物线经过O、A、B三点。P是安全投放点，且在直线AB的上方。 【独立思考】(1)求这条抛物线的解析式；题22图 【实践操作】(2)若△OAB的面积是△PAB的面积的2倍，求此时安全投放点P的坐标； 【综合探究】如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D.将△CDP，△CPB，△CBO的面积分别记为S1，S2，S3.设S＝＋，点P的横坐标为n，求S关于n的函数解析式，并求出S的最大值。 23.某工程小队在进行支架安装项目时，需要设计一组垂直支撑结构。如图，水平地面可视为直线，在地面上竖立两根垂直支撑杆AC和BD，，，已知点C，D均在地面上，且BD在AC的右侧，BD＝2AC，连接AD，BC，AD与BC相交于点O，请结合几何知识解决下列问题。 题23图 【基础探究】(1)如图①，若连接CD，则△BCD的形状为　 　，的值为　　　； 【拓展证明】(2)若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE。 ①如图②，当AE与AC重合时，连接OE，若AC＝，求OE的长； ②如图③，当∠ACB＝60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF，求证：OF⊥AB. 数学试卷 （共6页） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 2026年广东省初中学业水平考试 参考答案与评分参考 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D C D C A C B 1． B 【详解】关于轴对称，所以是轴对称图形 2．C 【详解】解：． 3.A 【详解】综合几何体，这个立体图形的三视图,主视图是，左视图是，俯视图是， 故选A． 4．D 【分析】本题考查了无理数大小的估算，关键是能准确理解并运用算术平方根知识求解． 先化简的值，再运算算术平方根知识进行估算求解． 【详解】解：， ． ， ， ， 即， ． 故选：D 5.C 6．D 【详解】解：∵，, ∴， 故选D． 7．C 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 8． A 9．C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．B 【详解】解：在中，，，，， ∴，， ，，， ∵， ∴， ∴， 作于点，则， ∴，， ； 故一定成立的只有； 故选B． 11． 【详解】解：∵ 故答案为：． 12． （3，-1） 【详解】解：由图可知 在平面直角坐标系中，把点P(-3，1)绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P'的坐标为（3，-1） 13． 14． 15．3 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点， ∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大， 把代入，得， 解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为， 当时，， 故的最大值等于3， 故答案为：3． 16.解：(1)C(或），分式的基本性质或分式的分子与分母除以同一个不等于0的整式，分式的值不变. …………………………每空1分 (2)选择 = …………………………3分 =…………………………4分 = = =…………………………5分 = = = …………………………6分 当x=4时，原式=…………………………7分 选择 BC …………………………3分 A- B÷C= = …………………………4分 = …………………………5分 = =…………………………6分 当x=4时，原式=…………………………7分 17.解：设新增后下层有x套，则上层有60−x套…………………………1分 根据题意列不等式组： …………………………2分 解第一个不等式：x≥24;…………………………4分 结合x≥20，得x≥24。…………………………5分 上层数量为60−x，x最小为 24 时， 上层数量最多：60−24=36（本）…………………………6分 答：新增模型后上层最多有套36套.…………………………7分 18.解: ……………………1分 ……………………2分 ……………………4分 由题意可知， .……………………5分 在中，BD=256, ……………………6分 答：动力的大小是128N.……………………7分 19.解：（1）9；……………………2分 解析：，且成为“倍合数” 个位填9 （2） 6132是“倍和数”……………………3分 1374不是“倍和数”……………………4分 （3）设“倍和数”，(其中，且a，b为整数)， ，……………………5分 m千位上的数字与个位上的数字不相等， ,……………………6分 G(m)能被3整除, .（k为正整数） , , ， ，……………………7分 ， .……………………8分 ∴满足条件的所有“倍和数”m有1317，1137，7131，7311.……………………9分 20.解： （1）由题意可知，水车半径 r = OA = OB = 6米， 圆心角AOB = , 根据弧计算公式 ……………………2分 答：水斗从A转动到B经过的路程为5米。……………………3分 （2）求扇形AOB的面积 根据扇形面积公式： 代入n=米，r=6米得：，……………5分 答：扇形AOB的面积为平方米。……………………6分 （3）如图，在Rt………………7分 ……………………8分 答：线段OH的长度为3米。……………………9分 21.解：(1) 0.4；225；……………………每空1分 (2)总滞留时长： （小时）……………………4分 计算平均滞留时长（小时） 答：C类和D类包裹的平均滞留时长为 42.0 小时。……………………5分 (3)甲（普通用户） 滞留时长：50小时，免费时长：24小时。 超时时长：（小时）。 计费单位：。根据“不足12小时按12小时计算”，需按3个单位计费。……………………6分 费用计算：（元）。未达封顶3元，按实际计算。 甲的费用：1.5元。……………………7分 乙（会员用户） 会员免费时长：168小时（7天），滞留时长：50小时。 判断：，在免费期内。……………………8分 乙的费用：0元。……………………9分 22. 解：(1)设这条抛物线的解析式为y＝ax2＋bx+c，……………………1分 将O(0，0)，A(4，0)，B(1，4)代入y＝ax2＋bx+c中， 得解得.……………………2分 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x；……………………3分 (2)设直线AB的解析式为y＝kx＋t(k≠0)， 将A(4，0)，B(1，4)代入y＝kx＋t中， 得，解得. ∴直线AB的解析式为y＝－x＋，……………………4分 ∵A(4，0)，B(1，4)， ∴S△OAB＝×4×4＝8， ∵S△OAB＝2S△PAB＝8，∴S△PAB＝4，……………………5分 如解图①，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E， 第1题解图① ∴S△PAB＝S△PNB＋S△PNA＝PN×BE＋PN×AM＝PN＝4， ∴PN＝.……………………6分 设点P的横坐标为m， ∴P(m，－m2＋m)(1＜m＜4)，N(m，－m＋)， ∴PN＝－m2＋m－(－m＋)＝－m2＋m－＝. 解得m＝2或m＝3； ∴点P的坐标为(2，)或(3，4)；……………………7分 (3)∵PD∥OB， ∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC， ∴△DPC∽△BOC， ∴＝＝， ∵＝，＝， ∴＋＝＋＝＝.……………………8分 如解图②，设直线AB交y轴于点F，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G， 由(2)知直线AB的解析式为y＝－x＋， ∴F(0，)，……………………9分 第1题解图② ∵∠PDC＝∠OBC， ∴∠PDG＝∠OBF， ∵PG∥OF， ∴∠PGD＝∠OFB， ∴△PDG∽△OBF，……………………10分 ∴＝， 由题意，得P(n，－n2＋n)(1＜n＜4)，……………………11分 由(2)可知，PG＝－n2＋n－， ∴S＝＋＝＝＝PG＝－(n－)2＋.……………………12分 ∵－＜0，1＜n＜4， ∴当n＝时，S有最大值，最大值为.……………………13分 23.解：(1)等腰三角形，；……………………每空1分 【解法提示】如解图①，过点C作CF⊥BD于点F ，∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠CAB＝∠DBA＝∠CFB＝90°，∴四边形ABFC是矩形，∴AC∥BD，AC＝BF，∵BD＝2AC，∴BF＝DF，在△BCF和△DCF中， ∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴BC＝DC， ∴△BCD是等腰三角形.∵AC∥BD， ∴△AOC∽△DOB，∴＝＝2， ∴OD＝2OA，∴＝＝＝. 第1题解图① (2)①解：如解图②，过点E作EG⊥AD于点G， ∵AC＝，△ADE是等边三角形，AC⊥l， ∴BD＝2AC＝3，∠EAD＝60°，……………………3分 ∴∠DAB＝90°∠EAD＝30°， ∴AD＝AE＝2BD＝6，……………………4分 由(1)知＝，∴AO＝AD＝2，……………………5分 ∵AG＝AD＝3， ∴OG＝AGAO＝1，EG＝＝＝3，…………………6分 ∴OE＝＝＝2；……………………7分 第1题解图② ②证明：如解图③，连接CD， 由题易知，AC∥BD， ∵∠ACB＝60°，BD⊥l， ∴∠DBC＝∠ACB＝60°，BC＝2AC＝BD，∠ABD＝90°， ∠ABC＝30°，……………………8分 ∴△BCD是等边三角形，∴∠CDB＝∠BCD＝60°，CD＝BD， ∵△ADE为等边三角形，∴AD＝ED，∠EDA＝60°， ∵∠EDC＝∠EDA∠CDA＝60°∠CDA，∠ADB＝∠CDB∠CDA＝60°－∠CDA， ∴∠EDC＝∠ADB.……………………9分 在△ECD和△ABD中，， ∴△ECD≌△ABD(SAS)，……………………10分 ∴∠ECD＝∠ABD＝90°， ∴∠ACF＝∠ECD＋∠DCB＋∠ACB180° ＝90°＋60°＋60°180°＝30°，……………………11分 设AF＝x，则AC＝x，AB＝AC＝3x， 由(1)知＝， ∴＝＝＝，……………………12分 ∵∠OAF＝∠DAB，∴△OAF∽△DAB，……………………13分 ∴∠OFA＝∠DBA＝90°， ∴OF⊥AB.……………………14分 第1题解图③ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 2026年广东省初中学业水平考试 数学答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 学校： 班级： 姓名： 准考证号 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．（请用2B铅笔填涂） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] 11. 12. 13. 14. 15. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．数学答题卡 （共5页） 16. 解：（1） ； ； 17．解： 18．解： 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19． 解：（1） ； 数学答题卡 （共5页） 20．解： 21． 解：（1） ； ； 数学答题卡 （共5页） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．解： 数学答题卡 （共5页） 23. 解：（1） ； ； 数学答题卡 （共5页） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $