暑期预习讲义（第2讲）——全等三角形 - 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

暑期预习讲义（第2讲）——全等三角形（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 【知识点一】全等图形与全等三角形的概念（基础必考） 2 【题型 1】全等图形与全等三角形概念识别 2 【知识点二】全等三角形的性质（计算必考） 4 【题型 2】利用全等三角形性质求边长、角度 4 【知识点三】全等三角形判定定理（核心重难点） 7 【题型 3】SSS 判定全等基础证明求值 7 【题型 4】SAS 判定全等基础证明（区分夹角与对角） 10 【题型 5】ASA、AAS 判定全等基础证明 12 【题型 6】直角三角形 HL 专项证明 15 【知识点四】判定方法择优技巧（自学提速核心） 18 【题型 7】灵活选用判定定理证明三角形全等（混合基础训练） 19 【知识点五】全等基础证明常见隐藏条件（易错专攻） 22 【题型 8】含隐藏条件的全等证明专项 22 【知识点六】全等三角形综合拔高证明（期末必考） 26 【题型 9】全等三角形综合证明大题 26 二.同步自测 32 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 32 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 38 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 44 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握全等三角形所有核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念学知识→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】全等图形与全等三角形的概念（基础必考） 1、全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。全等图形两大特征：形状相同、大小相等。 2、全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 对应元素概念：（1）对应顶点：重合的顶点；（2）对应边：重合的边；（3）对应角：重合的角。 3、全等表示规范：用符号 “≌” 表示全等，书写时对应顶点写在相同位置。 【要点技巧】找对应边、对应角快速方法 ① 公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； ② 最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角。 全等识图口诀：公共边角必对应，长边大角互配对，书写顶点对齐位。 【题型 1】全等图形与全等三角形概念识别 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，已知，指出这两对全等三角形中所有的对应边和对应角． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形的对应角、对应边相等． 根据全等三角形的性质，判断各全等三角形的对应边、角即可． 解：和的对应角是与与与； 对应边是与与与． 和的对应角是与与与； 对应边是与与、与． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断． 解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是全等图形； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． （1）表示这两个三角形全等； （2）写出对应边及对应角． 【答案】（1）；（2）与，与，与；与，与，与 【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意写出全等三角形即可； （2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角． 解：（1）解：点与点，点与点是对应顶点， ； （2）解：， 故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角． 【知识点二】全等三角形的性质（计算必考） 性质（1）对应边相等；（2）对应角相等. 拓展衍生性质 ①全等三角形周长相等、面积相等； ②全等三角形对应边上的高相等、对应中线相等、对应角平分线相等。 【要点提示】周长、面积相等的两个三角形不一定全等，全等三角形周长、面积一定相等。 性质速记口诀：全等边角全相等，高中线角平分线，周长面积均相同。 【题型 2】利用全等三角形性质求边长、角度 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，求的长，以及的度数． 【答案】；； 【分析】根据全等三角形的对应边相等和对应角相等进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形周长公式求出的值，最后利用线段的和差关系求出的长 解： 的周长为， 点为延长线上一点 ． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃兰州·阶段检测）如图，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】根据全等三角形对应角相等可得，然后结合图形利用角的和差关系得出． 解： ， ． 【变式3】（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． （1）若，，求的面积； （2）试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）96；；（2），理由见分析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 解：（1）解：， ． 又， ． 又， ． ． （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 【知识点三】全等三角形判定定理（核心重难点） 3.1 SSS（边边边） 判定内容：三边分别对应相等的两个三角形全等。 适用场景：题干给出三组边相等、有公共边、多条线段等量代换。 3.2 SAS（边角边） 判定内容：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。 易错提醒：必须是两条边中间夹住的角，SSA 不能判定全等。 3.3 ASA（角边角） 判定内容：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 3.4 AAS（角角边） 判定内容：两角及其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 3.5 HL（斜边、直角边，仅适用于直角三角形） 判定内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 判定速记口诀：三边 SSS，夹角 SAS，夹边 ASA，对边 AAS，直角特殊用 HL；边边角，不能行。 【题型 3】SSS 判定全等基础证明求值 【例题3】（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，，，，相交于点．求证． 【分析】直接证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 证明：在和中， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的关系得出，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 解：∵， ∴， A.添加，无法证明； B.添加， 又∵， ∴； C. 添加，无法证明； D. 添加，无法证明； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，则________． 【答案】/99度 【分析】先证明，再结合邻补角互补列式计算，即可作答． 解：∵，，， ∴， 则， 即． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点B，E，C，F在同一直线上，． （1）求证：≌； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）由，得，即可作答． 解：（1）证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 【题型 4】SAS 判定全等基础证明（区分夹角与对角） 【例题4】（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，D是边上的一点，， 平分，交边于点E，连接． （1）求证： ； （2）若， ，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）先确定已知的等边条件，再由是角平分线得到一组等角，结合公共边，用全等判定定理证明三角形全等； （2）先利用三角形内角和为，计算出的度数；再根据角平分线的性质，求出的度数，最后在中，再次使用三角形内角和公式计算的度数． 解：（1）证明：∵ 平分， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：在中，，， ∴， ∵ 平分， ∴， 在中， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，即可解答． 解：∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ． 【变式2】（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    【答案】/边角边 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键． 解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 【变式3】（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）证明即可； （2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【题型 5】ASA、AAS 判定全等基础证明 【例题5】（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，．求证：． 【分析】首先由已知条件可依据“”判定和全等，从而得，进而可得，然后再依据“”判定和全等即可得出结论． 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（2026·吉林·模拟预测）如图，为了测量点B到河正对面点A之间的距离，小明在与点B同侧的河岸上选择点C和点D，测得，（B，C，D三点共线），过点作，使得点A，C，E在同一直线上，得到，测得的长就是A，B两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 解：， ， ， 由题可得，， ． 【变式2】（23-24七年级下·陕西汉中·阶段检测）如图，，，点为中点，则的长为_____． 【答案】 【分析】证明得出，根据点为中点得出，进而根据，即可求解． 解：在和中， ∴． ∴． 因为，点为中点， ∴． ∴． ∴． 【变式3】（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． （1）和全等吗？请说明理由． （2）若，试说明： 【分析】（1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． （1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法． 【题型 6】直角三角形 HL 专项证明 【例题6】（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． （1）求证：平分 （2）若，求的面积． 【分析】（1）先推导出，证明出，得到，则平分，即可解答； （2）先求出，再根据进行求解即可． （1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵， ∴， ∵， 若证明， 则应该添加． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 【答案】 【分析】连接，根据可证，利用全等三角形的性质可知，再根据的周长和的周长，可得，即可得到的长度． 解：如下图所示，连接， 在和中， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，点C在上，，，且，，交于F． （1）求证； （2）求的度数． 【分析】（1）根据条件可知和都是直角三角形，利用证明； （2）根据全等三角形的性质进行等量代换，再利用三角形内角和180°，得到的度数． （1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点四】判定方法择优技巧（自学提速核心） 1、已知三边相等与多条线段等量转换：优先 SSS； 2、已知两边相等，找中间夹角相等：优先 SAS； 3、已知两组角相等，再找任意一组对应边相等：ASA 或 AAS； 4、直角三角形，已知斜边 + 一条直角边相等：直接用 HL。 选择口诀：有边先看角，夹角用 SAS；两角配一边，ASA/AAS；直角斜边直边，HL 最省事。 【题型 7】灵活选用判定定理证明三角形全等（混合基础训练） 【例题7】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题．请写出你选择的一个真命题加以证明． 已知： 求证： 证明： 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 解：若选择①③作为条件，②作为结论，则有： 已知：如图，在和中，，． 求证：． 证明：在和中， ， ∴， ∴． 若选择①②作为条件，③作为结论，是一个假命题，无法证明； 若选择②③作为条件，①作为结论，则有： 已知：如图，在和中，，． 求证：． 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：A、添加，由“”不可证，故选项A符合题意； B、添加，由“”可判定，选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不合题意； D、添加，可得到，由“”可证，故选项D不合题意． 【变式2】（2022九年级下·山东济宁·专题练习）如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理：，，，，，即可解答． 解：根据题意可得，， 根据全等三角形的判定定理， 可补充的条件为，则； 可补充的条件为，则．（答案不唯一） 【变式3】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． （1）______（写成的形式，至少写个）； （2）选取其中一个加以证明． 【答案】（1）①②→④，①④→②；（2）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握． （1）根据条件，则只要是由任两个条件推出结论，但必须保证结论的正确性即可，例如，； （2）要证结论的正确性，例如由，则只需证，即可． 解：（1）解：假设由为条件，有为公共角，由可得，可得，即结论正确， 若为条件，则由可得，得出，结论正确， 故答案为：，； （2）选 证明：，，， ∴ 选 证明：∵，，； ∴， ∴， 【知识点五】全等基础证明常见隐藏条件（易错专攻） 做题默认隐藏等量关系，不用额外证明： 1、公共边：同一个三角形共用的边相等； 2、公共角：两个三角形重合的角相等； 3、对顶角：相交形成的对顶角相等； 4、平行线内错角、同位角相等； 5、同角或等角的余角、补角相等。 【题型 8】含隐藏条件的全等证明专项 【例题8】（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在中，点D是边上一点，连接 并延长至点C，连接．若求证：． 【答案】见详解 【分析】通过证明即可求解． 解：证明：∵， ∴, 在和中， ∴ ∴． 【变式1】（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）如图，，下列条件中，添加后仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用证明三角形全等（），用证明三角形全等（），用证全等（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据，可判断A； 根据，可判断B； 根据，可判断C； 没有符合的判定定理，可推得，由此可判断D． 解：添加， 在与中， ， 所以， 故A不符合； 添加， 在与中， ， 所以， 故B不符合； 添加， 在与中， ， 所以， 故C不符合； 添加，再结合，，不能推得， 故D符合， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，且，，则的面积是___________． 【答案】50 【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形，证明，得出，即可求解． 解：如图，过点D作于点E， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 【答案】小明的证明不正确，正确的证明见分析． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，利用已知条件，发掘隐含条件，通过添加辅助线创造条件来判定三角形全等，切记一定要规避 “” 陷阱．因为, 不属于某个三角形的一条边，所以不能直接运用这个条件．连接，先利用证明，得到，再通过证出． 解：小明的证明不正确． 正确方法如下：如图，连接， 在和中， , ∴, ∴, 在和中， , ∴． 【知识点六】全等三角形综合拔高证明（期末必考） 综合考点：多次全等推导、线段等量证明、角度等量推导、平行或垂直证明、简单线段和差模型。 【题型 9】全等三角形综合证明大题 【例题9】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2） 若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，按如图方式摆放，，，若点A，C的坐标分别为，，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】过点B作轴于点D，过点A作交的延长线于点E，设点B的坐标为，则，证明和全等得，进而得，求出a，b的值，由此可得点B的坐标． 此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 解：过点B作轴于点D，过点A作交的延长线于点E，如图所示： ， 和都是直角三角形， 设点B的坐标为， 点A，C的坐标分别为， ， 在中，， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点B的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）（1）如图1，，点 M，N 分别在上，且，连接交于点 D，求证：； （2）如图2，在中， 于点 M，点 N 在上，且，求证：； （3）如图3，在中，点E 在边上，点 F 在线段上，且，连接．求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）由，得到，则，即可解答； （2）过点 B 作于点K，由，，得，即可解答； （3）在的延长线上取一点 H，使得，连接．由，得，， ，则即可解答． 解：（1）∵， ∴， ∴； （2）过点 B 作于点K，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）在的延长线上取一点 H，使得，连接，如图 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∴． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边的含义．注意最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．观察图形，找到与长度相等的边即可． 解：观察图形可知：，， ∴和是对应边， 而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边， ∴边的对应边为． 故选D． 2．（2026·山东济南·二模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 解：在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 4．（25-26八年级上·重庆綦江·期末）如图已知，，则直接判断的根据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据，，结合，根据判断，即可解答． 解：在和中， ， ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·山西临汾·期末）将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和，先证明，得到，再根据三角形内角和得到，最后根据计算即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 解：， ， ，， ， ， ， 故选：B． 7．（25-26七年级下·上海·期末）如图，且，且，按图中所标数据，则阴影部分面积（     ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】C 【分析】先证明，由此可以证明≌ ，所以，；同理证得≌，，，从而可求得，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 解：且，，， ， ，， ， ，，， ， ，， 同理可证， ，， ， ． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 【答案】A 【分析】先证，再求出长，根据面积公式可得的面积． 解：， ， ， 又， ， ， ， ， 又点为中点 ， ， ， ． 9．（25-26八年级下·全国·暑假作业）手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答． 解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边的夹角，所以不能判定其全等； 乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等； 丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等， 所以，和老师的三角形全等的是乙和丙． 10．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（   ） A．27.9 B．28.7 C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到，推出，利用三角形的面积公式进行求解即可. 解：∵等腰直角和等腰直角，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为. （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·四川成都·二模）如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出，，然后根据已知线段的长度求出结果即可． 解：∵， ，， ∵， ， ∵， ，即． 12．（21-22八年级上·吉林白城·期末）在与中，，，再添加一个条件_______，就可以直接证明． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理求解． 解：∵在与中，，， ∴再添加一个条件， ∴． ∴添加的条件可以为（答案不唯一）． 13．（25-26八年级上·湖南永州·期末）同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，．已知蜡烛火焰成的像的高度为，则蜡烛实际的火焰的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键．利用可证，进而得到，即可求解． 解：∵由图可知，和为对顶角， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点的坐标为 _________ ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 解：如图所示，过点作轴于点，    ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·全国·期末）在中，，，，线段，，两点分别在和的垂线上移动，则当_____时，才能使和全等． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定（定理），关键是分两种情况讨论直角边的对应关系，结合斜边相等的条件确定的长度． 解：∵，， ∴，即与均为直角三角形，且斜边． 若，则与为对应边， ∵， ∴； 若，则与为对应边， ∵， ∴． 故答案为：或． 16．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为______． 【答案】52° 【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可． 解：由作图可知，OD=OE=OF，EF=DE， ∴△ODE≌△OFE（SSS）， ∴∠EOD=∠EOF=26°， ∴∠BOD=2∠AOB=52°， 故答案为：52°． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 18．（2023·浙江·模拟预测）一位同学拿了两块的三角尺做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设．    猜想此时重叠部分四边形的面积为___________； 简述证明主要思路___________ 【答案】 连接，根据等腰直角三角形的性质，证，根据全等三角形的性质可得，再根据四边形的面积 【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质，证，根据全等三角形的性质可得，再根据四边形的面积即可求解． 解：连接，如图所示：    在等腰直角中，，， 是的中点， ，，， 在等腰直角中，， ， 在和中， ， ， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】先证明，再利用“”证明，根据全等三角形的性质即可得证． 解：证明：， ，即． 在和中， ． ． 20．（本小题满分8分）（2026·福建泉州·模拟预测）如图，点在的边上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】由平行条件可得，再由已知即可证明，由全等的对应边相等即可得证． 解：略． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）证明出，即可得到； （2）由全等三角形对应角相等求解． 解：（1）解：， ，即， 又∵，， ； （2）解：，， ． 22．（本小题满分10分）（2026·江苏南通·二模）如图，点是的中点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：点是的中点， ． ， ． 又， ， ； （2） 【分析】（1）由点是的中点，可知，因为，根据平行线性质可得，结合条件，利用“边角边”证明全等即可； （2）由全等三角形对应角相等，再由平行线的性质即可求解题目． 解：（1）证明：略； （2）解：， ． ， ． 23．（本小题满分10分）（2026·广西南宁·三模）如图，在中，是边上的中线． （1）尺规作图：在右侧作；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，延长交于点E，求证：． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：如图， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法解题即可； （2）根据全等三角形的判定定理证明． 解：（1）略 （2）略 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·山东济南·期中）和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）证明，即可解答． 解：（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第2讲）——全等三角形（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 【知识点一】全等图形与全等三角形的概念（基础必考） 2 【题型 1】全等图形与全等三角形概念识别 2 【知识点二】全等三角形的性质（计算必考） 3 【题型 2】利用全等三角形性质求边长、角度 3 【知识点三】全等三角形判定定理（核心重难点） 4 【题型 3】SSS 判定全等基础证明求值 5 【题型 4】SAS 判定全等基础证明（区分夹角与对角） 5 【题型 5】ASA、AAS 判定全等基础证明 6 【题型 6】直角三角形 HL 专项证明 7 【知识点四】判定方法择优技巧（自学提速核心） 8 【题型 7】灵活选用判定定理证明三角形全等（混合基础训练） 9 【知识点五】全等基础证明常见隐藏条件（易错专攻） 10 【题型 8】含隐藏条件的全等证明专项 10 【知识点六】全等三角形综合拔高证明（期末必考） 11 【题型 9】全等三角形综合证明大题 11 二.同步自测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握全等三角形所有核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念学知识→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】全等图形与全等三角形的概念（基础必考） 1、全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。全等图形两大特征：形状相同、大小相等。 2、全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 对应元素概念：（1）对应顶点：重合的顶点；（2）对应边：重合的边；（3）对应角：重合的角。 3、全等表示规范：用符号 “≌” 表示全等，书写时对应顶点写在相同位置。 【要点技巧】找对应边、对应角快速方法 ① 公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； ② 最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角。 全等识图口诀：公共边角必对应，长边大角互配对，书写顶点对齐位。 【题型 1】全等图形与全等三角形概念识别 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，已知，指出这两对全等三角形中所有的对应边和对应角． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． （1）表示这两个三角形全等； （2）写出对应边及对应角． 【知识点二】全等三角形的性质（计算必考） 性质（1）对应边相等；（2）对应角相等. 拓展衍生性质 ①全等三角形周长相等、面积相等； ②全等三角形对应边上的高相等、对应中线相等、对应角平分线相等。 【要点提示】周长、面积相等的两个三角形不一定全等，全等三角形周长、面积一定相等。 性质速记口诀：全等边角全相等，高中线角平分线，周长面积均相同。 【题型 2】利用全等三角形性质求边长、角度 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，求的长，以及的度数． 【变式1】（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式2】（25-26七年级下·甘肃兰州·阶段检测）如图，，则的度数为__________． 【变式3】（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． （1）若，，求的面积； （2）试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【知识点三】全等三角形判定定理（核心重难点） 3.1 SSS（边边边） 判定内容：三边分别对应相等的两个三角形全等。 适用场景：题干给出三组边相等、有公共边、多条线段等量代换。 3.2 SAS（边角边） 判定内容：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。 易错提醒：必须是两条边中间夹住的角，SSA 不能判定全等。 3.3 ASA（角边角） 判定内容：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 3.4 AAS（角角边） 判定内容：两角及其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 3.5 HL（斜边、直角边，仅适用于直角三角形） 判定内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 判定速记口诀：三边 SSS，夹角 SAS，夹边 ASA，对边 AAS，直角特殊用 HL；边边角，不能行。 【题型 3】SSS 判定全等基础证明求值 【例题3】（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，，，，相交于点．求证． 【变式1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，则________． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点B，E，C，F在同一直线上，． （1）求证：≌； （2）若，求的度数． 【题型 4】SAS 判定全等基础证明（区分夹角与对角） 【例题4】（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，D是边上的一点，， 平分，交边于点E，连接． （1）求证： ； （2）若， ，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    【变式3】（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【题型 5】ASA、AAS 判定全等基础证明 【例题5】（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，．求证：． 【变式1】（2026·吉林·模拟预测）如图，为了测量点B到河正对面点A之间的距离，小明在与点B同侧的河岸上选择点C和点D，测得，（B，C，D三点共线），过点作，使得点A，C，E在同一直线上，得到，测得的长就是A，B两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西汉中·阶段检测）如图，，，点为中点，则的长为_____． 【变式3】（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． （1）和全等吗？请说明理由． （2）若，试说明： 【题型 6】直角三角形 HL 专项证明 【例题6】（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． （1）求证：平分 （2）若，求的面积． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 【变式3】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，点C在上，，，且，，交于F． （1）求证； （2）求的度数． 【知识点四】判定方法择优技巧（自学提速核心） 1、已知三边相等与多条线段等量转换：优先 SSS； 2、已知两边相等，找中间夹角相等：优先 SAS； 3、已知两组角相等，再找任意一组对应边相等：ASA 或 AAS； 4、直角三角形，已知斜边 + 一条直角边相等：直接用 HL。 选择口诀：有边先看角，夹角用 SAS；两角配一边，ASA/AAS；直角斜边直边，HL 最省事。 【题型 7】灵活选用判定定理证明三角形全等（混合基础训练） 【例题7】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题．请写出你选择的一个真命题加以证明． 已知： 求证： 证明： 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2022九年级下·山东济宁·专题练习）如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 【变式3】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． （1）______（写成的形式，至少写个）； （2）选取其中一个加以证明． 【知识点五】全等基础证明常见隐藏条件（易错专攻） 做题默认隐藏等量关系，不用额外证明： 1、公共边：同一个三角形共用的边相等； 2、公共角：两个三角形重合的角相等； 3、对顶角：相交形成的对顶角相等； 4、平行线内错角、同位角相等； 5、同角或等角的余角、补角相等。 【题型 8】含隐藏条件的全等证明专项 【例题8】（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在中，点D是边上一点，连接 并延长至点C，连接．若求证：． 【变式1】（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）如图，，下列条件中，添加后仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，且，，则的面积是___________． 【变式3】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 【知识点六】全等三角形综合拔高证明（期末必考） 综合考点：多次全等推导、线段等量证明、角度等量推导、平行或垂直证明、简单线段和差模型。 【题型 9】全等三角形综合证明大题 【例题9】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2） 若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，按如图方式摆放，，，若点A，C的坐标分别为，，则点B的坐标为______． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）（1）如图1，，点 M，N 分别在上，且，连接交于点 D，求证：； （2）如图2，在中， 于点 M，点 N 在上，且，求证：； （3）如图3，在中，点E 在边上，点 F 在线段上，且，连接．求证：． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·二模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 4．（25-26八年级上·重庆綦江·期末）如图已知，，则直接判断的根据是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山西临汾·期末）将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·上海·期末）如图，且，且，按图中所标数据，则阴影部分面积（     ） A．46 B．48 C．50 D．52 8．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 9．（25-26八年级下·全国·暑假作业）手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 10．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（   ） A．27.9 B．28.7 C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·四川成都·二模）如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 12．（24-25八年级上·吉林白城·期末）在与中，，，再添加一个条件_______，就可以直接证明． 13．（25-26八年级上·湖南永州·期末）同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，．已知蜡烛火焰成的像的高度为，则蜡烛实际的火焰的高度为______． 14．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点的坐标为 _________ ． 15．（25-26八年级上·全国·期末）在中，，，，线段，，两点分别在和的垂线上移动，则当_____时，才能使和全等． 16．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为______． 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 18．（2024·浙江·模拟预测）一位同学拿了两块的三角尺做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设．    猜想此时重叠部分四边形的面积为___________； 简述证明主要思路___________ （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 20．（本小题满分8分）（2026·福建泉州·模拟预测）如图，点在的边上，，，．求证：． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22．（本小题满分10分）（2026·江苏南通·二模）如图，点是的中点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23．（本小题满分10分）（2026·广西南宁·三模）如图，在中，是边上的中线． （1）尺规作图：在右侧作；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，延长交于点E，求证：． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·山东济南·期中）和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $