精品解析：广东省中山市第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学热身练试题

广东省中山市第一中学2024-2025学年高二下数学期末热身考 一、单选题 1. 可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在上的平均变化率与它在处的瞬时变化率相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 用这6个数字可以组成个无重复数字的六位数，其中偶数有个，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 2 4 7 A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查.已知抽查的男生､女生人数均为，其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的.若本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，则的最小值为（ ） 附：参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 6. 的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 7. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设两个相关变量和分别满足下表： 若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ） （参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 决定系数越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 B. 经验回归方程相对于点的残差为 C. 根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“x与y没有关联” D. 样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 10. 设，则下列结论正确的是（ ） A. 常数项为2 B. 第4项系数为 C. 奇数次系数和为32 D. 当时，该式的值为2916 11. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ） A. 第二天去甲餐厅的概率为0.54 B. 第二天去乙餐厅的概率为0.44 C. 第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D. 第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 三、填空题 12. 为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70，72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有___________人． (参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)=0.96) 13. 函数.对于，都有，则实数的取值范围是______. 14. 2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）共有种情况，则除以36的余数是______． 四、解答题 15. 已知函数与函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线与曲线在公共点处的公切线方程． 16. 某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警报与服务器状态（正常/故障）高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下： 触发警报时状态分布 未触发警报时状态分布 正常 25台 正常 450台 故障 475台 故障 50台 运维单台服务器时，可选操作及经济损失（单位：千元）如下： 状态/操作 保持运行 快速诊断 深度检修 正常 0 1 3 故障 10 4 6 假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立． （1）若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率； （2）某次维护中，发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器．现有三种操作方案： 方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行； 方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行； 方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断． 从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案更优． 17. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： （1）求杨辉三角中第8行的各数之和； （2）在的展开式中，求含项的系数． 18. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）做好记录.下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得，， ，，其中为抽取的第个零件的尺寸（）． 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸（cm） 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸（cm） 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 （1）求（）的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； （2）一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （3）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市第一中学2024-2025学年高二下数学期末热身考 一、单选题 1. 可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式进行判断. 【详解】中总共有个数连乘， 故． 故选：A 2. 若函数在上的平均变化率与它在处的瞬时变化率相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出平均变化率及在处的瞬时变化率，解方程即可. 【详解】因为在上的平均变化率为， 所以，解得， 故选：A． 3. 用这6个数字可以组成个无重复数字的六位数，其中偶数有个，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合知识求出，代入可得结果. 【详解】从中任选一个数字排在首位，其余5个数字全排可得， 排在个位的无重复数字的六位偶数有个， 不排在个位的无重复数字的六位偶数有个， 故. 所以． 故选：B 4. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 2 4 7 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机变量分布列的性质列式求出，计算，再根据期望，方差的性质计算求解. 【详解】由离散型随机变量的性质可得，解得， 则，， 所以，． 故选：A. 5. 某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查.已知抽查的男生､女生人数均为，其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的.若本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，则的最小值为（ ） 附：参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，作出列联表，计算的值，依题意，须使的值不小于小概率对应的，求解不等式即得. 【详解】依题意，作出列联表： 男生 女生 合计 喜爱乒乓球运动 不喜爱乒乓球运动 合计 则， 因本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，故得， 解得，因，故的最小值为23. 故选：D. 6. 的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】原问题即为求展开式中的所有项的系数和，令，即可得答案. 【详解】解：展开式的通项公式为， 若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项， 令，可得所有不含z的项的系数之和为， 故选：D. 7. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】由可得， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 且， 由可得， 即，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 8. 设两个相关变量和分别满足下表： 若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ） （参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将非线性回归方程化为线性，令，则可得，根据数据及公式分别求出，代入非线性回归方程可得变量和之间的关系，将代入化简计算即可. 【详解】解：因为非线性回归方程为：，则有， 令，即，列出相关变量关系如下： 0 1 3 3 4 所以，， ，， 所以， 所以，所以， 即，即，因为，所以， 当时，. 故选：B 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 决定系数越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 B. 经验回归方程相对于点的残差为 C. 根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“x与y没有关联” D. 样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由决定系数的定义可作出判断；B选项，，B正确；C选项，零假设为：x与y相互独立，由卡方值大于6.635得到不成立，得到结论；D选项，由相关系数的定义作出判断. 【详解】对于A，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故A不正确. 对于B，残差为，故B正确， 对于C，零假设为：x与y相互独立，即x与y没有关联， 由可知依据的独立性检验， 所以有充分证据推断不成立，可以认为“x与y有关联”，选项C不正确. 对于D，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，选项D正确. 故选：BD 10. 设，则下列结论正确的是（ ） A. 常数项为2 B. 第4项系数为 C. 奇数次系数和为32 D. 当时，该式的值为2916 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，结合赋值法，依次判断各个选项即可. 【详解】的展开式的通项为， 对于A：常数项为，故A错误； 对于B：第4项系数即的系数，， 故的系数，故B错误； 对于C：令，得； 令，得， 将两式相减，得，故，故C正确； 对于D：令，得，故D正确. 故选：CD. 11. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ） A. 第二天去甲餐厅的概率为0.54 B. 第二天去乙餐厅的概率为0.44 C. 第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D. 第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可. 【详解】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅， :第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅， 所以，，， 因为， 所以， 所以有, 因此选项A正确, ，因此选项B不正确； 因为，所以选项C正确； ，所以选项D不正确， 故选：AC 三、填空题 12. 为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70，72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有___________人． (参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)=0.96) 【答案】26 【解析】 【分析】由已知求得，，利用对称性求得，可得成绩在77分以上的学生有208人，求得高二学生总人数，求出，利用概率求得结果． 【详解】解：由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(70，72)，得，， ，又成绩在77分以上的学生有208人，则高二学生总数为； ，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有人. 故答案为：26. 13. 函数.对于，都有，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出在上的最小值和在上的最大值，由题意，列式求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，，所以， 所以时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，又，， 所以， 对于，都有，则， 所以，即. 故答案为： 14. 2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）共有种情况，则除以36的余数是______． 【答案】13 【解析】 【分析】先分析得这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分，第三小题可能得0分，2分或3分，再列举出所有的得分，找到，利用二项式定理解决余数问题. 【详解】这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分， 第三小题可能得0分，2分或3分， 如图，当第三题得0分时，有可能总得分为：， 当第三题得2分时，有可能总得分为：， 当第三题得3分时，有可能总得分为：， 所以这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）为： ，即， 则 ， . 故答案为：13. 四、解答题 15. 已知函数与函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线与曲线在公共点处的公切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得； （2）设曲线与曲线的公切点为，然后根据导数的几何意义可得切点，进而即得. 【小问1详解】 ，，. 在点处的切线方程为：； 【小问2详解】 设曲线与曲线的公切点为， ，， 令，即， 或（舍）， ， ∴所求公切线方程：，即. 16. 某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警报与服务器状态（正常/故障）高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下： 触发警报时状态分布 未触发警报时状态分布 正常 25台 正常 450台 故障 475台 故障 50台 运维单台服务器时，可选操作及经济损失（单位：千元）如下： 状态/操作 保持运行 快速诊断 深度检修 正常 0 1 3 故障 10 4 6 假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立． （1）若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率； （2）某次维护中，发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器．现有三种操作方案： 方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行； 方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行； 方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断． 从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案更优． 【答案】（1） （2）方案乙更优. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式计算； （2）分别计算三种方案下总经济损失的期望，然后比较大小. 【小问1详解】 设服务器触发警报时其处于故障状态设为事件A，服务器未触发报警记时其处于故障状态记为B． 由题意可知，；， 由古典概型知识可知，. 【小问2详解】 ∵，∴， 又，∴． ∴. 方案甲：触发警报的服务器深度检修的经济损失的数学期望为： （千元）． 未触发警报的服务器保持运行的经济损失的数学期望为： （千元）． ∴（千元） 方案乙：触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为： （千元）． 所以，（千元） 方案丙：未触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为： （千元）， 所以（千元） ∵，所以方案乙更优． 17. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： （1）求杨辉三角中第8行的各数之和； （2）在的展开式中，求含项的系数． 【答案】（1）256 （2） 【解析】 【分析】（1）由杨辉三角的性质以及二项式系数之和公式即可得解； （2）求出的每一项中含项的系数在杨辉三角中所处的位置，再结合杨辉三角的性质，即可得解. 【小问1详解】 由杨辉三角的性质1可知，第8行就是的展开式的二项式系数， 由二项式系数之和公式可知，杨辉三角中第8行的各数之和为； 【小问2详解】 的二项展开式的通项为， 其中的系数为，是杨辉三角第行中从左到右的第三个数， 因此中含项的系数， 分别为杨辉三角中第行中从左到右的第三个数， 首项为，且每一项均在平行于腰的一条线上，满足杨辉三角的性质， 其系数之和为最后一个数斜右下方的那个数， 因此，在的展开式中， 则含项的系数为. 18. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）做好记录.下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得，， ，，其中为抽取的第个零件的尺寸（）． 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸（cm） 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸（cm） 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 （1）求（）的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； （2）一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （3）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 【答案】（1）可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 （2）需对当天的生产过程进行检查 （3）均值；标准差． 【解析】 【分析】（1）由样本数据得相关系数，验证是否成立，然后得结论； （2）由求得，即可得到得结论； （3）剔除离群值，求剩下数据的平均值，即求得这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值.由得，即可求出剔除第13个数据，剩下数据的样本方差，即求得这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值. 【小问1详解】 由样本数据得相关系数： ． ，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小． 【小问2详解】 ∵，，∴，， 抽取的第13个零件的尺寸在以外， 需对当天的生产过程进行检查． 【小问3详解】 剔除离群值，即第13个数据， 剩下数据的平均数为， 即这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为； 由得：， 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为， 样本标准差为， 即这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：. 【答案】（1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当时，，求得其导函数 ，，可求得函数的图象在处的切线方程； （2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性； （3）当时，，，由（2）得的单调区间，以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证. 【详解】（1）当时，， 所以 ，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即； （2）由已知得，，令，得， 所以当时，，当时，， 所以在上是减函数，在上是增函数； （3）当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增， 所以，且时，，当时，，， 所以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，， 构造函数，则， 当时，所以， 在上单调递减，且，， 由 ，在上单调递增， . 所以. 【点睛】本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $