专题一：平行线的性质与判定综合运用专项训练（共25道）【暑期培优】2025-2026学年七年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行线性质与判定的综合应用，通过分层题型构建"性质-判定-迁移"的逻辑体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|10单选+6填空|三线八角识别、角度转化技巧|从性质（同位角等）到判定（内错角等）的互化| |综合证明|9解答题|辅助线构造（作平行线）、等量代换推理|性质与判定结合角平分线、垂直等知识的综合应用| |实际情境|第6、15题|实际问题抽象为几何模型|生活场景中平行线性质的应用迁移|

专题一：平行线的性质与判定综合运用专项训练（共25道）-【暑期培优】2025-2026学年七年级下册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，将含有角的三角尺的两个顶点叠放在长方形的两条对边上．若，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，，点在直线上，点，点在直线上，连接，．若于点，线段平分与交于点，线段平分，且，则的度数是（     ）      A． B． C． D． 3．如图，直线a，b分别与直线m，n相交，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，能判断的条件是（     ） A． B． C． D． 5．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知直线与直线都相交．若，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，若，平行于，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，直线与直线、都相交．若，，则________． 12．如图，，．若，则的大小为__________（度）． 13．如图，，且，推论①；②；③；④，其中正确的推论有_____．（填写序号即可） 14．已知直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（），其中A，B两点分别落在直线m，n上．若，则的度数为______． 15．装修工人需要在两面平行的墙（和）之间铺设水管，水管中间有两个角度相等的弯头（）．工人测得水管与第一面墙的夹角，为了精准切割水管，需要知道水管与第二面墙的夹角的度数．请你帮工人算出_______°． 16．如图，在中，，若，平分，则的度数为______度． 三、解答题 17．完成下面证明，并在下面括号里，填上推理的根据． 如图，中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，DH与EF相交于点H，，．若，求的度数． 解：∵，， ∴（________）． ∴（________）． ∴（________）． ∵， ∴（________）． ∴（________）． ∴． 18．如图，四边形． (1)过点画出线段的垂线，垂足为点．请你补全图形，并填空：__________（填“”，“”或“”），理由是______________________________． (2)若平分，，． ①，的位置关系是__________，并写出证明过程； ②直接写出的度数． 19．某湿地公园为打造观湖景观，设计了一座水上栈道（如图），图是由图抽象出的几何图形，其中，，．求证：． 20．如图，已知，线段分别与直线，交于点，，线段分别与直线，交于点，，点在线段上运动（P点与A，B，M三点不重合），设，，． (1)若点在，两点之间运动时，若，，那么_____． (2)若点在，两点之间运动时，探究，，之间的数量关系，请说明理由； (3)若点在，两点之间运动时，，，之间有何数量关系？（只需直接写出结论） 21．如图，点在线段上，点在线段上，已知，． (1)求证：； 阅读并补全下面的解答过程，括号内为推理依据． 证明：， （_______________________________________）． __________（______________________________）． ， ∴__________． （______________________________）． (2)已知，垂足为． ①若，求的大小； ②若，则的大小为__________（用含的式子表示）． 22．【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点E在直线之间，请说明． 解：如图2，过点E作 所以 因为 所以 所以 所以 可以运用以上方法解答下列问题： 【类比应用】 如图3，，点E在直线之间，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数．（用含的式子表示） 23．某次数学课上，黄老师借助字母，命制了如下题目： (1)如图1，已知，，证明：．请你将推理过程补充完整； 证明：（已知）， ∴① （两直线平行，内错角相等）， （已知）， ∴② （③ ）， （④ ）． (2)如图2，若，证明：． 24．完成下面推理过程：如图，已知，，，，求证：． 证明：，（已知） （     ） （     ） （     ） 又（已知） （     ） （     ） 25．如图1，在中，点D，E分别在，上，且，． (1)求证：； (2)如图2，若平分，连结，恰有平分．已知，判断与的位置关系并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题一：平行线的性质与判定综合运用专项训练（共25道）-【暑期培优】2025-2026学年七年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C B D D B C 1．C 【分析】如图（见解析），先得出，，，再求出的度数，进而可得的度数，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．D 【分析】由垂线的定义得到，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明，进而得到，据此求出的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵线段平分，线段平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．A 【分析】利用平行线的判定和性质进行求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴． 4．B 【分析】根据平行线的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：选项A：∵， ∴，所以选项A不符合题意． 选项B：∵， ∴，所以选项B符合题意． 选项C：不能判断，所以选项C不符合题意． 选项D：∵， ∴，所以选项D不符合题意． 5．C 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6．B 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：因为，所以，故A不符合题意； 因为，所以，故B不符合题意； 因为，所以，故C不符合题意； 因为，所以，故D符合题意． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 9．B 【分析】过点作，根据平行公理的推论可得，利用两直线平行内错角相等建立角之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．C 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再根据垂直的定义得出，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11． 【分析】利用平行线的性质和邻补角的定义即可求解． 【详解】解：如图所示 ， ． ， ． 12．118 【分析】根据平行线的性质，结合对顶角相等，进行求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴. 13．①②③ 【分析】由平行线的性质得出，进而可得出，再得出，由角的和差关系可得出，无法判断． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 无法判断， 故正确的推论有①②③． 14．23 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，结合三角板的度数即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 15．70 【分析】延长交与点D，延长交与点F，由即可得出，由平行线的性质得出，进而可得出，再由平行线的性质即可得出． 【详解】解：延长交于点D，延长交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．60 【分析】根据，可得，然后根据平分，可得． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴． 17．；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定可证明，再利用平行线的性质即可求得的度数． 【详解】略 18．(1)；；垂线段最短 (2) ， 证明：平分 又 （内错角相等，两直线平行） ② 【分析】（1）按题意作图，根据垂线段最短，进行解答，即可； （2）①根据角平分线的定义，则，根据，等量代换，则，根据平行线的判定，即可；②根据平行线的性质，求出，根据，求出． 【详解】（1）解：按题意作图， ∵， ∴（垂线段最短）． （2）解：①略； ②∵， ∴， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．证明：， ． ， ． 又， ， ． 又， ∴根据平行于同一条直线的两直线平行，可得AB∥EF． 【分析】由内错角相等、两直线平行可得；再利用平行线的性质可得，结合已知条件可得，易证，最后根据平行于同一条直线的两直线平行． 【详解】略． 20．(1) (2)解：，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，即； (3) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）同（1）即可得出结论； （3）过点作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可. 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴； （2）略 （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴. 21．(1)同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 (2)①；② 【分析】（1）由同旁内角互补得出，再由平行线的性质结合题意可得，即可得证； （2）①由平行线的性质可得，再求出，最后由平角的定义计算即可得解；②由平行线的性质可得，再求出，最后由平角的定义计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ②∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．(1) (2) 【分析】（1） 过点作，构造铅笔型即可解答； （2） 过点作，构造型和铅笔型即可解答． 【详解】（1）解：如图3所示，若，过点作 ， ， ， ， ， ， ， （2）解：如图3所示，过点作， ， ， ∴， 由（1）得， ∵， ， 平分，平分， ， ∴． 23．(1)；；等量代换；内错角相等，两直线平行 (2)证明：延长，相交于点， ，（已知） （两直线平行，内错角相等） ，（已知） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 【分析】（1）根据平行线的性质定理及判定定理，结合已知证明过程逐步推导论证即可； （2）根据平行线的性质定理，结合已知证明过程逐步推导论证即可． 【详解】（1）证明：（已知）， ①（两直线平行，内错角相等） （已知）， ②（③等量代换） （④内错角相等，两直线平行） （2）略； 24．垂线的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】先根据垂直的定义得到两个直角相等，利用同位角相等证出，再由平行线的性质得到同位角，结合已知等量代换得到，最后根据内错角相等，即可证明． 【详解】证明：，（已知）， （垂线的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 25．(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【分析】（1）由可得出，因为，所以，即可证明； （2）由已知条件可求，，利用平行线的性质可得，，进而说明． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $