山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末冲刺卷

**基本信息** 山东省泰安市高二期末冲刺卷，涵盖函数、导数、概率统计等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及数据分析素养，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、导数几何意义、排列组合|基础概念辨析，如第2题切线方程结合导数计算| |多选题|3/18|二项式定理、概率命题判断|选项分层，如第10题综合二项式常数项与独立事件判断| |填空题|3/15|展开式系数、分段函数求值|注重细节，如第14题函数零点与参数范围结合| |解答题|5/77|统计案例（五一旅游数据）、函数零点证明|情境真实，如第18题独立性检验分析旅游方式；能力递进，第19题含参数讨论及不等式证明|

山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末冲刺训练卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）曲线在点处的切线方程为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（本题5分）从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（     ）种 A．48 B．288 C．312 D．336 4．（本题5分）已知事件满足，则下列结论正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 5．（本题5分）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（   ） A．1600 B．1800 C．2100 D．2700 6．（本题5分）定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（   ）    A．函数的增区间是， B．函数的减区间是， C．是的极大值点 D．是的极大值点 7．（本题5分）某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 8．（本题5分）函数对任意、总有，当时，，，则下列命题中正确的个数是（    ） ①是偶函数； ②是上的减函数； ③在上的最小值为； ④若，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）下列四个命题中为真命题的是（   ） A．已知，且，则 B．二项式的展开式中的常数项是45 C．若随机变量A，B满足：，，则A，B相互独立 D．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 11．（本题6分）函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（   ） A．当时， B．方程有3个不等实根 C．函数有最大值 D． 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）展开式中含项的系数为__________． 13．（本题5分）已知函数，则______ . 14．（本题5分）若函数与轴的正半轴只有一个交点，则实数的取值范围为________. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（本题15分）已知的展开式中所有二项式系数之和为512. (1)求n的值； (2)求展开式中第项的系数与第3项的系数的比值. 17．（本题15分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 18．（本题17分）据文化和旅游部5月6日公布2025年“五一”假期全国国内出游人次为3.14亿，总花费为1802.69亿元.在假期出游的人群中，有跟团游，也有自由行等不同的旅游方式.为了解年龄因素是否影响旅游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于17岁，小于45岁）和中老年组（大于或等于45岁）.现从市随机抽取200名成年人进行调查，得到数据如下表: 青壮年 中老年 合计 跟团游 30 60 90 自由行 65 45 110 合计 95 105 200 (1)依据小概率值的独立性检验，分析年龄与选择旅游方式是否有关联； (2)用分层随机抽样的方法从跟团游中抽取9人，再从9人中随机抽取5人，用随机变量表示5人中青壮年人数与中老年人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望. 附:. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（本题17分）已知函数. (1)讨论函数的单调区间： (2)若函数有两个不同的零点， ①求的取值范围， ②证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据交集的概念，找出同时满足集合和集合条件的的取值范围即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：A. 2．C 【分析】由切点在切线上，切线斜率为在切点处的导数值即可计算求解. 【详解】所求为. 故选：C. 3．B 【分析】方法一，根据分步计数原理，分一男两女、两男一女两种情况分别计算出选派方案数后，再根据分类加法计数原理求和即可；方法二，用总选派方案数减去全男、全女不符合要求的方案数即可. 【详解】方法一：直接法． 男女教师都有的情况分为两种： 第一种，选派1名男教师，2名女教师，有种选法，再将3人分配到3个班的排列数为， 该种选派方案数为； 第二种，选派2名男教师，1名女教师，有种选法，再将3人分配到3个班的排列数为， 该种选派方案数为； 根据分类加法计数原理，总选派方案数共有种； 方法二：间接法. 从8名教师中任选3名教师分配到3个班的总选派方案数为种， 其中全是男教师或全是女教师的情况不符合要求， 两类不符合的选派方案数均为种， 故符合要求的选派方案数为种. 4．D 【分析】由互斥事件、独立事件定义和性质以及互斥概率加法公式、独立概率乘法公式、条件概率公式即可逐一计算判断各选项. 【详解】对于A，若互斥，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，所以，故C错误； 对于D，若，则，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 5．D 【分析】应用正态分布性质及对应概率计算求解. 【详解】由题设，若X表示数学考试成绩，则，而， 所以，故参加本次联考的总人数约为． 故选:D． 6．C 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值． 【详解】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值. 故ABD错误，C正确． 故选：C． 7．D 【分析】对于A，由回归方程可判断变量y与x的负相关；对于B，利用回归方程过可判断选项正误；对于C，由回归方程及残差定义可判断选项正误；对于D，由回归方程可得预测值. 【详解】对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确； 对于B，，， 因回归方程过，则，故B正确； 对于C，当时，由B分析，，则残差为： 故C正确； 对于D，当，由B分析，，故D错误. 故选：D 8．B 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断①；利用函数单调性的定义可判断②；利用函数单调性可知在上的最小值为，利用赋值法求出的值，可判断③；将所求不等式变形为，结合函数的单调性解此不等式，可判断④. 【详解】对于①，取，则，解得， 令，则，即，且函数的定义域是， 所以函数是奇函数，故①错误； 对于②，令、，且，则， 因为当时，，所以， 则，即， 函数是上的减函数，故②正确； 对于③，因为函数是上的减函数， 所以函数在上的最小值为， 又， ，故， 在上的最小值为，故③错误； 对于④，，即， 因为函数是上的减函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为，故④正确， 故选：B. 9．ABD 【详解】选项A，令 ，代入 ， 得，即 ，A正确； 选项B， ，是的系数，取 ， 则 ，B正确； 选项 C，令 ，则 ， 令 ，则 ， 两式相减， 得到 ， 解得 ，即 ，C错误； 选项D，对两边求导， 得到， 令 ，得到=，D正确. 10．ABC 【分析】利用二项分布期望公式计算判断A；利用二项式定理求出常数项判断B；利用相互独立事件的定义判断C；求出概率判断D. 【详解】对于A，依题意，，解得，A正确； 对于B，的展开式中的常数项为，B正确； 对于C，由，得， 即，A，B相互独立，C正确； 对于D，取得2件次品的概率为，D错误. 故选：ABC 11．ABD 【分析】运用奇函数的定义可得时的解析式，可判断A；令，求出所对应的方程的解，即可判断；利用导数判断函数的单调性求出函数的极值，即可判断；由的值域可判断． 【详解】对于A，函数为定义在上的奇函数， 当时，，，故A正确； 对于B，当时，，解得，时，，解得， 又，所以有和0三个零点，故B正确； 对于C，当时，，，当时，，递减， 时，，递增， ∴时，有极小值，时，，，， 由是奇函数，∴时，有极大值， 又，所以的值域是，故C错误； 对于D，由C的讨论知，因此对任意的实数有，， ∴，即，故D正确. 故选：ABD. 12．480 【详解】由题知：； 第项通项公式：； 的第项通项公式：; 令，则 所以项的系数为：. 13． 【分析】根据分段函数的性质和对数求值即可求解. 【详解】因为函数，且， 所以， 故答案为：. 14． 【分析】令，分离参数得，结合图像分析交点个数，得出的取值范围. 【详解】由题意得， 有且仅有一个根，且， 所以在上有且仅有一个根， 当，则， 令且，则，所以在上单调递增， 趋向于0时，趋向于1时，，所以； 当，则， 令，在上单调递减，且， 趋向于时，，所以.综上， 故答案为：.    15．(1) (2). 【分析】（1）根据一元二次不等式解法，先求得集合A，进而可得，当，可得集合B，根据交集运算的定义，计算即可得答案； （2）由题意可得且，根据集合的包含关系，列出不等式，可得的取值范围. 【详解】（1）由得，解得， 所以集合； 又全集，所以或， 当时，集合， 所以. （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以且， 因为， 所以， 所以且等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围为. 16．(1) (2)32 【分析】（1）根据题意，利用二项展开式的二项式系数和的性质，列出方程，即可求解； （2）求得二项展开式的通项，分别求得第项的系数与第3项的系数，即可求解. 【详解】（1）解：的展开式中二项式系数之和为，可得，解得. （2）解：由（1）知二项式的展开式的通项为， 可得， 所以第项的系数与第3项的系数的比值为. 17．(1)单减区间为，的单增区间为 (2) 【分析】（1）先求出定义域，方法一：利用导数求解函数的单调性即可；方法二：利用复合函数的单调性法则：同增异减来进行求解； （2）将恒成立问题，转化为最值问题来求解即可． 【详解】（1）令，解得或． （法一）， 令，得，结合的定义域，得． 令，得，结合的定义域，得． 综上，单减区间为，的单增区间为． （法二）令，， 在其定义域内为增函数， 的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 所以，当时，单调递减，当时，单调递增． 由复合函数单调性性质，当时，单调递减，当时，单调递增， 综上，单减区间为，的单增区间为． （2）由题意． 由（1）知，当时，单增，所以． 于是，即，解得，故m的取值范围为． 18．(1)认为年龄与选择旅游方式有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由卡方公式计算再比较即可； （2）先用分层抽样确定青壮年和中老年人数，确定随机变量的可能取值为1，3，5，用古典概率计算出相应的概率，求出的分布列，再利用数学期望公式求出期望即可. 【详解】（1）零假设:年龄与选择旅游方式无关联. 根据列联表，得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即认为年龄与选择旅游方式有关联. （2）用分层随机抽样的方法在青壮年组抽取人数为，在中老年组抽取的人数为， 随机变量的可能取值为1，3，5， ， ， ， 故的分布列为: 1 3 5 所以. 19．(1) 答案见详解 (2)①；②见答案详解. 【分析】（1）写出，求导，根据的正负判断的符号，进而求出单调区间. （2）①分离参数求导，有两个交点即可；②把变成整式，作差得到，把中换掉，变量集中，令，得到，求导证明即可. 【详解】（1），定义域为， 当时，，在递增； 当时，，，，， 递增，在递减. 综上所述：当时，递增区间为，无递减区间； 当时，递增区间为，递减区间为. （2）①有两个不同的零点，有两个根，即有两个根， 令，则， 则时，，递增；时，，递减， 极大值为，当时，，当时，， 的范围为. ②有两个不同的零点，， 两式作差得，，要证，及证， 即证：，同除，得到 不妨设，令，则， 则证明，即证， 令，则， 则在上增，且，，.得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $