广东省2025～2026学年第二学期高二期末数学模拟检测题

**基本信息** 广东省2025-2026高二期末数学模拟卷，覆盖统计、函数、数列等模块，通过救援安排（第4题）、科研满意度调查（第9题）等情境，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）、语言（数据意识），梯度适配期末检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|统计（第1题）、函数（第2题）、数列（第3题）|基础概念与运算结合| |多选|3/18|频率分布（第9题）、复数（第10题）|数据分析与逻辑判断并重| |填空|3/15|排列组合（第12题）、圆台体积（第13题）|实际应用与空间想象| |解答题|5/77|导数不等式（第19题）、椭圆轨迹（第18题）|综合探究与创新思维，如导数题（第19题）考查推理能力，椭圆题（第18题）体现模型观念|

广东省2025~2026学年第二学期高二期末数学模拟检测题 （时长：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.组数、、、…、的平均数是，方差是，则另一组数、、、…、的平均数和方差分别是 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】根据均值与方差的性质，代入公式计算即可. 【详解】解：由题意可知，，，， 根据数学期望与方差的公式得：， ， 故选：B. 【点睛】均值与方差的性质： （1） （2）为常数). 2.已知函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出该函数最小正周期后，可利用正弦函数零点与周期关系计算即可得. 【详解】该函数的最小正周期，由， 则，即的最小值为. 3.已知数列的前项之积是首项为2，公差为3的等差数列，则（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】首先写出数列前项之积的通项公式，即可求解. 【详解】由题意得，所以． 故选：C． 4.现有4支救援队前往3个受灾点执行救援任务.若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法数是（ ） A．24 B．36 C．48 D．56 【答案】B 【详解】先将4支救援队分成3组，其中一组有2支，另外两组各有1支，方法数为种， 再将这3组分配到3个不同的受灾点，有种分配方法， 故不同的安排方法数是种. 5.已知椭圆与双曲线共焦点，椭圆与双曲线右支交于两点，若直线过右焦点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由双曲线和椭圆的对称性可得垂直于轴，故为椭圆和双曲线的通径. 设，由椭圆可得， 在椭圆方程中令，则， 在双曲线方程中令，则， 由题意且，故即， 故或（舍），故. 6.已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合空间向量的线性运算计算即可求解． 【详解】因为是平行四边形，且， 则 ．显然A正确. 故选：A． 7.若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减，， 函数的图象如下图所示： 因为函数在区间内有两个零点， 所以直线与函数有两个不同的交点， 所以，所以实数的取值范围是. 8.已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（   ）    A． B．由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人 C．估计这1000名用户问卷的得分的分位数为85 D．估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75 【答案】ABC 【分析】对于A，由各矩形面积为1可判断选项正误；对于B，由A分析结合题意可判断选项正误；对于CD，由频率分布直方图计算百分位数，平均数方法可得答案. 【详解】对于A，由题可得， 故A正确； 对于B，由A分析，打分在分以下对应频率为：，则对应人数为：，故B正确； 对于C，前3个矩形面积之和为：， 前4个矩形面积之和为：， 则分位数在到90之间，设为，则， 故C正确； 对于D，平均数为： ，故D错误. 故选：ABC 10.若复数，则（） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的复数根 【答案】AC 【详解】. 选项A：，正确. 选项B：的虚部为，不是，错误. 选项C：在复平面内对应点为，位于第四象限，正确. 选项D：将代入方程可得： ，故不是该方程的根，错误. 11.如图，在正四棱台中，，则（   ） A． B．平面 C．侧棱与底面所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】将正四棱台的四条侧棱分别延长交于点，计算出各边边长，利用勾股定理可判断A选项；利用线面平行的判定定理可判断B选项；利用线面角的定义可判断C选项；推导出平面，可知线段的长度即为点到平面的距离，求出线段的长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，如图，将正四棱台的四条侧棱分别延长交于点， 因为，，所以，，即， 连接交于点，由，则， 所以，，即，所以，，故A正确； 对于B选项，连接， 因为，，所以，， 因为平面，平面， 所以，平面，即平面，B对； 对于C选项，连接、， 因为直线在平面内的射影为，所以，为侧棱与底面所成的角， 且，则，C错； 对于D选项，因为，即，同理， 所以，， 因为，为的中点，则， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 又因为平面，平面，， 所以，平面，即线段的长度即为点到平面的距离， 且，D对. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等7名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有__________种 【答案】60 【分析】按“问题元素”优先的原则，进行分类，然后计算求解即可. 【详解】此题的难度主要是来自分类，按“问题元素”优先的原则，对甲进行分类：甲照看第一道工序（甲1丙4）、甲照看第四道工序（甲4乙1）、甲“不照看第一和第四道工序”（乙1丙4）三种. . 故答案为：60 13.设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为__________． 【答案】 【分析】根据圆台的几何特征结合圆台的体积公式计算即可. 【详解】设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l． 作于点，则，． 又，，，． 又，，，． 又，． 圆台的体积为． 故答案为：. 14.已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________. 【答案】 【分析】根据的非负性可以推知，有相同的零点，从而分析出答案. 【详解】函数的定义域为，当时，，当时，，当时，，要使， 则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上，只需，即，解得， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 设， （1）求的单调递增区间； （2）在中，角为锐角，角，，的对边分别为，，，若，，，求三角形的周长. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）化简可得，令即可得单调递增区间； （2）由可得，根据余弦定理变形可得，代入数据计算可得，进而可得三角形的周长. 【详解】解：（1）由已知， 令， 则， 的单调递增区间为； （2）由（1）得，又角为锐角， ，得， ， 得， 所以三角形的周长为. 【点睛】本题考查三角恒等变形，考查正弦型函数的单调性，以及余弦定理的应用，是中档题. 16.（本小题满分15分） 已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 经检验，时符合上式， 所以，． 由上可知，， 设的公差为，则， 所以，， 即． （2）由(1)得， 则数列的前项和为： ， ， ， ， 所以，数列的前项和． 17.（本小题满分15分） 如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【答案】(1) 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）略 （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 18.（本小题满分17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，点为椭圆C上的动点，椭圆C的离心率为，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)，为椭圆的左，右顶点，点，当不与，重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点，求点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，即可求解； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并利用坐标表示直线的方程，并且联立方程求点的轨迹方程. 【详解】（1）由椭圆的性质，可知的面积的最大值为， 又，解得，，， 所以椭圆的方程为. （2）由题知不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得， ， 设、，则，， 因为的方程为，的方程为， 两直线方程联立得：， 因为， 所以，解得. 所以动点的轨迹方程为. 19.（本小题满分17分） 已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)由于，故， 令，由于在上单调递增，则， 则可化为函数， 则，由于，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故的极小值也即最小值为， 故，即. (3) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）令，将可化为函数，利用导数求出该函数的最小值，即可证明； （3）将对任意 ，不等式恒成立，化为对任意恒成立，分情况讨论a的取值情况，即可求解. 【详解】（1）当时，， 则， 则，， 故曲线在处的切线方程为， 即． （2）略 （3）由（2）知，对任意 ，不等式恒成立， 等价于对任意恒成立，分情况讨论： 当时，恒成立，在R上单调递增， 当时，存在t使，不满足条件； 当时，对恒成立，满足条件； 当时，由（2）知的最小值为，令，得， 即， 综上，a的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025~2026学年第二学期高二期末数学模拟检测题 （时长：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.组数、、、…、的平均数是，方差是，则另一组数、、、…、的平均数和方差分别是 A．， B．， C．， D．， 2.已知函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3.已知数列的前项之积是首项为2，公差为3的等差数列，则（   ） A．4 B．3 C． D． 4.现有4支救援队前往3个受灾点执行救援任务.若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法数是（ ） A．24 B．36 C．48 D．56 5.已知椭圆与双曲线共焦点，椭圆与双曲线右支交于两点，若直线过右焦点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 6.已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 7.若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（   ）    A． B．由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人 C．估计这1000名用户问卷的得分的分位数为85 D．估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75 10.若复数，则（） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的复数根 11.如图，在正四棱台中，，则（   ） A． B．平面 C．侧棱与底面所成的角为 D．点到平面的距离为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等7名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有__________种 13.设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为__________． 14.已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 设， （1）求的单调递增区间； （2）在中，角为锐角，角，，的对边分别为，，，若，，，求三角形的周长. 16.（本小题满分15分） 已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17.（本小题满分15分） 如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 18.（本小题满分17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，点为椭圆C上的动点，椭圆C的离心率为，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)，为椭圆的左，右顶点，点，当不与，重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点，求点的轨迹方程. 19.（本小题满分17分） 已知函数，其中，e为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $