精品解析：河南省南阳市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2026年春期期末质量评估检测 七年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分．）（下列各小题只有一个答案是正确的．） 1. 宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（ ） A. 绝对值 B. 有理数 C. 代数式 D. 方程 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干对“天元术”步骤的描述，结合初中相关概念的定义即可判断． 【详解】解：∵“立天元一”相当于设未知数，再根据条件列出两个相等的代数式，最终得到一个含有未知数的等式， 又∵含有未知数的等式叫做方程， ∴“天元术”对应我们所学的方程． 2. 下列哪个是二元一次方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1，根据二元一次方程的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A： 是整式方程，含有两个未知数和，含未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，故A选项符合题意； 选项B： 中，项的次数为2，不是二元一次方程，故B选项不符合题意； 选项C： 只含有一个未知数，是一元一次方程，不是二元一次方程，故C选项不符合题意； 选项D： 只含有一个未知数，且未知数最高次数为，不是二元一次方程，故D选项不符合题意． 3. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形． （教材90页练习改编） 4. 如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（ ） A. 2米 B. 3米 C. 10米 D. 14米 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边解答即可； 【详解】解：∵在中，米，米， 根据三边关系可得： ， 则，即， 对比选项，只有10米符合该范围． （教材141页图9.3.7） 5. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转角，根据角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴旋转角为， 故选：C． 6. 是下列哪个方程的解（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将代入各选项验证，判断左右两边是否相等，同时注意分式分母不能为0，即可得到结果． 【详解】解：将代入各选项逐一验证： ∵ A选项中，左边，右边，，∴ A错误； ∵ B选项中，左边，右边，，∴ B错误； ∵ C选项中，当时，分母，分式无意义，∴ C错误； ∵ D选项中，左边，右边，左边右边，∴ D正确． 7. 如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质． 由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：C． 8. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a、b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为80的纸条，则图中叠合部分的长是（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：由题意可知，解得， ∴重叠部分的长为. （教材89页练习3改编） 9. 如图，在中，，，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形的外角性质，可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 10. 规定：对于任意有理数与，满足，譬如，．若有理数满足，则的值为（ ） A. 24或4 B. 6或24 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意分为两种情况，①当时，，②当时，，解一元一次方程，符合题意的值即为所求． 【详解】解： 若， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：（舍去)． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出二元一次方程的一个整数解_______________． 【答案】（答案不唯一，无数个整数解，满足即可） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的整数解．解题关键是理解二元一次方程解的意义，选取一个整数作为其中一个未知数的值，代入计算得到另一个未知数的整数值即可． 【详解】解：令，代入方程，得 ， 解得 ， ∴二元一次方程的一个整数解为（答案不唯一）． （教材100页7-3） 12. 凸六边形的对角线条数为_____条． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，根据n边形有条对角线进行求解即可． 【详解】解：凸六边形的对角线条数为条， 故答案为：9． （教材60页第7题） 13. 已知和都是关于的不等式的解，则的值可能是____________________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，大于即可） 【解析】 【分析】先求解原不等式得到的解集，再根据和都是原不等式的解，得到关于的不等式，解出的取值范围后任写一个范围内的值即可. 【详解】解：解不等式， 移项得， 和都是关于的不等式的解， ， 移项解得：， 的值可以为（答案不唯一）． 14. 如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【解析】 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且， ∴， ∴， ∴． （教材142页做一做） 15. 如图，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点P，．研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次得到的，则这个旋转中心是图中的点_______________，旋转角可以用含的代数式表示为_______________． 【答案】 ①. P ②. 【解析】 【分析】根据轴对称的性质，连续两次轴对称变换，若对称轴相交，则等效于绕交点旋转，旋转角等于两对称轴夹角的2倍． 据此进行解答即可． 【详解】解：由题意，点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点，根据轴对称的性质得到，，， ∴， ∴点绕点旋转得到点，即旋转中心是图中的点； 由图可知：， ∴旋转角. ∵旋转角记为， ∴． 三、解答题（共75分） （1）（教材18页1-1）（2）（教材69页5-4） 16. 计算 （1）解方程：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为得，； 【小问2详解】 解：去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为得，． 17. 小甲和小乙两人共同解方程组．小乙看错了方程①中的a，得到方程组的解是，小甲看错了方程②中的b，得到方程组的解是． （1）求a、b的值； （2）求此方程组的正确解． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意代入列方程求解即可； （2）代入a、b的值再解方程组即可； 【小问1详解】 解：据题意得，满足方程②，满足方程①， 分别代入得，，解得， ，解得． 综上，，． 【小问2详解】 解：方程组为， 得：，即， 将代入①得：， 则方程组的解为． （教材121页第4、5题，124页第3题） 18. 如图，请在图①中作出的内角平分线，在图②中作出的边上的中线，在图③中作出的边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作线段用实线） 【答案】由题意，作图如下，即为所求. 【解析】 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （2）利用尺规作垂线的方法确定中点，连接即可； （3）利用尺规作垂线的方法作图即可. 【详解】略 19. 已知关于x、y的方程组 （1）求这个方程组的解；（用含m的代数式表示） （2）若（1）中求得的解满足x为非正数，y为负数． ①求m的取值范围； ②若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，直接写出m的整数值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）①根据x为非正数，y为负数列不等式组求解即可； ②根据系数化为1时不等号方向改变得出，结合①中求得的m的取值范围写出m的整数值即可． 【小问1详解】 解：， ，得， 解得， 把代入①，得 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①∵方程组的解满足x为非正数，y为负数， ， ； ②∵不等式的解为， 的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ， ， ∵， ， 又为整数， ． 20. 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】（1）种文创产品每件的进价为元 （2）小张最多可以购进50件种文创产品 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； 【小问2详解】 设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． （教材92页第5题） 21. 小雯做作业时遇到这样一个题目：如图， ，点A，B分别是射线，上的动点，平分，平分．当点A，B在，上运动时，的大小是否变化？请说明理由． 小雯想了许久，对于求的度数没有思路，就去请教好朋友小溪，小溪给了她下面的提示． （1）填空：以上提示中① ；② ． （2）请参考提示，帮助小雯写出完整的解答过程． 【答案】（1）①；② （2）的大小不变化，见解析 【解析】 【分析】（1）①根据直角三角形两锐角互余可得；②由，可得； （2）根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理可得． 本题主要考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， ． 故答案为：①；② 【小问2详解】 解：的大小不变化.理由： ， ， ，， ， ， 平分，平分， ， ， ， 在中，， 的大小不变化． 22. 如图，在四边形中．，E、F分别是、上的点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，交于点G． （1）请直接写出图中一对相等的角：____________________；（写出一对即可，不再添加其它字母和线条） （2）若中有两个内角相等，请求出的度数． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）的度数是或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，进行作答即可； （2）分，和三种情况，进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵折叠， ∴； 【小问2详解】 解：设，则由翻折知， ①当时，由三角形内角和定理得 ， 在四边形中，由内角和为得： ， ， ， 解得：； ②当时，由翻折知， ， ， ， 这与题意“”不符， ； ③当时，同理有：， ， ，解得：． 综上，的度数是或． 23. 【阅读·领会】怎样判断两条直线是否平行？ 如图①，很难看出直线a、b是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”． 在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”． 事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题． 【实践·体悟】 （1）若，则__________．（引入“辅助元”或“整体代换”计算） （2）如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明． 【创造·突破】 （3）若，，则__________； （4）若关于x、y的方程组的解是则关于x、y的方程组的解是__________． （5）如图③，，，．我们把大于平角的角称为“优角”，如果优角，那么优角__________． 【答案】（1）2026 （2）证明：延长交于点F，如图所示： 是的外角， ， 又， ， ； （3） （4） （5）250 【解析】 【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可； （2）延长交于点F，利用三角形的外角的性质，结合已知条件得到，即可得证； （3）两式相加后，即可得出结果； （4）换元法求出方程组的解即可； （5）连接，根据多边形的内角和公式，三角形的内角和定理，周角的定义，进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， 两式相加得：； 【小问4详解】 解：方程组可化为， ∵关于x、y的方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴方程组的解为； 【小问5详解】 解：连接，则六边形的内角和为， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴优角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期期末质量评估检测 七年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分．）（下列各小题只有一个答案是正确的．） 1. 宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（ ） A. 绝对值 B. 有理数 C. 代数式 D. 方程 2. 下列哪个是二元一次方程（ ） A. B. C. D. 3. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. （教材90页练习改编） 4. 如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（ ） A. 2米 B. 3米 C. 10米 D. 14米 （教材141页图9.3.7） 5. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 是下列哪个方程的解（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a、b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为80的纸条，则图中叠合部分的长是（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 100 （教材89页练习3改编） 9. 如图，在中，，，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 10. 规定：对于任意有理数与，满足，譬如，．若有理数满足，则的值为（ ） A. 24或4 B. 6或24 C. 4 D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出二元一次方程的一个整数解_______________． （教材100页7-3） 12. 凸六边形的对角线条数为_____条． （教材60页第7题） 13. 已知和都是关于的不等式的解，则的值可能是____________________．（写出一个即可） 14. 如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； （教材142页做一做） 15. 如图，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点P，．研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次得到的，则这个旋转中心是图中的点_______________，旋转角可以用含的代数式表示为_______________． 三、解答题（共75分） （1）（教材18页1-1）（2）（教材69页5-4） 16. 计算 （1）解方程：； （2）解不等式：． 17. 小甲和小乙两人共同解方程组．小乙看错了方程①中的a，得到方程组的解是，小甲看错了方程②中的b，得到方程组的解是． （1）求a、b的值； （2）求此方程组的正确解． （教材121页第4、5题，124页第3题） 18. 如图，请在图①中作出的内角平分线，在图②中作出的边上的中线，在图③中作出的边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作线段用实线） 19. 已知关于x、y的方程组 （1）求这个方程组的解；（用含m的代数式表示） （2）若（1）中求得的解满足x为非正数，y为负数． ①求m的取值范围； ②若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，直接写出m的整数值． 20. 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ （教材92页第5题） 21. 小雯做作业时遇到这样一个题目：如图， ，点A，B分别是射线，上的动点，平分，平分．当点A，B在，上运动时，的大小是否变化？请说明理由． 小雯想了许久，对于求的度数没有思路，就去请教好朋友小溪，小溪给了她下面的提示． （1）填空：以上提示中① ；② ． （2）请参考提示，帮助小雯写出完整的解答过程． 22. 如图，在四边形中．，E、F分别是、上的点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，交于点G． （1）请直接写出图中一对相等的角：____________________；（写出一对即可，不再添加其它字母和线条） （2）若中有两个内角相等，请求出的度数． 23. 【阅读·领会】怎样判断两条直线是否平行？ 如图①，很难看出直线a、b是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”． 在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”． 事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题． 【实践·体悟】 （1）若，则__________．（引入“辅助元”或“整体代换”计算） （2）如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明． 【创造·突破】 （3）若，，则__________； （4）若关于x、y的方程组的解是则关于x、y的方程组的解是__________． （5）如图③，，，．我们把大于平角的角称为“优角”，如果优角，那么优角__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $