精品解析：河南省驻马店市实验中学教育集团2025-2026学年七年级下学期期末测评数学试卷

2025－2026学年下学期七年级（下）数学期末试卷 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，为直角，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （3）相等的两个角是对顶角； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这点到直线的距离． 其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 8. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小橙的行驶时间为 B. 小橙的速度为 C. 小橙比小绿先出发 D. 小橙比小绿晚到达居民位置 10. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，过点P作，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题，每题3分） 11. 计算_____． 12. 谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是________． 13. 如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为______秒时，和全等． 14. 如图，在中，，按以下步骤作图： ①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和F； ②作直线，分别交，于点D，M； ③连接，以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G，连接，则的度数为_____． 15. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动路程为x，的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①；②；③当时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段或上，其中所有正确结论的序号的是________． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 计算 （1）先化简，再求值：，其中． （2）．（用乘法公式进行计算） 17. 完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：， ① （ ② ） ， ③ （ ④ ）． 即． ， ， ⑤ ． ⑥ （ ⑦ ） 又， （ ⑧ ）． 18. 主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300 自觉佩戴头盔人数/人 171 216 266 250 228 285 自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m （1）表格中______； （2）由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 （结果精确到0.01） （3）若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？ 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格格点上）． （1）在图中画出关于直线对称的（要求：点，，分别与点，，相对应）； （2）在（1）的结果下，连接，求四边形的面积； （3）在直线上找一点，使的长度最短，并在图中画出最短路径． 20. 如图是小西骑自行车离家的距离与时间之间的关系． （1）在这个变化过程中自变量是___________，因变量是___________； （2）小西_______时到达离家最远的地方，此时离家________； （3）问小西几时与家相距？ 21. 如图，在中，． （1）作角平分线CD，交AB于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）已知在BC边上有一点E，且，，连接DE，若，求的度数． 22. 观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； （2）若是“共生有理数对”，且，求的值； （3）若是“共生有理数对”，且，求的值． 23. 数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： （1）在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年下学期七年级（下）数学期末试卷 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项逐项判断即可． 【详解】解A．根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，故A错误； B．根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，故B正确； C．根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积，可得，故C错误； D．与不是同类项，不能合并，故D错误． 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，科学记数法表示为，其中，为整数，对于小于1的小数，为负，其绝对值等于小数点向右移动的位数． 【详解】解：的小数点向右移动6位得到，即，且， 故选：A． 4. 如图，直线，为直角，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线和熟悉平行线的性质是解题的关键． 过作，可得，根据平行线的性质得出，，求出，即可求出答案． 【详解】解：如图：过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，为直角， ∴，， ∴， 故选：B． 5. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式：概率等于所求事件的结果数除以所有等可能结果的总数即可计算． 【详解】解：∵从5位数学家中随机选取一位，所有等可能的结果共有5种， 其中赵爽被选中的结果只有1种， ∴赵爽被选中的概率为． 6. 给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （3）相等的两个角是对顶角； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这点到直线的距离． 其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】正确理解对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离的概念，逐一判断． 【详解】解：（1）同位角只是一种位置关系，只有两条直线平行时，同位角相等，错误； （2）强调了在平面内，正确； （3）不符合对顶角的定义，错误； （4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离，正确理解相关概念是解题的关键． 7. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、水涨船高，是必然事件，不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 8. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 9. 随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小橙的行驶时间为 B. 小橙的速度为 C. 小橙比小绿先出发 D. 小橙比小绿晚到达居民位置 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，正确地从图象上获取信息是关键． 根据一次函数的性质，结合函数图象对选项依次进行判断即可． 【详解】解：从图象上可知，小橙比小绿先出发，故C正确； 总路程为，小绿的行驶速度为， ∴小绿的行驶时间为， ∴， 由图象可知，当时，， ∴小橙的行驶速度为，故B错误； 小橙行驶时间为，故A错误； 小橙比小绿晚到达，故D错误． 故选：C． 10. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，过点P作，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作于D，由角平分线的性质定理可得，即可判断①、③；首先，证得，再证得，得出，同理可得，从而得出，进而可得，即可判断；由全等三角形的性质可以判断④． 【详解】解：①过点P作于D， ∵平分，平分，，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①、③正确； ②∵，， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ④由②可知， ， ∴， ∴，故④正确． 综上， 结论中正确的个数为4个． 二．填空题（共5小题，每题3分） 11. 计算_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是________． 【答案】冰的厚度 【解析】 【分析】、根据变量与常量的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是冰的厚度． 故答案为：冰的厚度． 【点睛】本题考查了变量与常量的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 13. 如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为______秒时，和全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 由矩形的性质可得角度和线段长度，由三角形全等可得对应边相等，结合运动过程进行分类讨论，分别计算不同情形对应的运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵点在延长线上， ∴， 若，则， ∴运动时间， 若，则， ∴运动时间， 故答案为：或． 14. 如图，在中，，按以下步骤作图： ①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和F； ②作直线，分别交，于点D，M； ③连接，以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G，连接，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线， ，， ， ， 由作图可知：， ， ， 故答案为：． 15. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动路程为x，的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①；②；③当时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段或上，其中所有正确结论的序号的是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先结合图①由图2为等腰梯形可得a的值，则可求得与的值；再根据三角形的面积公式可得b的值；然后结合图形可知当时，点P运动到点D处；最后根据图1及图2中的b值，可得当时，点P在线段或上，从而问题得解． 【详解】解：动点P从点B出发，沿的路径匀速运动， ∴图2为等腰梯形， ，故①正确； ， 在矩形中，， ，故②错误； 点P运动的路程为x，当时， ， 时，点P运动到点D处，故③正确； ， 在图2中等腰梯形的两腰上分别存在一个y值等于， 结合图1可知，当时，故④正确； 综上，正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，明确矩形的性质、数形结合并分段讨论是解题的关键． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 计算 （1）先化简，再求值：，其中． （2）．（用乘法公式进行计算） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式， 当时，原式； 【小问2详解】 解：． 17. 完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：， ① （ ② ） ， ③ （ ④ ）． 即． ， ， ⑤ ． ⑥ （ ⑦ ） 又， （ ⑧ ）． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】根据两条直线平行，内错角相等可得，再根据两条直线垂直，夹角为可得，由等量代换可得，进而证明，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得． 【详解】证明：， （两条直线平行，内错角相等）， ， （垂线的定义）． 即． ， ， ． （内错角相等，两条直线平行） 又， （平行于同一条直线的两条直线平行）． 18. 主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300 自觉佩戴头盔人数/人 171 216 266 250 228 285 自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m （1）表格中______； （2）由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 （结果精确到0.01） （3）若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？ 【答案】（1）0.95 （2）0.95 （3）950人 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求数量： （1）直接利用频数除以总数进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）总数乘以概率即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：0.95； 【小问2详解】 由表格可知：经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.95； 故答案为：0.95； 【小问3详解】 （人）． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格格点上）． （1）在图中画出关于直线对称的（要求：点，，分别与点，，相对应）； （2）在（1）的结果下，连接，求四边形的面积； （3）在直线上找一点，使的长度最短，并在图中画出最短路径． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质、线段的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，利用割补法计算即可． （3）连接，交直线l于点P，则点P和最短路径即为所求． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 连接，四边形的面积为； 【小问3详解】 如图，连接，交直线l于点P，此时的长度最短，为线段的长，则点P和最短路径即为所求． 20. 如图是小西骑自行车离家的距离与时间之间的关系． （1）在这个变化过程中自变量是___________，因变量是___________； （2）小西_______时到达离家最远的地方，此时离家________； （3）问小西几时与家相距？ 【答案】（1）离家时间，离家距离 （2）2，30 （3）1.5或4 【解析】 【分析】本题考查函数图象获取信息，看懂图象，数形结合求解是解决问题的关键． （1）根据题中小西骑自行车离家的距离与时间之间的关系即可得到答案； （2）根据题中小西骑自行车离家的距离与时间之间的关系得到，当时，即可得到答案； （3）由图象可知，分离家与返家两种情况求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题中图象可知，在这个变化过程中自变量是离家时间，因变量是离家距离， 故答案为：离家时间，离家距离； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，， 即小西时到达离家最远的地方，此时离家， 故答案为：2，30； 【小问3详解】 解：如图所示： 设所在直线的表达式为， 将、代入表达式可得 ， 解得， 所在直线的表达式为， 当时，，解得； 在返回过程中，当时，； 综上所述，小西1.5或4与家相距． 21. 如图，在中，． （1）作角平分线CD，交AB于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）已知在BC边上有一点E，且，，连接DE，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，射线CD即为所求； （2）36° 【解析】 【分析】（1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）连接DE，利用已知条件可以证明△ADC≌△EDC（SAS），所以AD=DE，∠DEC=∠A=72°，得到∠B=∠BDE，再利用三角形外角的性质，即可求得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接DE， ∵ CD平分∠ACB ∴∠ACD=∠ECD 在△ADC和△EDC中， ∴△ADC≌△EDC（SAS） ∴AD=DE，∠DEC=∠A=72° ∵ ∴ ∴∠B=∠BDE ∵∠DEC是△BDE的一个外角 ∴∠DEC=∠BDE+∠B=2∠B ∴∠B=∠DEC=36° 【点睛】本题考查了基本作图 —— 角平分线的作图，三角形的全等的证明等知识，题目难度不大，关键在于找到正确的解题思路． 22. 观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； （2）若是“共生有理数对”，且，求的值； （3）若是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】（1）不是，理由见详解 （2）64 （3）16 【解析】 【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对是否为“共生有理数对”； （2）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值； （3）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值； 本题考查新定义，已知式子的值求代数式的值，幂的乘方，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【小问1详解】 解：不是“共生有理数对”， 理由：，， 不是“共生有理数对”； 【小问2详解】 是“共生有理数对”，且， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：∵是“共生有理数对”，且， ∴， ∴， 则． 23. 数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： （1）在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . 【小问2详解】 解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $