专题02平行线的性质与判定大题专项训练（与三角板有关的问题重难点培优18题）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

专题02 平行线的性质与判定大题专项训练（与三角板有关的问题重难点培优18题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知在直角三角尺中，． (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点C与三角尺的直角顶点D重合，，则的度数是______ ． (2)如图2，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，求的度数． (3)如图3，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案； （2）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得，结合，，即可获得答案； （3）延长到点，根据“两直线平行，同位角相等”可得，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，延长到点， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，先作平行线构造平行关系，结合旋转性质表示出相关角度，再利用平行线的性质和直角三角形的内角关系推出的表达式，结合的旋转角度表示出． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∵中，，， ∴． 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∵， ∴， ∴，解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，由平行公理可得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴，解得； 综上，的值为或． 3．如图，已知，将直角三角板的一个顶点放在点O处，其中，平分． (1)如图1，当时，_______； (2)如图2，当时，求的度数； (3)如图3，当时，______（用含的式子表示）； (4)当时，若直角三角板的边与的一边平行，则________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了角的和差计算和角平分线的定义，熟练掌握角之间的数量关系、灵活应用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据角的和差先求出，再根据角平分线的定义求出，再利用角的和差即可解答； （2）同（1）的思路求解即可； （3）分两种情况分析：当时，当时，结合图形求解即可； （4）分当时，当时，两种情况，分别结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：当时，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （4）如图所示：当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（3）得：， ∵平分， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， 由（3）得：； 故答案为：或． 4．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组开展了一项关于角度关系的探究活动．他们利用一副直角三角尺（其中）进行实验，将直角顶点固定在一条直线的点O处，且平分．通过改变三角尺的放置方式（如图1、图2、图3），他们观察并记录了与之间的数量关系，并试图发现其中的规律． 【问题发现】 (1)如图1，若，则的度数为______； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角尺中角的和差计算、平角的定义， （1）由题意求得，再由角平分线的定义得，最后由平角的定义求解即可； （2）由题意求得，再由角平分线的定义得，最后由平角的定义求解即可； （3）由角平分线的定义得，进而得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：40°； （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 5．如图①，点为直线上一点，将一直角三角板如图摆放，过点作射线． (1)如图②，若，则__________； (2)将图①中的直角三角板绕点转动一定的角度得图③，若边恰好平分，问：是否平分？请说明理由． (3)将图①中的直角三角板绕点顺时针转动，在转动过程中，若平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)平分，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了角的运算、余角以及角平分线的定义，解题的关键是灵活运用题中等量关系进行角度的运算． （1）根据∠MOC=∠MON+∠BOC计算即可； （2）由角平分线定义得到角相等的等量关系，再根据等角的余角相等即可解答； （3）分两种情况：当在的上方时，当在的下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：125 （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴． 又∵平分， ∴． ∴． ∴平分． （3）解：如图，当在的上方时， 此时， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的下方时， 此时， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，和之间的数量关系为或． 6．如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）设，则，作，利用列式计算即可求解； （2）作，结合（1）的结论，求得，即可证明平分； （3）分两种情况讨论，作，利用平行线性质求解即可． 【详解】（1）解：设，则，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （2）证明：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知， ∴，即， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 当点在线段上时，作， ∴，， ∴即， ∴； 当点在射线上时，作， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或． 7．【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或 【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：任务一：由平移得，， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 任务二：如图，过点作，交于点， 又， ， ，， ． ， ． 答：的度数为． 任务三：需分情况讨论： 当时，如图所示， ； 当时，如图所示， 过点作交于点， 则， 同理任务二可得，； 当，且在直线b的下方时，如图所示， 则， ； 综上，的度数为或或． 8．（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1）75；（2），理由见解析；（3）．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：75； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）．理由如下： ∵， ∴； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴． 9．已知一副直角三角尺先按如图1的方式拼接在一起，其中直角边、斜边都与直线重合，，． (1)在上述所拼图形中，的度数为_____________． (2)在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒． ①在旋转过程中，请求出当时的值； ②在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出所有满足条件的值． 【答案】(1) (2)①的值为或；②或或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，角的和差计算等知识点，解题的关键是正确运用分类讨论的思想． （1）根据平角得到，据此即可求解； （2）①由题意得，，，，，然后分三种情况讨论，根据列方程求解即可； ②分三种情况讨论，利用平行线的性质以及角的和差计算求解的度数即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴； （2）解：①由题意得，， ∴， 由题意得，，，，， ∵， ∴当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）， ∴的值为或； ②当时，如图， ∴， ∴， 解得； 当时，如图： ∴， ∴， 解得； 当时，如图：记交点为点，过点作， ∴， ∴， 解得， 综上：当与三角尺的某一边平行时，满足条件的值为或或． 10．已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方． (1)观察·思考 直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________； (2)操作・思考 将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； (3)联系拓广 将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，平角的定义求出的度数，内错角相等，两直线平行，得到线段与直线的位置关系即可； （2）求出，的度数，即可得证； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）证明：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：当在上方时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度为， ∴； 当在直线的下方时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度为， ∴； 综上：或． 11．七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 【答案】（1）不能；（2）①秒或秒；②；（3）秒或秒 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，垂直的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）由三角板的特征可得，一副三角板中，两块三角板的角度分别为和，由均为的倍数，得到用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数，即可解答； （2）①根据时，，再分在上方和下方两种情况讨论即可；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：当三角板在三角板左侧时，当三角板在三角板右侧时，再结合平行线的性质建立方程求解即可． 【详解】解：（1）一副三角板中，两块三角板的角度分别为和， ∵均为的倍数， ∴用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数， ∵不是整数倍， ∴用一副三角板不能拼出的角， 故答案为：不能； （2）①∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 当在上方时，如图（2）， 则，即， 解得； 当在下方时，如图（3）， 则，即， 解得； 综上，当秒或秒时，； 故答案为：秒或秒； ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）如图（4），当三角板在三角板左侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 如图（5），当三角板在三角板右侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 综上，当时，的值为秒或秒． 故答案为：秒或秒． 12．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图1，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图放置，直角顶点与点重合，是直角，平分．    【问题探究】 (1)若，则的度数为______； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，若，求的度数； (4)将这一直角三角尺如图4放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的数量关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角和补角的定义、平角的定义及三角尺角度等知识： （1）根据得到，结合平分即可得到，即可得到答案； （2）根据得到，结合平分即可得到，即可得到答案； （3）根据得到，结合平分即可得到，即可得到答案； （4）根据平分得到，即可得到，结合即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （4）解：∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．综合与实践 问题情境：将一副三角尺（，，）和（，）按如图1所示的方式摆放，使得直角顶点О重合，在上． 初步感知：（1）如图2，将三角尺绕点О逆时针旋转一定的角度，使得，则的度数是_____． 深入探究：（2）如图3，在（1）的基础上继续旋转三角尺，使得，求的度数． 拓展延伸：（3）如图4，在（2）的基础上继续旋转三角尺，使得（在上方），试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得到； （2）先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据计算即可； （3）如图，连接，先根据已知得，进而推出，根据同旁内角互补，两直线平行得到． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，连接， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 14．【问题探究】如图1，将两个形状、大小完全相同的含角的直角三角板的直角顶点重合放置在直线上． （1）若，则________，________； （2）写出与的数量关系，并说明理由； 【类比探究】若将图1中的直角三角板绕点以度每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转的时间为秒，． （1）当直角三角板旋转到如图2所示的位置时，恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； （2）在旋转的过程中，射线、、中的一条是另外两条所构成的角的平分线，求的值． 【答案】[问题探究]（1），；（2）； [类比探究] （1），理由见解析；（2）秒或秒或秒 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差、余角的性质等； [问题探究]（1）根据角的和差得，，即可求解； （2）根据，即可求解； [类比探究]（1）由角的和差及角平分线的定义得，，由余角的性质，即可求解； （2）分类讨论：①当是、构成夹角的平分线，②当是、构成夹角的平分线，③当是、构成夹角的平分线；结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解． 【详解】[问题探究]（1）解：∵， ∴，， （2）∵， ∴， 即； [类比探究]（1）解：； 理由如下： ， ， ， 恰好平分， ， ， ； （2）解：①当是、构成夹角的平分线， ， （秒）； ②当是、构成夹角的平分线， ， （秒）； ③当是、构成夹角的平分线， ， 绕旋转了， （秒）； 综上所述：的值为秒或秒或秒． 15．已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是____________； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)40 (2)的度数为 (3)，理由见解析 【分析】（1）先根据余角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据计算即可； （2）根据以及角平分线的定义即可求解； （3）令，，则，根据，由两角互余得到，进而即可得到与满足的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； 故答案为：40； （2）解：，平分， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下， 令，，则， ， ， ，即， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的意义，角度互补和互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是解题关键． 16．综合与实践． 【问题背景】在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺(一块含、，一块含，)，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： (1)小明把三角尺按如图所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是 ；与互补的摆法是 ．(填序号) 【深入探究】小宏将一副三角尺按如图1所示摆放，边，与直线重合，其中，． (2)求图1中的度数； (3)如图2，三角板 固定不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在的内部，设． ①若平分，求； ②若，求． 【答案】(1)②③；④ (2) (3)①  ② 【分析】（1）根据同角和等角的余角以及补角相等进行判断相等的角，根据补角的定义寻找互补的角即可； （2）根据角的和差关系进行计算即可； （3）①先由平角的性质计算出，再结合角平分线的性质求出，根据角的和差关系求出； ②先用的代数式表示出和，利用构造方程并求解即可． 【详解】（1）解：由等角的补角相等，可判断②中； 由同角的余角相等，可判断③中； 由周角和直角的概念，可判断④中与互补； 故答案为：②③；④． （2）．①∵， （3）又∵平分， ∴， ∵， ∴； ②，， ∵， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查角的和差关系，余角和补角的概念，角平分线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识是关键． 17．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则 ． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系 ．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变，，理由见解析 （4），证明见解析 【分析】本题综合考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，利用平行线的性质导角是解题的关键． （1）考查平行线的“同位角相等”性质，结合已知和三角尺的角()，利用平角列等式计算角度； （2）考查平行线的“内错角相等”性质，通过作辅助线(过作平行线)，可证明角度和为； （3）考查平行线性质及角度等量代换，通过设未知数表示相关角度，推导的固定值，进而得出的固定值； （4）考查平行线的“同位角相等”、三角形内角和定理，通过设未知数表示，逐步推导与的表达式，最终确定数量关系． 【详解】解：（1）∵， ∴(两直线平行，同位角相等)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （3）不变，，理由如下： ∵、分别平分、， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得， 即； （4）设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴，,， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴x． ∵， ∴． ∴x． ∴． 18．综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 【答案】（1）15；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合角的和差即可解答； （2）过点作，根据平行线的性质得到，求出，即可证明，即可说明； （3）过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义结合角的和差求出，进而求出，推出，推出，利用角的和差即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线的性质与判定大题专项训练（与三角板有关的问题重难点培优18题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知在直角三角尺中，． (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点C与三角尺的直角顶点D重合，，则的度数是______ ． (2)如图2，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，求的度数． (3)如图3，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，请直接写出与之间的数量关系． 2．动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 3．如图，已知，将直角三角板的一个顶点放在点O处，其中，平分． (1)如图1，当时，_______； (2)如图2，当时，求的度数； (3)如图3，当时，______（用含的式子表示）； (4)当时，若直角三角板的边与的一边平行，则________． 4．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组开展了一项关于角度关系的探究活动．他们利用一副直角三角尺（其中）进行实验，将直角顶点固定在一条直线的点O处，且平分．通过改变三角尺的放置方式（如图1、图2、图3），他们观察并记录了与之间的数量关系，并试图发现其中的规律． 【问题发现】 (1)如图1，若，则的度数为______； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 5．如图①，点为直线上一点，将一直角三角板如图摆放，过点作射线． (1)如图②，若，则__________； (2)将图①中的直角三角板绕点转动一定的角度得图③，若边恰好平分，问：是否平分？请说明理由． (3)将图①中的直角三角板绕点顺时针转动，在转动过程中，若平分，请直接写出和之间的数量关系． 6．如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 7．【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 8．（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 9．已知一副直角三角尺先按如图1的方式拼接在一起，其中直角边、斜边都与直线重合，，． (1)在上述所拼图形中，的度数为_____________． (2)在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒． ①在旋转过程中，请求出当时的值； ②在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出所有满足条件的值． 10．已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方． (1)观察·思考 直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________； (2)操作・思考 将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； (3)联系拓广 将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值． 11．七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 12．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图1，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图放置，直角顶点与点重合，是直角，平分．    【问题探究】 (1)若，则的度数为______； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，若，求的度数； (4)将这一直角三角尺如图4放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的数量关系，请直接写出结论． 13．综合与实践 问题情境：将一副三角尺（，，）和（，）按如图1所示的方式摆放，使得直角顶点О重合，在上． 初步感知：（1）如图2，将三角尺绕点О逆时针旋转一定的角度，使得，则的度数是_____． 深入探究：（2）如图3，在（1）的基础上继续旋转三角尺，使得，求的度数． 拓展延伸：（3）如图4，在（2）的基础上继续旋转三角尺，使得（在上方），试判断与的位置关系，并说明理由． 14．【问题探究】如图1，将两个形状、大小完全相同的含角的直角三角板的直角顶点重合放置在直线上． （1）若，则________，________； （2）写出与的数量关系，并说明理由； 【类比探究】若将图1中的直角三角板绕点以度每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转的时间为秒，． （1）当直角三角板旋转到如图2所示的位置时，恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； （2）在旋转的过程中，射线、、中的一条是另外两条所构成的角的平分线，求的值． 15．已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是____________； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 16．综合与实践． 【问题背景】在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺(一块含、，一块含，)，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： (1)小明把三角尺按如图所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是 ；与互补的摆法是 ．(填序号) 【深入探究】小宏将一副三角尺按如图1所示摆放，边，与直线重合，其中，． (2)求图1中的度数； (3)如图2，三角板 固定不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在的内部，设． ①若平分，求； ②若，求． 17．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则 ． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系 ．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 18．综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $