29.2.3.2 圆内接四边形 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆内接四边形的定义、对角互补性质及外角等于内对角的推论，通过圆形人工湖休息亭角度计算的实际问题导入，衔接圆周角知识，搭建从生活情境到数学抽象的学习支架，引导学生探究角的关系。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，用问题驱动激发探究欲，如导入问题让学生发现生活中的数学联系。探究过程注重数学思维培养，通过猜想、证明推导性质，例题练习结合模型意识和综合应用，帮助学生提升推理能力和应用意识，教师可借助清晰流程和多样例题提高教学效果。

29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 人教版 九年级 数学（上） 第29章　圆 第2课时　圆内接四边形 新课导入 如图，在这个圆形人工湖边上造4个休息亭(即A，B，C，D)，用仪器测得∠A＝75°，∠B＝65°，能求出另两个角∠C和∠D的度数吗？需要哪些数据可以求该圆形人工湖的直径？ 2 探究新知 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为? ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º. 如何证明你的猜想呢？ 思考 ∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α， 同理， 证明:连接 OB，OD． ∴ ∠A+ ∠C= （ ∠α + ∠β ）=180 ∴ ∠A= ∠β， ∠C = ∠α 又∵ ∠α+∠β=360 ∴ ∠B+ ∠D=180 α β 圆的内接四边形的性质： 圆的内接四边形的对角互补. 归纳总结 C O D B A ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， E ∵∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ 思考 推论： 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. C O D B A E 知识归纳 1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作______________，这个圆叫作这个多边形的__________． 2．圆内接四边形的对角________． 圆内接多边形 外接圆 互补 例 1 例题与练习 如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若BOD =100，求A和C的度数。 解：在⊙O中A与BOD所对的弧都是BD ︵ A=BOD== 50 又四边形ABCD是 ⊙O的内接四边形 C+A=0 C=0 例 2 在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数． 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°，即3x＋7x＝180°， ∴x＝18°， ∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°. 又∵∠B＋∠D＝180°， ∴∠D＝180°－36°＝144°. 例 3 如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC＝BC. 求证：DC平分∠BDE. 证明：∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDA＋∠ABC＝180°. 又∵∠3＋∠CDA＝180°， 又∵AC＝BC， ∴∠3＝∠ABC. ∴∠1＝∠ABC， ∴∠1＝∠3. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， 即DC平分∠BDE. 1. 如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD把它的 4 个内角分成 8 个角，这些角中哪些相等？为什么？ 解：∠1 = ∠4， ∠3 = ∠6， ∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8. 理由：同弧所对的圆周角相等. 2. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，E 为 CB 延长线上一点. 若∠D = 110°，求∠ABE 的度数. 解： ∠ABE = 110°. 3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=AD.若C=78°，求ABD的度数. 解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形 C=110°（圆内接四边形的对角互补） 又 C=78° =180°-78°=102° △ABD 为等腰三角形， BD= △ABD BD===39 答： BD的读数为39 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC等于 (　　) A．45° B．50° 　C．60° 　D．75° 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为____． C 128° 6．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A的度数． 解：∵在△BCD中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°， ∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝130°. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＝180°－∠C＝50°. 课堂小结 圆内接 四边形 圆内接四边形的对角互补 随堂检测 1.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB= ，∠ADB= . D A O C B 130° 50° 80° 2.如图，四边形𝑨𝑩𝑪𝑫内接于⊙𝑶 ，∠𝑩= 𝟏𝟎𝟎°，则∠𝑫的度数为_______. 作业布置 完成对应课时练习． $