2026-2027学年人教版数学九年级上册第25章一元二次方程单元测试卷

**基本信息** 九年级数学一元二次方程单元复习卷，90分钟100分，覆盖概念、解法、应用全模块，融合文化传承（《燕几图》）与现实情境（长征文创、经济增长），适配单元复习巩固与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|定义、根的意义、配方法、实际应用（病毒传播、电流热量）|基础概念与情境应用结合，如第5题病毒传播模型考查数学建模| |填空题|10/20|根与系数关系、判别式、三角形边长、几何面积（道路宽度、燕几图）|文化素材融入，如第18题《燕几图》面积问题体现数学眼光| |解答题|6/56|解方程、根的判别式与韦达定理、实际应用（文创销售、道路宽度）、阅读材料拓展|分层设计，如23题阅读材料题提升推理能力，21题文创销售问题培养应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 九年级数学上册一元二次方程下册单元复习卷（一） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 3．关于x的一元二次方程用配方法可变形为（   ） A． B． C． D． 4．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 5．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）之间满足关系式．已知导线的电阻为，1s的时间导线产生的热量，则通过导线的电流为（    ） A．2 A B．4 A C．8 A D．16 A 7．某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，将沿折叠，使点B的对应点G落在边上，且．若，则的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是__________． 10．已知是一元二次方程的一个根，则此方程的另一根为________． 11．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 12．若方程的两个根是，，则的值为________． 13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 14．三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 _____. 15．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 16．某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为的道路．已知铺防污地毯的面积为，则道路的宽度为___________． 17．在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有_______人． 18．《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为______． 三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．解方程（每题5分，共计20分） （1） （2）解方程： （3） （4）． 20. （6分）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 21．（10分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 22．（8分）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 23．（12分）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ____；x1x2＝ _____． (2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C D D B D B 1．D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B．含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C．最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； D．只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合题意． 故选：D． 2．D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得 ， 整理得 ， 移项得 ， 两边同除以，得 3．C 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键． 常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 5．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 由题意知，第一轮后感染台，第二轮后感染台，然后列方程即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确建立方程是解题关键．根据题意，将已知数值代入关系式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以通过导线的电流为， 故选：B． 7．D 【分析】根据逐月增长的关系，从三月份到五月份经过两次匀速增长，结合初始销量和五月份最终销量列方程即可． 【详解】解∵三月份销量为杯，每月平均增长率为x， ∴四月份销量为杯， ∴五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为， 又∵已知五月份销量为杯， ∴可列方程为． 8．B 【分析】过点G作，交BC的延长线于点H．设，则．先根据含30度的直角三角形性质得到，．再利用线段和差关系得到，再利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：过点G作，交BC的延长线于点H．设，则． 四边形为菱形， ，． ． ，． ， ． ． 由折叠的性质，得． 在中，，即， 解得（不合题意，已舍去）． ． 9．（答案不唯一，合理即可） 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，即可构造出所求的一元二次方程． 【详解】设一元二次方程的两根为，， 根据根与系数的关系可得：，， 当二次项系数为时，一元二次方程的形式为， 即． 10．/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即是一元二次方程的两个根，那么，先得出，再进行求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】设是一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．且 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，方程有实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负，据此解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得，即， ∴且． 故答案为：且． 12． 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14．12 【分析】解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可． 【详解】∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5 当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形； 当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形； 故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键． 15． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 16．4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 根据道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可 【详解】解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 则道路的宽为米， 故答案为：4． 17． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个微信群共有x人，根据该微信群共发了个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这个微信群共有人， 依题意得：， 解得，（舍去）， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意并列出合适的一元二次方程． 这些桌面的宽度为，结合图用含的代数式表示出三种桌子的长度后列出方程，求解即可． 【详解】解：设：这些桌面的宽度为， 则由图可得，小桌的长为，中桌的长为，长桌的长为， 有， 解得， ， ， 即这些桌面的宽度为． 故答案为：． 19. （1）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （2） 【分析】先将一元二次方程合并同类项，再按照因式分解解方程即可求出答案． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得，    因式分解得，               或，              ． （3）原方程移项整理得， ， 因式分解得， 解得． （4）解：， ， ， 或， ，． 20．(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 21．(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 22．4m 【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解． 【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260 解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去) 答：道路的宽应为4m． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程． 23．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2， ∴，． 故答案为：；． （2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n， ∴，， ∴ （3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0， ∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时，， 当时，， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键． 试题 第3页（共14页） 试题 第4页（共14页） 试题 第1页（共14页） 试题 第2页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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