第25章 一元二次方程（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 新教材人教版八年级下册第25章一元二次方程培优卷，120分钟120分，25题覆盖方程概念、解法、应用等核心知识，适配单元复习，可量化学生掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程概念、解法条件、根的判别式|结合多地期中真题，基础辨析与概念理解并重| |填空题|6/18|一般形式、根的应用、配方法|融入等腰三角形边长等几何关联问题| |解答题|9/72|解方程、实际应用（苏州之眼销量增长）、创新定义（两根点、全整根方程）|结合文化传承（赵爽几何解法）、生活热点（油价增长、文旅消费），培养抽象能力与模型意识|

第25章 一元二次方程·培优卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·浙江台州·期中）下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·甘肃陇南·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 6．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期中）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（　　） A．2 B．4 C． D． 9．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若是一元二次方程的根，则的值为___． 13．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 14．（25-26八年级上·上海·期末）已知为实数，且，则的值是___________． 15．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____． 16．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 19．（6分）（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知实数满足， (1)求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程； (2)若，求的值． 20．（8分）（25-26八年级下·江苏苏州·期中）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元? 21．（8分）（25-26八年级下·山东泰安·期中）定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根为和（），分别以为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)求方程的“两根点”的坐标： (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”．若点在直线上，求的值． 22．（9分）（25-26九年级上·青海海东·期末）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值； (2)知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 23．（9分）（25-26九年级上·广东珠海·期中）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于x的方程的解是（、、均为常数，），则方程的解是？ 解法探讨 （1）小明的思路如下所示： 小明的思路 第1步把1、代入到第1个方程中求出m的值； 第2步把m的值代入到第1个方程中求出； 第3步用直接开平方法解第2个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“x”，则“”的值是______，从而更简单地解决了问题． （3）小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是______； 策略运用 （4）小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们的方法完成解答． 已知方程有两个相等的实数根，其中a、b、c是三边的长，判断的形状． 24．（10分）（25-26九年级上·四川广元·期末）我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用“拼”的方法完成了配方，例如：，可以变形为，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程，先变形为________，每个小长方形的长为________，宽为________，小正方形的面积为________； 【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程，写出解题过程． 25．（10分）（25-26八年级下·浙江·期中）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： (1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． (2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． (3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一元二次方程·培优卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·浙江台州·期中）下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，依次判断各选项即可． 【详解】选项A中，原方程整理得 ，满足一元二次方程的全部条件，故A符合要求； 选项B中，原方程是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求； 选项C中，原方程含有两个未知数，故C不符合要求； 选项D中，原方程整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故D不符合要求． 故选：A． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 3．（25-26九年级下·甘肃陇南·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，根据不等式即可求出的值，再根据取值范围确定的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即， 当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故B选项不符合题意； 当时，，不满足，故C选项不符合题意； 当时，，满足条件，故D选项符合题意． 4．（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一元二次方程的根及因式分解法解一元二次方程，将已知根代入方程求出m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可，熟练掌握求解方法是解题关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得， 即， 解得， 则原方程为， 因式分解得， ∴或， 故方程的另一个根为． 故选：B． 5．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需熟练掌握配方法步骤，通过配方得到的形式，求出、的值后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 与对比，得，， ∴． 故选：A． 6．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两个方程进行展开，再根据两个方程的解相同进行比较求解即可． 【详解】解：由题意得， ； ， ∵关于的方程和的解相同， ∴，， ∴． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期中）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率问题，从一月底到三月底共经过两次增长，以一月底价格为基础，根据平均增长率的关系列方程即可得到结果． 【详解】解：设平均每月的增长率为 ∵一月底价格为元/升 ∴二月底价格为 元/升 ∴三月底价格为 又∵三月底价格为元/升 ∴可得方程 8．设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先根据两根之和结合求出两个根，再通过两根之积计算的值，即可选出正确选项． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系， 由已知根代入方程变形可以得出是方程的一个根，由此得出结合条件，再根据新方程两根之和为，由此求出新方程的另一根为， 【详解】解：∵ 方程 有一个根为 ， ∴ ， 两边同乘 得： ， 即 ． ∴是方程的一个根， 设方程的另一个根为，则：， 又∵ ， ∴ ， ， ∴． ∴， ∴方程的两根为和， 故选B． 10．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 【答案】D 【详解】解：对于①：将代入得，若，则满足方程，即方程的根为，不是，故①错误； 对于②：当时，方程变为，若，方程有实数解，故②错误； 对于③：是方程的一个根，代入得，整理得， 或，不是一定有，故③错误； 对于④：一元二次方程有两个相等的实根， ，且判别式，即， 对两边同乘得，代入得： ， ，故④正确； 综上只有④正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 【答案】 【分析】一元二次方程的一般式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若是一元二次方程的根，则的值为___． 【答案】 【详解】解：将代入方程， 得，即， 解得． 13．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 【详解】解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 14．（25-26八年级上·上海·期末）已知为实数，且，则的值是___________． 【答案】4 【分析】本题考查了换元法，解一元二次方程，注意解的取值范围是解题关键． 设，则原方程化为，解二次方程并根据确定值． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 即， ， ， 解得或， 由于，故， 即． 故答案为：4． 15．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】或 【分析】应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案． 【详解】解：∵关于x的方程， ∴，，， ∴，， ∵是等腰三角形，、的长是关于x的方程的两根， ∴①当为底时，则、均为等腰三角形的腰，有且， ∴，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则； ②当为腰时，则、中一个为腰一个为底，有，即，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则． ∴综上所述，的值为或． 16．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 利用根与系数的关系得到，；，；…，；把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴由根与系数的关系得：，； ，； … ，； ∴原式 ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）用配方法，需将常数项移到等号右侧，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，据此解方程即可． （2）用因式分解法求解，提取公因式后将方程转化为两个一次方程的乘积等于0的形式，再分别求解一次方程即可． 【详解】（1）移项，得， 配方，得，即 ， 开平方，得， ∴； （2）提取公因式，得， 化简，得，即 ， ∴ 或 ， ∴． 18．（6分）（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：方程有一实数根为3， ∴， 解得； （2）证明：∵关于x的一元二次方程 ， 无论取何值，方程总有实数根． 19．（6分）（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知实数满足， (1)求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程； (2)若，求的值． 【答案】(1)一元二次方程为 (2) 【分析】（1）根据题目要求及已知条件设一元二次方程为，然后，根据一元二次方程中根与系数的关系，找到关于的方程，解出的值代入原方程即可； （2）根据所给等式得出和是一元二次方程的两个实数根， 再根据一元二次方程中根与系数的关系，得出的值即可． 【详解】（1）解：设一元二次方程为． ， ， ， ∴一元二次方程为； （2）解：由题意，得和是一元二次方程的两个实数根， ． ∴的值为． 20．（8分）（25-26八年级下·江苏苏州·期中）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元? 【答案】(1)月平均增长率为； (2)售价应降低4元． 【分析】（1）设出未知数，利用“初始销量×(1+月平均增长率)²=最终销量”列一元二次方程，舍去不符合题意的负根，即可得到结果． （2）设出降价金额，分别表示出每件商品的利润和降价后的销量，利用“总利润=每件利润×销量”列一元二次方程，结合“尽量减少库存”的要求，选择符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得：，（舍去） 答：月均增长率为． （2）解：设售价应降低x元，则每件盈利为元，即元，销量为：件， 由题意得，， 解得，， 尽量减少库存， ，即售价应降低4元． 答：若使每天销售后获利240元，售价应降低4元． 21．（8分）（25-26八年级下·山东泰安·期中）定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根为和（），分别以为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)求方程的“两根点”的坐标： (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”．若点在直线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出方程的解，根据方程的解写出“两根点”的坐标； （2）求出方程的解为，，分和两种情况求的值． 【详解】（1）解：， 解得：，， ， 方程的“两根点”的坐标为； （2）解：， 分解因式可得：， 解得方程的两根分别为：和， 当时，即， “两根点”的坐标为， 点在直线上， ， 解得：； 当时，即， “两根点”的坐标为， 点在直线上， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ． 22．（9分）（25-26九年级上·青海海东·期末）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值； (2)知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 【答案】(1)； (2)20． 【分析】本题考查根据配方法求最值，熟练掌握配方的方法是解题的关键； （1）将配方得，根据，求解即可； （2）根据题意求出t的取值范围，由列方程，用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：， 的最大值为； （2）解：，点在AC边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动 ∴点从点运动到点所需时间为， 点从点运动到点所需时间为， 的最小值为20． 23．（9分）（25-26九年级上·广东珠海·期中）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于x的方程的解是（、、均为常数，），则方程的解是？ 解法探讨 （1）小明的思路如下所示： 小明的思路 第1步把1、代入到第1个方程中求出m的值； 第2步把m的值代入到第1个方程中求出； 第3步用直接开平方法解第2个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“x”，则“”的值是______，从而更简单地解决了问题． （3）小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是______； 策略运用 （4）小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们的方法完成解答． 已知方程有两个相等的实数根，其中a、b、c是三边的长，判断的形状． 【答案】（1）见解析；（2）或；（3）；（4）是直角三角形． 【分析】此题考查了用特殊方法解一元二次方程． （1）根据题意利用待定系数法求解即可； （2）把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解； （3）根据二次函数的平移规律作答即可； （4）先根据方程有两个相等的实数根，求得方程的根，再根据根与系数的关系列出方程，找到、、的关系，从而判断三角形的形状． 【详解】（1）解：将代入到方程中， 得， ∴， 解得 ∴． ∴ 第个方程可变形为， 即， 解得：； （2）解：∵关于的方程的解是， ∴把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为或， 故答案为：或； （3）解：函数的图象与x轴交于点和， 函数的图象相当于将上述图象向左平移2个单位， ∴与x轴交于点和， ∴方程的解为； 故答案为：； （4）解：∵当时，成立， ∴方程必有一根是 ∴方程的两根为． ∴． ∴． ∴是一个直角三角形 24．（10分）（25-26九年级上·四川广元·期末）我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用“拼”的方法完成了配方，例如：，可以变形为，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程，先变形为________，每个小长方形的长为________，宽为________，小正方形的面积为________； 【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程，写出解题过程． 【答案】（1）；；；25；（2）见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，解一元二次方程，图形面积的计算方法，理解图示面积，材料提示的计算方法，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）仿照用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：仿照方法2配方解，先变形为，如图2， 每个小长方形的长为，宽为，小正方形的面积为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， 解为， 故答案为：，，，； （2）解：先变形为，如图， 每个小长方形的长为，宽为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， ∴； 解为． 25．（10分）（25-26八年级下·浙江·期中）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： (1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． (2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． (3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 【答案】(1)①，；②1 (2)； (3) 【分析】（1）①解方程，得或，因此两根为和； ②根据方程的特征数对为，得出 ，， 根据韦达定理得出，，则，求解即可． （2）根据方程的根为，由韦达定理得，，根据方程的根为，由韦达定理得：，即，代入得，整理得．两根积：，得． （3）解方程，得出，得出方程B的特征数对，．对方程A：，由韦达定理得，，则，，根据“关联全整根方程”定义得出，结合，得，求出，根据方程A是“全整根方程”，得出是非负完全平方数，即可解答． 【详解】（1）解：①， ∴， 解得：或， 因此两根为和； ②∵其特征数对为， ∴ ，， ∵，， ∴， 由第二个方程得， 代入第一个方程验证：时，，符合要求； 时，舍去，因此． （2）解：∵方程的根为， 由韦达定理得，， ∵方程的根为， 由韦达定理得：，即， 代入得， 整理得． 两根积：，展开得， 代入，得， 因此． （3）解：， ∴，解得：， ∴方程B的特征数对：，． 对方程A：， 由韦达定理得，， ∴（），， ∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程A：是“全整根方程”， ∴是非负完全平方数， ∴时，，符合，此时； 时，，符合，此时； 其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $