四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末模拟四数学试卷

宜宾市一中2024级高二下期模拟四 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．下列运算不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（ ） A．与负相关 B．当时，一定为 C．当时，一定小于 D．两变量无线性关系 3．曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 4．二项式展开式中的常数项为（ ） A． B． C． D． 5．若随机变量，则（ ） A． B． C． D． 6．某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往，，，四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ） A．72 B．78 C．126 D．240 7．若随机事件，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知袋装食盐标准质量为．设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，，则（ ） A．有唯一极值点 B．在单调递增 C．的最大值为 D．在处的切线方程为 11．已知函数有三个不同的零点，，（其中），则（ ） A．的值可以为 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若随机变量，且，则_____________． 13．有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台车床加工的次品率依次为、、，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的、、，任取一个零件，则它是次品的概率为_____________． 14．已知直线：是函数（）与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则_____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： （1）求第一四分位数和中位数； （2）设为首次故障时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若，求和． 16．如图，在三棱锥中，点在上，，，． （1）求证：； （2）若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 17．已知数列中，，且（）． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的前项和． 18．已知为抛物线：（）的焦点，是抛物线上一点，且的最小值为． （1）求的方程； （2）过的直线与交于，两点，过原点作直线的垂线交于点（异于点）．当四边形的面积为时，求直线的方程． 19．已知函数（）． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，记作，． （i）求参数的取值范围； （ii）若，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $宜宾市一中2024级高二下期第四模拟 数学试卷（答案） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求.) 1.D. 2.A. 3.D. 4.B.5.C. 6.B.7.A.8.D 9.ACD. 10.BC. 11.BCD. 1 12.3 13.0.037 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【答案】(1) 由直方图可知，[345,365]的频率为0.015×10=0.15<0.25， [345,375]的频率为0.035×10=0.35>0.25， 故第一-四分位数在[365,37]上，设为x,则(-365)×0.02+0.15=0.25，解得x=370: [345,375]的频率为0.035×10=0.35<0.5， [345,385]的频率为0.06×10=0.6>0.5， 故中位数在[375,385]上，设为y,则(y-375)×0.025+0.35=0.5,解得y=381 故第一四分位数为370，中位数为381； 【小问2详解】 由直方图可知，小于365天的频率为(0.005+0.0)×10=0.15，故p=0.15, 根据二项分布的期望和方差公式， E(X)=100×0.15=15D(X)=100×0.15×0.85=12.75 16.【答案】(1)证明： 因为AE⊥CE且AE⊥DE,CE∩DE=E,且CE,DEC平面BCD, 所以AE⊥平面BCD.因为CDC平面BCD,所以AE⊥CD. 又AD⊥CD,AEOAD=A,AEC平面ABD, ADC平面ABD,CD￠平面ABD, 所以CD⊥平面ABD,故CD⊥AB. (2)法一：建立空间直角坐标系，求解向量AD和平面ABC的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法 二：利用体积法解出设点D到平面ABC的距离为山，进而计算线面夹角. 【小问2详解】 如图所示，以D为原点，DE所在直线为x轴，DC所在直线为V轴，过点D且垂直于平面BCD的直线 为2轴，建立空间直角坐标系， 可得D(0,00),C0,25,0,E(20,0),B3.0,0) 因为ELDE且AE=2,所以42,0V2) 所D-(2,0-2).B=10,2).Ac=(-2,25,-2) =x-22=0 设平面ABC的法向量”=（化少2），则n:AC=-2x+25y-V2z=0 可得x=2z,令2=2，则：x=22,y=6,即n=(22,V6,2) 设AD与平面ABC所成的角为B: AD.n (-2)×22+0+(-V2)×2 62√6 所以 V-2y+0+(2×22+6矿+26x353 6 所以AD与平面ABC所成的角为3 法=：在R△4DE中，D=VAE+DE=W2+2=6 在Rt△ABE中， 4B=E+BE-+P= 由(I)知CD⊥平面ADE,则CD⊥DE,CD⊥AD 在R△BDC中， BC=BD+CD:=+(23)=21 在Rt△ADC中，AC=VAD2+CD2=V6+12=3√2 AB2+AC2=(V5+32=21=BC2 △ABC为直角三角形，则 c-64c=x5x35=3y6 设点D到平面ABC的距离为h,AD与平面ABC所成角为B, 由'D-ABc=VA-BCD得：3 3 ino=h26 解得：h=2.所以 17.【小问1详解】 8=0+1→0-0=1 由01=24+2a,所以2册=2 ”2*12” 1 ,又4=2，则2， an 所以数列(2” 是以1为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 0=n今a,=n2 由(1)可知： S,=a,+a++a,=1×2+2×22++n×2“0 则2S,=22+2×23+…+nx2。 ② 则①-②得： -Sn=2+22+23+…+2"-n×2+1= 2×(1-2") -nx 2+ 1-2 所以S,=(n-1)2*1+2 18.【小问1详解】 卫=1 由题知，当点P在原点上时，PF的最小，所以2，所以p=2,所以抛物线C的方程为y=4x 【小问2详解】 设AB方程为x=my+1.A(x,片).B(x,y2) x=my+1 由y=4x联立得：y-4mw-4=0.于是，片+=4m, 于是，x+x=m(+)+2=4m2+2 |AB=x+3+p=4(m2+1) 直线OC方程为y=-mx y=-mx 4 x= 由y=4x联立得：m2X2-4x=0.解得x=0或=m2。 c44） 于是，点mm,所 loc=+m.4 所以m边O4CBnS=×AB-0C=m2Vm+1=16顶 m2 即(m+小Vm+1=25m,令1=m2+1,则m2=2-1>0,所以2>1 于是，-2V22+22=0. -v2r-2r+22=t-2)-2(-2)=0 nr-a-小01w=万4=5： 2 于是，m=±1或m=±V2+V5 所以直线AB的方程为x=±y+1或x=±√2+V5y+1 19.【小问1详解】 当a=1时.()。+r-nr-1 名1 x,·f'()=0 又70-。，e在=1袋的战动为。 【小问2详解】 (i)由题知， 创-总+-血r-=040oL有西个数，与， eln +x-ainx0(dln-x)-1-0 令80)=e-t-1,则8')=e-l 当1∈(0,0)时，8'()0，g0单调递减， 当1e(0,+)时，g()>0,g(单调递增， ..g(t)min =g(0)=0 所以问题转化为alx-x=0在(0，+oo)上有两个根. 1 Inx 易知a≠0，故ax, h()-In (x>0),则 (x)=1-Inx x2. :当x∈(0，e)时，h'(>0,h单调递增 当x∈(e,+)时，N()<0,h(x)单调递减. 4e.of.a4(ec0.e+o四.4(>0. 又 且x→+0时，h()→0，x→0时，h()→-0， 0<1<1 ae,解得a>e,即参数a的取值范围为(e,+∞). alnx =x alnx,=,两式相减得 aln点=x-x (ii)由(i)知， h支 1 a-,要证×≥243，即证lnx+3nx,≥l血243=5n3, 3X2+1 n X—lh点≥51n3 +3-（+3x)=(国+3x,)2513 -1x 即证aaa x2-x 即证七 t=点e3,+o) 令七 3+m25n3在[6，+o)上a成立. ,即证t-1 ◆0=hw t-1 (t≥3)， 3+1+3nd(t-1）-(3t+1)ln 32-2t-1-4lnt ∴()=Ct t (t-1)2 (t-1)2 030-2-1-4 令 t (t23), 0-+7--,0 ∴v(①)在[3，+∞）上单调递增， 02O)-943>0.0>0,则en+o)F单毫 增。 a02u6)-3n-5n,m2s,网 ,t-1 ，得证，x≥243