四川省南江中学2025-2026学年高二下学期零诊模拟数学试题

**基本信息** 南江中学高二零诊模拟数学卷，聚焦数列、函数、解析几何等核心知识，通过AI知识竞赛情境设计统计题，融合数学抽象、逻辑推理与数据分析能力考查，适配高二下学期综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差等比、圆与直线距离、概率运算、导数切线|基础概念与运算结合，如第5题圆锥外接球考查空间想象| |多选题|3/18|函数极值单调性、数列性质、双曲线几何性质|选项分层设计，如第10题辨析等差等比数列前n项和性质| |填空题|3/15|二项式系数、函数单调性、概率交换问题|第14题黑球交换概率考查递推思维| |解答题|5/77|数列求和、立体几何线面角、统计分布列、双曲线综合、导数证明|17题以AI竞赛为情境考统计，19题导数恒成立考查逻辑推理，贴合高考综合题命题趋势|

南江中学2025-2026学年高二下学期零诊模拟考试数学试题 命题人：虎忱 审题人：张桂华 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 3．设A，B是两个随机事件，为A的对立事件，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 6．从4位男生，2位女生中选择3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法的种数为（     ） A．24 B．36 C．72 D．96 7．椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知函数，，则下列结论正确的有（    ） A．函数的极小值点是 B．函数的单调递减区间为，单调递增区间为 C．当时，与直线有2个公共点 D．当时，与的图象有2个公共点 10．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则，，是等比数列 C．若，都是等差数列，前项和为，且，则 D．若是等比数列，且（，为常数），则 11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ，则（    ） A．直线 斜率的取值范围是 B．当直线 过原点时， 的面积为 C．若 ，则 D．若直线 的斜率为 ，且 ，则 三、填空题 12．在的展开式中，所有的二项式系数之和为____________． 13．若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 14．设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球进行交换，则这样交换4次后，黑球还在A罐中的概率为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和 16．如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 17．2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； (3)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 18．已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. (1)求的方程. (2)过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 19．已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 答案第1页，共2页 高二数学 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $