30.1.2 切线 课件 2026-2027 学年九年级上册人教版数学

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦“切线长定理”，以“过圆外一点作圆的切线”探究为起点，通过问题情境引发思考、操作尝试总结方法，进而概括切线长概念与定理，结合基本图形分析、教材例题及变式训练，形成完整学习支架。 资料注重核心素养培养，通过作图探究发展几何直观与空间观念，定理推导强化推理能力，例题变式提升应用意识。如“过圆外一点作切线”操作依据直径所对圆周角为直角，切线长定理基本图形含角平分线、等腰三角形及垂直关系，助力学生深化理解，为教师教学提供清晰逻辑与丰富实例。

30.1.2 第 1 课时 切线的性质和判定 第三十章　直线与圆的位置关系 30.1 1 探究与应用 操作尝试 如图30-1-7,直线CD与☉O相切于点A.连接O,A两点,得到过切点A的半径OA. 问题1　请通过观察或测量,猜想∠OAD的度数,并说明OA与切线CD有怎样的位置关系. 解:∠OAD的度数为90°,OA⊥CD. 活动1　理解并掌握切线的性质定理 图30-1-7 2 问题2　如何验证问题1中OA与切线CD的位置关系? 解:如图,设P为直线CD上不同于点A的点. ∵直线CD与☉O只有一个公共点A, ∴点P在☉O外, 从而OP>OA,即半径OA是圆心O与直线CD上的点的最短连线. 因此,半径OA与直线CD垂直. 请用反证法对问题1中OA与切线CD的位置关系进行证明. 推理证明 证明:假设OA与切线CD不垂直,过点O作OQ⊥CD,垂足为Q,如图, 则OQ<OA. ∵OA是☉O的半径, ∴圆心O到直线CD的距离小于☉O的半径, ∴直线CD与☉O相交,与直线CD与☉O相切相矛盾, ∴假设不成立,∴OA⊥CD. 4 切线的性质:圆的切线　 　　　过切点的半径.  概括新知 垂直于 5 (教材补充例题)如图30-1-8,AB为☉O的直径,PQ与☉O相切于点E,AC⊥PQ于点C.求证:AE平分∠BAC. 理解应用 例 1 图30-1-8 证明:连接OE. ∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAE. ∵PQ与☉O相切于点E, ∴OE⊥PQ. 又AC⊥PQ, ∴OE∥AC, ∴∠OEA=∠EAC, ∴∠OAE=∠EAC,即AE平分∠BAC. 图30-1-8 利用圆的切线的性质时常见的辅助线的作法 已知圆的切线时,经常连接圆心和切点,得到半径垂直于切线,通过构造直角三角形解决问题,即“见切点,连半径,得垂直”. 得 锦囊 8 问题1　如图30-1-9,若直线l过半径OA的外端点A,且l⊥OA,那么直线l是☉O的切线吗? 活动2　理解并掌握切线的判定定理 问题情境 解:直线l是☉O的切线. 图30-1-9 9 判定圆的切线的“三种方法” (1)定义法:与圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线; (2)数量关系法(d=r):到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线; (3)判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 学 方法 10 问题2　已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点作圆的切线?能作几条? 解:首先连接圆上这点和圆心得半径,再过圆上这点作半径的垂线,这条垂线就是圆的切线.能作一条. 切线的判定定理:经过半径的　　　　并且　　　　这条半径的直线是圆的切线.  概括新知 外端 垂直于 12 证切线时辅助线的添加方法 (1)有交点,连半径,证垂直; (2)无交点,作垂直,证半径. 得 锦囊 13 (教材典题)如图30-1-10,AB是☉O的弦,PA是☉O的切线,PA= PB.求证:PB是☉O的切线. 例 2 图30-1-10 理解应用 14 证明:连接OA,OB,OP. ∵PA与☉O相切于点A, ∴PA⊥OA,即∠PAO=90°. ∵PA=PB,OA=OB,OP=OP, ∴△PAO≌△PBO, ∴∠PBO=∠PAO=90°,∴PB⊥OB. 这样,PB经过☉O的半径OB的外端点B,并且垂直于半径OB, ∴PB是☉O的切线. 图30-1-10 15 | 认知逻辑 | 课堂小结与检测 16 | 课堂检测 | 1.如图30-1-11,MN是☉O的切线,M是切点,连接OM,ON.若∠N=38°,则∠MON的度数为 (　　) A.38° B.42° C.52° D.62° 图30-1-11 C 2.如图30-1-12,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4.若以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为 (　　) A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6 图30-1-12 B 3.如图30-1-13,AB是☉O的直径,AC是☉O的弦,过点C作☉O的切线与AB的延长线交于点D.若∠A=30°,求证:AC=CD. 图30-1-13 证明:连接OC. ∵CD与☉O相切, ∴OC⊥CD,即∠OCD=90°. ∵OC=OA,∴∠OCA=∠A=30°, ∴∠COD=∠A+∠OCA=60°, ∴∠D=30°=∠A,∴AC=CD. 4.如图30-1-14,直线AB经过☉O上的点C,且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线. 图30-1-14 证明:连接OC. ∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB. 又∵OC是☉O的半径, ∴直线AB是☉O的切线. $30.1.2 第 2 课时 切线长定理 第三十章　直线与圆的位置关系 30.1 1 探究与应用 活动1　过圆外一点作圆的切线 如图30-1-15,已知P是☉O外一点,如何过点P作☉O的切线? 问题情境 图30-1-15 2 因为两点确定一条直线,并且所求作的直线过点P且与☉O相切,所以需在☉O上确定一点A,满足OA⊥AP,即∠OAP=90°.由此可知,点O,P,A可以确定一个圆,OP是这个圆的直径.因此以OP为直径作圆,该圆与☉O的交点即所要确定的点. 引发思考 如图30-1-16,用直尺和圆规作出过点P的☉O的切线. 略 操作尝试 图30-1-16 利用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线的依据是直径所对的圆周角是直角和经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 记 关键 5 过圆外一点作圆的切线的方法: (1)以圆外一点与圆心之间的线段为　 　作圆,与圆相交于两点;  (2)连接　　　　　　　　　　　,得到两条直线,这两条直线即为圆的切线.  直径 概括新知 圆外一点与这两个交点 如图30-1-17,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B,过点O,P作直线OP.线段PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系? 活动2　理解切线长的概念,掌握切线长定理 问题情境 图30-1-17 PA=PB　∠APO=∠BPO 7 切线长定理的基本图形 如图,PA,PB为☉O的切线,此图形中含有: ①一条特殊的角平分线(OP平分∠AOB,PO平分∠APB); ②两个等腰三角形(△PAB,△OAB); ③三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB). 记 模型 8 1.切线长的概念:经过圆外一点的圆的切线上,这点和　　　　之间线段的长,叫作这点到圆的切线长.  2.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的　　　　相等,并且这一点和圆心的连线平分　　　　　　　　　.  切点 概括新知 切线长 两条切线的夹角 (教材典题)如图30-1-18,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点,连接AB,若∠APO=30°,OP=2,求△PAB的周长. 理解应用 例 图30-1-18 3 变式 已知:如图30-1-19所示,PA,PB是☉O的切线,切点分别是A,B, Q为上一点,过点Q作☉O的切线,分别交PA,PB于点E,F.已知PA= 12 cm,∠P=70°. 求:(1)△PEF的周长; (2)∠EOF的度数. (1)24 cm 图30-1-19 (2)55° | 认知逻辑 | 课堂小结与检测 12 | 课堂检测 | 1.如图30-1-20,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,下列结论中错误的是 (　　) A.PA=PB B.∠OPA=∠OPB C.OP垂直平分AB D.∠APB=60° D 图30-1-20 2.如图30-1-21,已知AB为☉O的直径,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°,则∠P的度数为　　　　.  图30-1-21 60° 3.如图30-1-22,PA与☉O相切于点A,PB与☉O相切于点B,∠APB= 90°,OP=4,求☉O的半径长. 2 图30-1-22 $