第11讲 等腰三角形的轴对称性（二）（4个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第11讲 等腰三角形的轴对称性（二）（4个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【例1】（2023秋•无锡期末）已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•靖江市校级期中）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为　　 A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【变式2】（2024•雨花台区模拟）如图，在中，，点、分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为 　　． 【变式3】（2022秋•如东县期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 知识点2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【例2】（2022秋•启东市校级月考）如图，在中，，，平分，，则图中共有等腰三角形　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（2023秋•丹阳市期末）如图， 在的正方形网格中， 点、在格点上， 要找一个格点，使是以为腰的等腰三角形， 则图中符合条件的格点有　 　个 ． 【变式2】（2023秋•青铜峡市期末）在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知、是两个格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么点的个数是　　． 【变式3】（2022秋•淮安区期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）　　（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 知识点3．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【例3】（2023秋•姑苏区校级月考）如图，在中，，为的中点，连接，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021秋•泗洪县期中）如图，在中，，，、的平分线相交于点，过点，且，分别交、于点、．则的周长为　　． 【变式2】（2023秋•锡山区校级月考）如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于，交于，若，则的周长为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3】（2023秋•亭湖区校级期末）已知：如图，为的外角平分线上的一点，，，求证： （1）是等腰三角形； （2）． 知识点4．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【例4】（2023秋•宿迁期末）如图，在中，，，是的中点，则　36　． 【变式1】（2023秋•桐柏县期末）如图，在中，是上的一点，，，分别是，的中点，，则的长是　　 A．3． B．4 C．5 D．6 【变式2】（2023秋•泗洪县期末）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为 　　． 【变式3】（2023秋•宿迁期末）如图，在和中，，，是的中点． （1）求证：； （2）若，，求． 经典题型汇编 题型一、根据等角对等边证明等腰三角形 1．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB，AC于M，N，则的周长为 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，于点C，E为上一点，连接的延长线交于点F，已知． (1)求证：； (2) _____；（填位置关系，这个结论可以直接用于证明过程） (3)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明：已知：如图，在中，，求证：． 题型二、直线上与已知两点组成等腰三角形的点 4．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线 相交于点A，点B是直线外一点，在直线 上找一点C，使 为一个等腰三角形．满足条件的点C有 个． 6．（20-21八年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点．若坐标系内两个整点A(p，q)、B(m，n)(m≤n)满足关于x的多项式能够因式分解为，则称点B是A的分解点．例如A(3，2)、B(1，2)满足，所以B是A的分解点． （1）在点A1(5，6)、A2(0，3)、A3(－2，0)中，请找出不存在分解点的点 ； （2）点P、Q在纵轴上（P在Q的上方），点R在横轴正半轴上，且点P、Q、R都存在分解点，若PQR面积为6，请直接写出满足条件的PQR的个数及每个三角形的顶点坐标； （3）已知点D在第一象限内，D是C的分解点，请探究OCD是否可能是等腰三角形？若可能，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不可能，请说明理由． 题型三、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 7．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 8．（19-20八年级上·江苏·阶段练习）△ABC为等边三角形，在平面内找一点P，使△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则这样的点P的个数为 ． 9．（19-20八年级上·江苏连云港·期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动　 　秒后，△AMN是等边三角形？ （2）点M、N在BC边上运动时，运动　 　秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？ （3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由． 题型四、作等腰三角形（尺规作图） 10．（20-21八年级上·江苏无锡·期中）一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（  ） A．50 B．50或40或20 C．50或30或20 D．50或40或30 11．（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ． 12．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 题型五、等腰三角形的性质和判定 13．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点D、E．若，则的周长是 15．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长． 题型六、等腰三角形的定义 16．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）等腰三角形一边长为6，周长为15，则它的腰长为（    ） A．3 B．6 C．3或6 D．6或 17．（23-24八年级上·江苏南通·期中）等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为 ． 18．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，四边形中，，，，．回答下列问题： (1)在四边形的边上点除外，是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，这样的点共有个． (2)现有，其两边分别与、交于点、，连接．将绕着点旋转，使得、始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 试题练习 一、单选题 1．（2023八年级上·江苏·专题练习）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（　　） A．75° B．15° C．75°或15° D．30° 2．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，在y轴上确定点B，使为等腰三角形，符合条件的点B共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，正方形网格中A、B是两个格点，若是以为底边的等腰三角形，则符合条件的格点C有（    ）    A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 5．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．27 C．16或27 D．21或27 6．（22-23八年级上·江苏连云港·期末）如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（八年级·江苏徐州·期末）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 9．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有(   ) A．种 B．种 C．种 D．种 10．（八年级上·江苏镇江·阶段练习）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，E是的中点，平分，则下列说法正确的有（    ）    ①；②平分；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）若一个等腰三角形两边长分别为，则其周长为 ． 12．（20-21八年级上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，等腰三角形AOB 的顶点A的坐标为（2，2），底为OA，且B在坐标轴上，则B的坐标为 ． 13．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分，且，点为边中点，，则的面积为 ． 14．（20-21八年级上·江苏淮安·期中）如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 15．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，过点作交，于点，，当，时，的长为 ． 16．（21-22八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，过点O作DE∥BC交AB、AC于D、E，若AB＝7，AC＝5，则△ADE的周长为 ． 17．（八年级上·江苏扬州·期末）△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE= ． 18．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形其中正确的有 填入序号 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，A、B、C三点在同一条直线上，．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 20．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在 中， ，点D、E分别在上，，、相交于点 O．    (1)求证： (2)连接， 求证： 21．（八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知直线m⊥直线n于点O，点A到m、n的距离相等，在直线m或n上确定一点P，使△OAP为等腰三角形．试回答： （1）符合条件的点P共有 个； （2）若符合条件的点P在直线m上，请直接写出∠OAP的所有可能的度数． 22．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，直线经过点，且与平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线l上作出一点P，使得； (2)如图②，在直线上作出所有的点，使得． 23．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图（1）中，E为上一格点，点D为上任一点，先将线段向右平移得到线段、画出线段，再在上画点G，使； (2)在图（2）中，先作线段的中点D，再在线段上作点E，使． 24．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 （1）在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值 （按从小到大写）； （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和 DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值 ． 25．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．        B．        C．       D．     （2）求得的取值范围是（  ） A．     B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”和“中线’字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 26．（19-20八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，A(0, 4),B(t,0)分别在y轴,x轴上，连接AB,以AB为直角边分别作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ABC.直线BC交y轴于点E.点G(-2,3)、H(-2,1)在第二象限内.    (1)当t=-3时，求点D的坐标. (2)若点G、H位于直线AB的异侧，确定t的取值范围. (3)①当t取何值时，△ABE与△ACE的面积相等. ②在①的条件下，在x轴上是否存在点P,使△PCB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 等腰三角形的轴对称性（二）（4个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【例1】（2023秋•无锡期末）已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：一个等腰三角形的顶角等于， 且等腰三角形的底角相等， 它的底角， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等是解决问题的关键． 【变式1】（2022秋•靖江市校级期中）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为　　 A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【分析】首先根据求得、的值，然后求得等腰三角形的周长即可． 【解答】解：， ， 解得：， 当为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8； 当为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论． 【变式2】（2024•雨花台区模拟）如图，在中，，点、分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为 　　． 【分析】过点作，交的延长线于点，利用已知条件证明，得到，然后分别在，，中利用勾股定理求出，列方程求出，最后求出． 【解答】解：过点作，交的延长线于点，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， 在中， 由勾股定理，得，， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 在中， 由勾股定理，得， 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，通过作辅助线构造直角三角形，将已知条件集中起来是解题的关键． 【变式3】（2022秋•如东县期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知 （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出的值． 【解答】解：（1）连接， 垂直平分 是的中点 （2）设 由三角形的外角的性质， 在三角形中， 【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，本题属于中等题型． 知识点2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【例2】（2022秋•启东市校级月考）如图，在中，，，平分，，则图中共有等腰三角形　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据三角形内角和定理求出，求出，求出，根据平行线的性质得出，，，推出，即可． 【解答】解：，， ， 平分， ， ， ， ，，， ，， 、、、、都是等腰三角形，共5个， 故选：． 【点评】本题考查了角平分线性质、平行线性质、三角形内角和定理，三角形外角性质，以及等角对等边的性质等知识点的应用，题目比较好，难度适中． 【变式1】（2023秋•丹阳市期末）如图， 在的正方形网格中， 点、在格点上， 要找一个格点，使是以为腰的等腰三角形， 则图中符合条件的格点有　 5 　个 ． 【分析】首先由勾股定理可求得的长， 然后分别从，，去分析求解即可求得答案 ． 【解答】解： 如图， ， ①若，则符合要求的有：，，共 4 个点； ②若，则符合要求的有：，共 2 个点； 若，则不存在这样格点 ． 这样的点有 5 个 ． 故答案为： 5 ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理， 解题关键是分类的数学思想 ． 【变式2】（2023秋•青铜峡市期末）在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知、是两个格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么点的个数是　8　． 【分析】分是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与、顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，垂直平分线上的格点都可以作为点，然后相加即可得解． 【解答】解：如图，分情况讨论： ①为等腰的底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故答案为：8． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想． 【变式3】（2022秋•淮安区期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）　　（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【分析】（1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【解答】解：（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 知识点3．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【例3】（2023秋•姑苏区校级月考）如图，在中，，为的中点，连接，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据等角对等边可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， 为的中点， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式1】（2021秋•泗洪县期中）如图，在中，，，、的平分线相交于点，过点，且，分别交、于点、．则的周长为　18　． 【分析】由在中，与的平分线相交于点，过点作，易证得与是等腰三角形，继而可得的周长等于． 【解答】解：在中，、的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 同理， 的周长是：． 故答案为：18． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点． 【变式2】（2023秋•锡山区校级月考）如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于，交于，若，则的周长为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据角平分线的定义得到，，平行线的性质得到，，等量代换得到，，根据等腰三角形的判定定理得到，，即可得到结论． 【解答】解：和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 的周长为：． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，证明，是解本题的关键． 【变式3】（2023秋•亭湖区校级期末）已知：如图，为的外角平分线上的一点，，，求证： （1）是等腰三角形； （2）． 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，再根据等角对等边可得结论； （2）利用“”证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【解答】证明：（1）， ，， 为的外角平分线上的一点， ， ， ， 是等腰三角形； （2）在和中， ， ， ． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 知识点4．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【例4】（2023秋•宿迁期末）如图，在中，，，是的中点，则　36　． 【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，则等边对等角，即． 【解答】解：在中，，， ， 为线段的中点， ， ． 故答案为：36． 【点评】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 【变式1】（2023秋•桐柏县期末）如图，在中，是上的一点，，，分别是，的中点，，则的长是　　 A．3． B．4 C．5 D．6 【分析】连接．由，是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即． 【解答】解：如图，连接． ，是的中点， ． 在中， ，是的中点，， ． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键． 【变式2】（2023秋•泗洪县期末）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为 　　． 【分析】连接，，根据直角三角形斜边的中线的性质可得，过点作于点，可知的长度，根据勾股定理求出的长，即可确定的最小值． 【解答】解：连接，，如图所示： ，是对角线的中点， ，， ， ， 过点作于点， 则点是线段的中点， ， ， 根据勾股定理，得， 线段的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理等，熟练掌握直角三角形斜边的中线的性质是解题的关键． 【变式3】（2023秋•宿迁期末）如图，在和中，，，是的中点． （1）求证：； （2）若，，求． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出和即可； （2）求出，，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，，求出，，根据三角形内角和定理求出和，再求出答案即可． 【解答】（1）证明：在和中，，，是的中点， ，， ； （2）解：在和中，，，，， ，， 在和中，，，是的中点， ，， ，， ，， ． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，能熟记直角三角形斜边上中线性质是解此题的关键，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 经典题型汇编 题型一、根据等角对等边证明等腰三角形 1．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线，平行线的性质，可得是等腰三角形，将的周长转换为的长，由此即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，即， ∴的周长是， 故选：． 【点睛】本题主要考查角平分线，平行线，等腰三角形的综合，掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（21-22八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB，AC于M，N，则的周长为 【答案】6 【分析】根据BE、CE是角平分线和MN//BC可以得出MB=ME，NE=NC，继而可以得出△AMN的周长=AB+AC，从而可以得出答案． 【详解】解：∵BE，CE分别是∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠ECB， ∵MN//BC， ∴∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NCE=∠NEC， ∴MB=ME，NC=NE， ∵AB=AC=3， ∴△AMN的周长 =AM+ME+NE+AN =AM+MB+AN+NC =AB+AC =3+3 =6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出MB=ME，NE=NC是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，于点C，E为上一点，连接的延长线交于点F，已知． (1)求证：； (2) _____；（填位置关系，这个结论可以直接用于证明过程） (3)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明：已知：如图，在中，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)⊥ (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理． （1）首先证明，再根据证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等得，再证明即可得到结论． （3））利用，结合三角形的面积公式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：⊥； （3）证明：∵， ∴， ∴． 题型二、直线上与已知两点组成等腰三角形的点 4．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出图形，即可得到答案． 【详解】解：分三种情况①，②，③： 如图，①以点A为圆心，长为半径交直线于点和， ②以点B为圆心，长为半径交直线于点A和， ③线段垂直平分线与直线的交点记为点， 符合条件的点P共有4个， 故选：C． 5．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线 相交于点A，点B是直线外一点，在直线 上找一点C，使 为一个等腰三角形．满足条件的点C有 个． 【答案】8 【分析】分为两种情况：①以AB为底时，②以AB为腰时，想象画出图形，即可得出答案． 【详解】解：连接AB， 分为两种情况： ①以AB为底时，作AB的垂直平分线分别交两直线于一点，此时符合的有两个点 ； ②以AB为腰时，第一种情况：以B为圆心，以AB为半径画弧，与两直线的交点共2个（A点除外）， 第二中情况：以A为圆心，以AB为半径画弧，与两直线的交点共4个， 即满足条件的有(个)， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，分情况讨论才能做到不重不漏是解题的关键． 6．（20-21八年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点．若坐标系内两个整点A(p，q)、B(m，n)(m≤n)满足关于x的多项式能够因式分解为，则称点B是A的分解点．例如A(3，2)、B(1，2)满足，所以B是A的分解点． （1）在点A1(5，6)、A2(0，3)、A3(－2，0)中，请找出不存在分解点的点 ； （2）点P、Q在纵轴上（P在Q的上方），点R在横轴正半轴上，且点P、Q、R都存在分解点，若PQR面积为6，请直接写出满足条件的PQR的个数及每个三角形的顶点坐标； （3）已知点D在第一象限内，D是C的分解点，请探究OCD是否可能是等腰三角形？若可能，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）A2；（2）P在Q的上方，P1(0，－4)，Q1(0，－16)；当R2(3，0)时，可得P2(0，0)，Q2(0，－4)；当R3(4，0)时，可得P3(0，－1)，Q3(0，－4)；当R4(12，0)时，可得P4(0，0)，Q4(0，－1)，4个；（3）不可能，见解析 【分析】（1）根据B是A的分解点的定义判断即可． （2）因为P，Q在纵轴上，P，Q都存在分解点，推出P，Q的纵坐标只能是0，−1，−4，−16，当R1（1，0）时，由△PQR的面积为6，推出PQ＝12，由P在Q的上方，推出P1（0，−4），Q1（0，−16），同法可求其余各个点． （3）如图，设D（m，n），则m，n是正整数，由题意（x＋m）（x＋n）＝x2＋（m＋n）x＋mn且D为C的分解点，推出C（m＋n，mn）．分两种情形：①当m＝1时，D（1，n），C（n＋1，n），此时OC＞OD＞CD，不可能构成等腰三角形． ②当m≠1时，可以证明O，C，D共线，不存在△OCD． 【详解】解：（1）对于A1（5，6），，故B1（2，3）是A1的分解点； 对于A3（－2，0），，故B3（－2，0）是A3的分解点； 点A2不存在分解点． 故答案为A2． （2）∵P、Q在纵轴上，P、Q都存在分解点， ∴P、Q的纵坐标只能是0，－1，－4，－16， 当R1（1，0）时， ∵△PQR的面积为6， ∴PQ = 12， ∵P在Q的上方， ∴P1（0，－4），Q1（0，－16）， 同理，当R2（3，0）时，可得P2（0，0），Q2（0，－4）， 当R3（4，0）时，可得P3（0，－1），Q3（0，－4）， 当R4（12，0）时，可得P4（0，0），Q4（0，－1）， 综上所述，△PQR的个数为4； （3）不可能．理由如下： 如图，设D（m，n），则m，n是正整数， ∵且D为C的分解点， ∴C（m+n，mn）． 当m = 1时，D（1，n），C（n+1，n），此时OC>OD>CD，不可能构成等腰三角形． 当时，则m+n>m，mn>m，则点C必在直线x = m，y = n相交直线的右上角区域， 此时OC>OD，OC>CD，若△OCD为等腰三角形，只可能OD = CD， 如图，过C作CN⊥直线y = n，过点D作DM⊥x轴于M． 在Rt△ODM和Rt△CDN中，DM = DN = n，若OD = CD， 则Rt△ODM≌Rt△CDN（HL）， ∴DM = CN，即m = mn－n，此式子可以化为 ， ∵m，n为正整数， ∴m = 2，n = 2，即D（2，2），C（4，4）， 此时O，C，D共线，△OCD不存在， 综上所述，△OCD不可能为等腰三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了分解点的定义，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型三、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 7．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】分或为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形；    ∵，∴是等边三角形，∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形． 8．（19-20八年级上·江苏·阶段练习）△ABC为等边三角形，在平面内找一点P，使△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则这样的点P的个数为 ． 【答案】10个 【分析】点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心，点P在三角形外部时，根据线段垂直平分线的性质可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的． 【详解】如图， 点P在等边△ABC内时， ∵△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形， ∴P点为等边△ABC的外心； 当点P在三角形外部时， ∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，与各边垂直平分线的交点即是满足要求的点． 每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的外心，一共10个， 故答案为10个 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质及垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题关键. 9．（19-20八年级上·江苏连云港·期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动　 　秒后，△AMN是等边三角形？ （2）点M、N在BC边上运动时，运动　 　秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？ （3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）点M、N运动3秒或秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形． 【分析】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题； （2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题； （3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可． 【详解】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒 则有：2t＝12﹣3t 解得t＝ 故点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形； （2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN 则有：2t﹣12＝36﹣3t 解得t＝ 故运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN； （3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图 ∵∠A＝60° ∴∠AMN＝30° ∴AM＝2AN 则有2t＝2（12﹣3t） ∴t＝3； ②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图 ∵∠A＝60° ∴∠ANM＝30° ∴2AM＝AN ∴4t＝12﹣3t ∴t＝； ③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图 CN＝3t﹣24＝6 解得t＝10； ④当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，如图 此时2t＝12+6 解得t＝9； 综上所述，点M、N运动3秒或秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键. 题型四、作等腰三角形（尺规作图） 10．（20-21八年级上·江苏无锡·期中）一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（  ） A．50 B．50或40或20 C．50或30或20 D．50或40或30 【答案】D 【分析】分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积． 【详解】解：如图四边形是矩形，，； 本题可分三种情况： ①如图（1）：中，； ； ②如图（2）：中，； 在中，； 根据勾股定理有：； ； ③如图（3）：中，； 在中，； 根据勾股定理有； ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论． 11．（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ． 【答案】20° 【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ． 故答案为：20° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键． 12．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． （1）以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，而，，所以，而可得，故； （2）以点为圆心，为半径画弧交直线于，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，所以，易得，从而可得． 【详解】（1）如图①，点为所作； （2）如图②，点、即为所求， 题型五、等腰三角形的性质和判定 13．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质以及翻折变换及其应用，连接，先根据线段垂直平分线的性质得到，则，利用等边对等角和三角形内角和定理以及角平分线的性质得到，，据此可得，证明，得到， 则，再由对称性得到，， 则， 有三角形内角和定理得到， 则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 14．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点D、E．若，则的周长是 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，，则的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得，所以，根据三角形外角的性质得，再根据，所以，即可得出结论； （2）根据等于三角形三线合一的性质得，所以，所以． 【详解】（1）为等腰三角形， 理由：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）， ， 的周长是10， ， ． 题型六、等腰三角形的定义 16．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）等腰三角形一边长为6，周长为15，则它的腰长为（    ） A．3 B．6 C．3或6 D．6或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为6和底边长为6两种情况分别求出底边或腰的长，再根据构成三角形的三边长关系，进行验证即可得到答案． 【详解】解：当腰长为6时，则底边长为， ∵， ∴此时能构成等腰三角形， 当底边长为6时，则腰长为， ∵， ∴此时能构成等腰三角形； 综上所述，该等腰三角形的腰长为6或， 故选：D． 17．（23-24八年级上·江苏南通·期中）等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为7进行求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，，不能构成三角形， ∴腰长为， ∴三角形的周长为； 故答案为：17． 18．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，四边形中，，，，．回答下列问题： (1)在四边形的边上点除外，是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，这样的点共有个． (2)现有，其两边分别与、交于点、，连接．将绕着点旋转，使得、始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)的周长不发生变化，其周长为 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定； （1）如果为等腰三角形，那么分在边或者边上或边上三种情形，分别讨论，得出答案； （2）延长至点，使，连接． 证明得出，，进而可得，证明得出，进而得出的周长，即可得出结论 【详解】（1）解：在边，当，则点与点重合； 当在边，则，有1个点， 当在边，当，有1个点， 综上所述，共3个点，使得为等腰三角形， 故答案为：． （2）的周长不发生变化．理由如下： 延长至点，使，连接． ， 又， ， ，． ， ． 又已证，公共边， ， ． 的周长 ． 的周长不变，其周长为． 试题练习 一、单选题 1．（2023八年级上·江苏·专题练习）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（　　） A．75° B．15° C．75°或15° D．30° 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及直角三角形的30度角的性质，三角形内角和性质：进行分类讨论且结合图形，即可作答． 【详解】解：当高在三角形内部时， ∵等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半 ∴ 则由已知可求得三角形的顶角为30°， 则底角是； 当高在三角形外部时， ∵等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半 ∴ ∴ 则三角形顶角的外角是30°，则底角是15°； 所以此三角形的底角等于75°或15°， 故选C． 2．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 【答案】B 【分析】分类讨论①②③时，求出点P的个数． 【详解】因为为等腰三角形， 所以可分三类讨论： ①(有一个)．此时只要以A为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P； ②(有两个)．此时只要以O为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择； ③(一个)．作的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择． 综上所述，共有4个． 故选B.    【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质，解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，在y轴上确定点B，使为等腰三角形，符合条件的点B共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论，并分别作图即可求解，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】如图， ①当时，以点A为圆心，以长为半径画圆，与y轴交于点； ②当时，以点O为圆心，以长为半径画圆，与y轴交于点； ③当时，作线段的垂直平分线，与y轴交于点； 综上，共有4个， 故选：A． 4．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，正方形网格中A、B是两个格点，若是以为底边的等腰三角形，则符合条件的格点C有（    ）    A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】根据网格结构，作的垂直平分线与网格线的交点即为点，即可得到点的个数． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示：    ∴以为底边的等腰三角形有5个； 故选A． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 5．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．27 C．16或27 D．21或27 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，三角形三边关系，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 根据①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，分别计算即可． 【详解】解：①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形， 周长； ②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5， ， ∴不能组成三角形，综上所述，三角形的周长为27． 故选：B． 6．（22-23八年级上·江苏连云港·期末）如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对尺规作图进行分析，再利用等腰三角形的判定条件逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、如图1，由作法可知，，即是等腰三角形，不符合题意，选项错误； B、如图2，由作法可知，所做线段为的垂直平分线，但不能证明线段相等，无法推出等腰三角形，符合题意，选项正确； C、如图3，由作法可知，所做线段为的垂直平分线，，即是等腰三角形，不符合题意，选项错误； D、如图4，由作法可知，所做线段为的垂直平分线，，即是等腰三角形，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握尺规作图的基本图形做法是解题关键． 7．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识．如图，连接，则，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是边上的高，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．（八年级·江苏徐州·期末）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】C 【详解】解：如图所示： 当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC时，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选C． 【点睛】考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键． 9．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有(   ) A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，可画出种不同的拼法，即可求解，根据等腰三角形的判定画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，共有中拼法： 故选：． 10．（八年级上·江苏镇江·阶段练习）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，E是的中点，平分，则下列说法正确的有（    ）    ①；②平分；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，角平分线性质等，构造全等三角形是解题的关键，延长交的延长线于点M，易证，，，根据角平分线的性质进一步可得是等腰三角形，然后进行判断即可． 【详解】解：延长交的延长线于点M，   ， ， ， 故①选项符合题意； ， 是的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故④选项符合题意， ， ， 平分， 故②、⑤选项符合题意； 和的大小关系不确定， 故③选项不符合题意， 综上可知，正确的有①②④⑤， 故选：C． 二、填空题 11．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）若一个等腰三角形两边长分别为，则其周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，由等腰三角形两边长为，分别从等腰三角形的腰长为或去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【详解】①若等腰三角形的腰长为，底边长为 能组成三角形 它的周长是： ②若等腰三角形的腰长为，底边长为 不能组成三角形 综上所述，它的周长是： 故答案为：． 12．（20-21八年级上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，等腰三角形AOB 的顶点A的坐标为（2，2），底为OA，且B在坐标轴上，则B的坐标为 ． 【答案】（2，0），（0，2） 【分析】根据题意，当点B在AO的中垂线与坐标轴的交点处时，△AOB是等腰三角形，即可得出答案． 【详解】如图，作AO的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点B、B′，则点B、B′就是符合条件的点，连接AB、AB′， ∵A的坐标为（2，2）， ∴OA平分∠BOB′， ∴∠BOE=∠B′OE=45°， ∵BB′垂直平分OA， ∴OB=AB，∠OEB=∠AEB=90°，OE=AE， ∴∠OBE=90°-∠BOE=45°， ∴△OEB≌△AEB， ∴∠ABE=∠OBE=45°， ∴∠OBA=90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴OB=AB=2， ∴B（2，0）， 同理，B'（0，2）， 故答案为：（2，0），（0，2）． 【点睛】本题考查了的等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；熟练掌握等腰三角形的顶角顶点一定在底边的垂直平分线上是比较关键的． 13．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分，且，点为边中点，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 过作于，由角平分线的性质得，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】 解： 如图，过作于， ， ∴， 平分， ∴， ， ， 点为边中点，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（20-21八年级上·江苏淮安·期中）如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 【答案】6或18 【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足 因此有18−2t=t 解得t=6(s) （2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形， ∵ ∴ΔPOQ也是等边三角形 因此有2t−18=t 解得t=18(s) 综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形 故答案为：6或18． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 15．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，过点作交，于点，，当，时，的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，利用平行和角平分线得到，，可得出结论，由此即可求得最终结果． 【详解】解：平分， ； ， ， ， ； 同理可证：， ， ， ， 故答案为：2． 16．（21-22八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，过点O作DE∥BC交AB、AC于D、E，若AB＝7，AC＝5，则△ADE的周长为 ． 【答案】12 【分析】根据DE∥BC，可得∠DOB=∠OBC，再由角平分线的定义，可得∠DBO=∠OBC，从而∠DBO=∠DOB，得到DO=BD，同理可得EO=EC，则有DE=DO+OE=BD+EC，再根据三角形的周长等于三边长度之和，即可求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠DOB=∠OBC， ∵BO平分∠ABC， ∴∠DBO=∠OBC， ∴∠DBO=∠DOB， ∴DO=BD， 同理可得EO=EC， ∴DE=DO+OE=BD+EC， ∴AD+AE+DE=AD+DO+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=7+5=12， 即△ADE的周长为12． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边是解题的关键． 17．（八年级上·江苏扬州·期末）△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE= ． 【答案】67.5° 【分析】根据AB=AC,利用三角形内角和定理求出∠ABC、∠ACB的度数,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°,然后即可求出∠BDE的度数． 【详解】∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵∠A=30°, ∴∠ABC=∠ACB=（180°-30°）=75°, ∵以B为圆心,BC长为半径画弧, ∴BE=BD=BC, ∴∠BDC=∠ACB=75°, ∴∠CBD=180°-75°-75°=30°, ∴∠DBE=75°-30°=45°, ∴∠BED=∠BDE=（180°-45°）=67.5°,故答案为67.5°． 【点睛】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握,此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°,然后即可求得答案． 18．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形其中正确的有 填入序号 【答案】②③④ 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质，由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质求解即可得到答案； 【详解】 解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，， 即和都是等腰三角形； 故正确，符合题意； ， 故正确，符合题意； 的周长为：； 故正确，符合题意； 不一定等于， 不一定等于， 与不一定相等， 故错误，不符合题意． 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，A、B、C三点在同一条直线上，．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)等腰直角三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定： （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得到，再证明，得到，即可证明是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形． 20．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在 中， ，点D、E分别在上，，、相交于点 O．    (1)求证： (2)连接， 求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的判定与性质． （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可证，可得． （2）根据“”证明与全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可． 【详解】（1）在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知直线m⊥直线n于点O，点A到m、n的距离相等，在直线m或n上确定一点P，使△OAP为等腰三角形．试回答： （1）符合条件的点P共有 个； （2）若符合条件的点P在直线m上，请直接写出∠OAP的所有可能的度数． 【答案】（1）8个；（2）22.5°，90°，67.5°，45°． 【详解】试题分析：（1）分别以点O、A为圆心，以OA的长为半径画圆，与直线相交六点，再连接两圆的交点，与直线相交于两点； （2）连接AP，根据等腰三角形的性质即可得出结论． 解：（1）如图所示． 故答案为8个； （2）如图所示： 22.5°，90°，67.5°，45°． 考点：等腰三角形的判定． 22．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，直线经过点，且与平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线l上作出一点P，使得； (2)如图②，在直线上作出所有的点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图； （2）以点为圆心，为半径画弧交直线于，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，所以，易得． 【详解】（1）解：如图：点即为所求； （2）如图：点、即为所求． 23．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图（1）中，E为上一格点，点D为上任一点，先将线段向右平移得到线段、画出线段，再在上画点G，使； (2)在图（2）中，先作线段的中点D，再在线段上作点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质作出线段，连接并延长交于点G； （2）取格点M，N，连接交于点D；取格点J，连接交于点E，连接． 【详解】（1）解：如图所示： 易得，则； （2）如图所示： 利用网格构造全等的直角三角形可得， 则为直角三角形， 易证，则点D为的中点， 根据直角三角形斜边中线的性质得出． 【点睛】本题考查了作图—平移，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质；灵活运用相关判定定理和性质定理，将复杂作图转化为一般作图是解题的关键． 24．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 （1）在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值 （按从小到大写）； （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和 DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值 ． 【答案】理解：见解析图图①，图②；应用：（1）70°或106°或117或144°或148°；（2）42°或18° 【分析】理解：如图①，首先求出∠B的度数，然后其中一个等腰三角形底角一定为27°，得出另一个等腰三角形的底角度数，然后根据题意画出图形即可； 如图②，首先求出底角的度数，然后以∠A为底角，在以∠C为底角，最后根据题意画出图形即可； 应用：（1）分为6种情况讨论：①如图③当∠B＝24°，AD为“好线”，②如图④当∠B＝24°，AD为“好线”，③如图⑤当∠ABC＝24°时，BD为“好线”， ④如图⑥，当∠B＝24°时，CD为“好线”， ⑤如图⑦，当∠B＝24°时，CD为“好线”， ⑥如图⑧，当∠B＝24°时，AD为“好线”，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）设∠B=x°，①当AD=DE时，如图1（a），②当AD=AE时，如图1（b），③当EA=DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论． 【详解】(理解)如图①，如图②所示， （应用） （1）①如图③当∠B＝24°，AD为“好线”， 则A    C＝AD＝BD这个三角形最大内角是∠BAC＝106°； ②如图④当∠B＝24°，AD为“好线”， 则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝144°； ③如图⑤当∠ABC＝24°时，BD为“好线”， 则AD＝BD，CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠C＝148°， ④如图⑥，当∠B＝24°时，CD为“好线”， 则AD＝CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°， ⑤如图⑦，当∠B＝24°时，CD为“好线”， 则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝70°， ⑥如图⑧，当∠B＝24°时，AD为“好线” 则AB＝BD，AD＝CD，故这个三角形最大内角是∠BAC＝117°， 上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是70°或106°或117或144°或148°， 故答案为70°或106°或117或144°或148°； （2）设∠B＝x°， ①当AD＝DE时，如图1(a)， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x° ∴∠AED＝∠DAE＝2x°， ∴27×2+2x+x＝180， ∴x＝42， ∴∠B＝42°； ②当AD＝AE时，如图1(b)， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x° ∴∠AED＝∠ADE＝2x°， ∴2x+x＝27+27， ∴x＝18， ∴∠B＝18°． ③当EA＝DE时， ∵90﹣x+27+27+x＝180， ∴x不存在，应舍去． 综合上述：满足条件的x＝42°或18°． 【点睛】本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解． 25．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．        B．        C．       D．     （2）求得的取值范围是（  ） A．     B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”和“中线’字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【答案】（1）B；（2）A；（3）见解析 【分析】 本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】 （1）解：在和中 ， ， 故选B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故选C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 26．（19-20八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，A(0, 4),B(t,0)分别在y轴,x轴上，连接AB,以AB为直角边分别作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ABC.直线BC交y轴于点E.点G(-2,3)、H(-2,1)在第二象限内.    (1)当t=-3时，求点D的坐标. (2)若点G、H位于直线AB的异侧，确定t的取值范围. (3)①当t取何值时，△ABE与△ACE的面积相等. ②在①的条件下，在x轴上是否存在点P,使△PCB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）D（-7，3）；（2）；（3）①－2；②存在，P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0) 【分析】（1）当t=-3时，过点D作DM⊥x轴于点M，证明△ABO≌△BDM，得出DM=BO和MB=OA，从而得出点D坐标. （2）设出AB解析式y=kx+4，分别求出点G，H在线段AB上的时点B的坐标； （3）①假设△ABE与△ACE的面积相等，利用等底同高求出t值； ②根据等腰三角形的性质,分BP=BC、CP=CB、PC=PB三种情况讨论. 【详解】(1)当t=-3时，过点D作DM⊥x轴于点M, ∵△ABD为等腰直角三角形，AB=BD，∠ABD=90° ∴∠ABO+∠DBM=180°-90°=90° 又∵DM⊥x轴于点M ∴∠DMB=90° ∴∠DBM+∠MDB=90° ∴∠MDB=∠ABO 在△ABO和△BDM中 ∴△ABO≌△BDM ∴DM=BO=3，MB=OA=4 ∴MO=MB+BO=4+3=7 ∴D（-7，3）    (2)∵A（0，4），B（t,0),设直线AB的解析式为y=kx+4 当点G（-2，3）在直线AB上时 3=-2k+4， 此时AB的解析式 当y=0时，，x=-8 此时B（-8，0) 当点H（-2，1）在直线AB上时 1=-2k+4， 此时AB的解析式 当y=0时，，x= 此时B（，0) ∵点G, H位于直线AB的异侧， ∴由图像可知直线AB与线段MN相交，且点M，N不在直线AB上 ∴ (3)①t=-2时，△ABE与△ACE的面积相等. 如图，过点B做x轴垂线，构造直角三角形ARB和直角三角形BQC， ∵∠RAB+∠ABR=90°，∠ABR+∠BCQ=90° ∴∠ABR=∠BCQ， 在△ARB和△BQC中， ， ∴△ARB≌△BQC（AAS） ∴AR=BQ,BR=QC=4， 若△ABE与△ACE的面积相等， 则BE=EC， ∴BO=CN=2, ∴B（-2,0）    ②P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0) 由②可得C（2，-2） 当BP=BC时， BC==， ∴BP= ∴P(-2-2，0)或P(2-2，0) 当CP=CB时， BP=8， ∴P(6，0) 当PC=PB时， 如图，过E作BC的垂线，交x轴于点P，过C作x轴垂线于点S， 设BP=m=PC，则PS=4-m， 在△PSC中，PS2+SC2=PC2, 即22+（4- m）2= m2， 解得m=， ∴OP=-2=， ∴P(，0). 综上：P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0).    【点睛】本题是一道综合性较强的题，难点在于等腰三角形的存在性问题，同时根据图像数形结合来得出t的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$