山东省枣庄市山亭区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年第二学期期末测试 八年级数学（A卷） 2026/06 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1．2025年5月18日，是第49个国际博物馆日，山东博物馆以“快速变化社会中的博物馆未来”为主题，为广大游客打造一场跨越时空的文博盛宴．以下山东博物馆展出文物的正面图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 2．设，则下列不等关系正确的是 A． B． C． D． 3．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是 A． B． C． D． 4．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为16米，则，间的距离为 A．8米 B．16米 C．24米 D．32米 5．计算：的结果为 A． B． C． D． 6．某企业要购进两款机器狗共5只．如图所示，已知CyberDog2单价是1.3万元/只，UnitreeGo2单价是1万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过6.2万元，则CyberDog2最多可以购进几只 A．1只 B．2只 C．3只 D．4只 7．如图，在中，，，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为 A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是 A． B． C．四边形面积不变 D．四边形周长不变 9．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为人，则可列方程为 A． B． C． D． 10．如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，满分15分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11．若分式在实数范围内无意义，则的取值范围是_________． 12．因式分解：_________． 13．某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要________个正五边形木片． 14．如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点，；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则的长为__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是__________． 三、解答题：本大题共8小题，满分75分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 16．（本题满分10分） （1）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来； （2）因式分解：； （3）利用因式分解计算：． 17．（本题满分8分） （1）化简：． （2）是否存在整数，使得（1）式中的结果是整数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（本题满分8分）阅读与思考： “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用配方法能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）运用配方法将多项式进行因式分解：； （2）试说明多项式的值总是一个正数； 19．（本题满分9分）．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，， （1）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出，写出点，的坐标； （2）计算的面积； （3）在平面直角坐标系内是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（本题满分8分）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解，∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为__________________． （2）模仿上述换元法解方程：． 21．（本题满分10分）某学校欲购买，两种型号拖把．其中型拖把的单价比型拖把的单价少9元，且用3120元购买型拖把的数量与用4200元购买型拖把的数量相等． （1）求、型拖把的单价分别是多少元？ （2）若购买两种拖把共200个，且购买型拖把的数量不超过型拖把数量的，如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？ 22．（本题满分10分）如图，的对角线与交于点，点，分别在，上． （1）下列条件：①；②；③，请你从中选择一个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是平行四边形，，，垂足为点，，，求的面积． 23．（本题满分12分）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至，处，此时点、、三点正好在同一直线上． （1）求的度数； （2）求的长； （3）求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025–2026学年第二学期期末测试 八年级数学（A卷）标准答案 一、选择题（满分30分） 1.C　2.C　3.B　4.D　5.C6.D　7.B　8.B　9.D　10.C 二、填空题（满分15分） 11. x=312. a(a+1)(a−1)13. 1014. 2√215. ( 3√3/2 , −3/2 ) 三、解答题 16.（本题满分10分） (1) 解不等式组{ 3x+4 ≥ x 　　　①{ (3x+5)/4 < x+1 ② 解①：3x - x ≥ -4 ⇒ 2x ≥ -4 ⇒ x ≥ -2解②：3x+5 < 4x+4 ⇒ 3x-4x < 4-5 ⇒ -x < -1 ⇒ x > 1∴ 不等式组解集：x > 1 (2) 因式分解：2a³ −12a² +18a原式 = 2a(a² −6a +9) = 2a(a−3)² (3) 3.14×5.5² −3.14×4.5²原式 = 3.14×(5.5² −4.5²) = 3.14×(5.5+4.5)(5.5−4.5) = 3.14×10×1 = 31.4 17.（本题满分8分） (1) 化简：(1 − 1/(a−2)) ÷ (a²−9)/(a+3)原式 = [ (a−2−1)/(a−2) ] × [ (a+3)/((a+3)(a−3)) ] = (a−3)/(a−2) × 1/(a−3) = 1/(a−2) (2) 存在整数a。由结果1/(a−2)为整数，得a−2 = ±1。① a−2=1 ⇒ a=3，此时原式分母a²−9=0，分式无意义，舍去；② a−2=−1 ⇒ a=1，代入原式所有分母均不为0，符合条件。∴ a=1 18.（本题满分8分） (1) x² −8x −9原式 = (x²−8x+16) −16 −9 = (x−4)² −5² = (x−4+5)(x−4−5) = (x+1)(x−9) (2) x² −6x +10原式 = (x²−6x+9)+1 = (x−3)² +1∵ (x−3)² ≥ 0，∴ (x−3)²+1 ≥ 1 > 0故多项式x²−6x+10的值总是一个正数。 19.（本题满分9分） (1) A₁(0, −3)，B₁(2, −1)（图形略）(2) △ABC面积 = 4(3) Q点坐标：(−5,2)、(3,4)、(1,−2) 20.（本题满分8分） (1) y/2 − 1/y = 0 (2) 解：设 y = (x−1)/(x+2)，原方程化为 y − 9/y = 0两边同乘y：y² −9 = 0 ⇒ y=3 或 y=−3① 当y=3时：(x−1)/(x+2)=3 ⇒ x−1=3x+6 ⇒ −2x=7 ⇒ x=−7/2② 当y=−3时：(x−1)/(x+2)=−3 ⇒ x−1=−3x−6 ⇒ 4x=−5 ⇒ x=−5/4检验：x=−7/2，x=−5/4均使分母不为0，均为原方程解。∴ 原方程解：x=−7/2，x=−5/4 21.（本题满分10分） (1) 设A型拖把单价x元，则B型拖把单价(x+9)元。3120/x = 4200/(x+9)3120(x+9) = 4200x3120x + 28080 = 4200x1080x = 28080x = 26x+9=35答：A型拖把单价26元，B型拖把单价35元。 (2) 设购买A型拖把m个，则B型拖把(200−m)个。m ≤ (1/3)(200−m)3m ≤ 200−m4m ≤ 200 ⇒ m ≤ 50总费用 W = 26m + 35(200−m) = −9m +7000∵ −9<0，W随m增大而减小，∴ m=50时W最小。200−50=150W最小= −9×50 +7000 = 6550答：购买A型50个，B型150个总费用最低，最低6550元。 22.（本题满分10分） (1) 选择条件① BE=DF进行证明。证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形∴ OA=OC，OB=OD∵ BE=DF，∴ OB−BE = OD−DF ⇒ OE=OF∵ OA=OC，OE=OF∴ 四边形AECF对角线互相平分∴ 四边形AECF是平行四边形。 (2) 在Rt△ADE中，∠ADB=30°，AD=4∴ AE = (1/2)AD = 2，DE = √(AD²−AE²) = 2√3∵ DF=√3，∴ EF = DE − DF = √3S▱AECF = 2 × S△AEF = 2 × (1/2 × EF × AE) = √3 × 2 = 2√3 23.（本题满分12分） (1) 由旋转得：△BPA ≅ △BEC，BP=BE=2，∠PBE=∠ABC=90°∴ △PBE为等腰直角三角形，∠BEP=45°∵ A、P、E共线，∴ ∠APB = 180°−∠BEP = 135° (2) ∠BEC=∠APB=135°，∴ ∠PEC=∠BEC−∠BEP=90°Rt△PBE中，PE = √(BP²+BE²) = √(4+4)=2√2EC=PA=√2Rt△PEC中，PC = √(PE² + EC²) = √[(2√2)² + (√2)²] = √(8+2)=√10 (3) S△BPE = (1/2)×2×2 = 2S△PEC = (1/2)×2√2×√2 = 2S△BPC = S△BPE + S△PEC = 2+2 = 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $