1.2 集合间的基本关系 同步练习 2026-2027学年 高中数学 高一上学期人教A版 必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础概念辨析、综合应用及创新探究的分层设计，实现从集合关系认知到逻辑推理与创新意识的递进培养，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-2题）|元素与集合、集合间关系（∈、⊆）|直接考查核心概念，如空集性质判断，夯实抽象能力| |提升层（3-5题）|Venn图表示集合关系、子集参数求解|结合图形与计算，如已知B⊆A求a值，发展推理能力| |综合层（6-9题）|集合相等、新定义“和美”集合、多选题辨析|通过新情境（如“和美”集合）及多选形式，深化逻辑思维| |拓展层（10-16题）|集合相等应用、子集综合问题、探究性问题|设计开放探究（如累积值问题），培养创新意识与应用能力|

1.2 集合间的基本关系 1. (2024·北京东城高一期中)下列说法中，正确的是(　 　) A. {0}∈{0，1，2} B. 0∈⌀ C. ⌀＝{0} D. ⌀∈{⌀} 2. (2024·杭州高一期中) 若集合X＝{x|x＞－1}，则下列关系式中成立的为(　 　) A. 0⊆X B. {0}∈X C. ⌀∈X D. {0}⊆X 3. (2024·福建南平高一期末)下列Venn图中能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2－2x＝0}关系的是(　 　) A. B. C. D. 4. 已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，B⊆A，则实数a的取值构成的集合为(　 　) A. {2} B. {－1，2} C. {1，2} D. {0，2} 5. 已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是(　 　) A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0，1或－1 6. 已知集合M＝，N＝，则(　 　) A. M＝N B. M⊆N C. M⊇N D. M与N的关系不确定 7. 若x∈A，则∈A，就称A是“和美”集合，集合M＝的所有非空子集中是“和美”集合的个数为(　 　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. (多选)以下几组集合中，是相等集合的有(　 　) A. M＝{(－5，3)}，N＝{－5，3} B. M＝{1，－3}，N＝{－3，1} C. M＝⌀，N＝{0} D. M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0} 9. (多选)已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x∈A}，C＝{x|x⊆A}，则关于集合A，B，C之间的关系，下列说法中正确的有(　 　) A. A＝B B. A⫋B C. A∈C D. A⊆C 10. (2024·上海嘉定高一检测)已知集合A＝，B＝，若A＝B，则x＋y＝　 　.  11. 已知集合A＝{x|x2＋ax＋3＝0}，且满足1∈A，则集合A的子集个数为　 　.  12. 设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝若A⊆B，则对任意x∈R，m(1－n)＝　 　.  13. 设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}. (1)若a＝，试判定集合A与B的关系； (2)若B⊆A，求实数a组成的集合C. 14. 已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围. 15. 已知集合M＝{1， 2， 3， 4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n. (1)若n＝3，则这样的集合A共有　 　个；  (2)若n为偶数，则这样的集合A共有　 　个.  16. (2024·柯桥中学高一检测)已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1，2，b}. (1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B成立?若存在，求出对应的a的值；若不存在，请说明理由. (2)若A⊆B成立，求出对应的实数对(a，b). 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系 1. (2024·北京东城高一期中)下列说法中，正确的是(　D　) A. {0}∈{0，1，2} B. 0∈⌀ C. ⌀＝{0} D. ⌀∈{⌀} 【解析】对于A，{0}不是{0，1，2}的元素，即{0}∈{0，1，2}不成立，则A错误；对于B，⌀中没有任何元素，即0∉⌀，则B错误；对于C，⌀中没有任何元素，而{0}表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则C错误；对于D，元素⌀为集合{⌀}中的元素，即⌀∈{⌀}，则D正确. 2. (2024·杭州高一期中) 若集合X＝{x|x＞－1}，则下列关系式中成立的为(　D　) A. 0⊆X B. {0}∈X C. ⌀∈X D. {0}⊆X 【解析】0∈X，故A错误；{0}⊆X，故B错误，D正确；⌀⊆X，故C错误. 3. (2024·福建南平高一期末)下列Venn图中能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2－2x＝0}关系的是(　B　) A. B. C. D. 【解析】N＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，又M＝{0，1，2}，∴N⫋M，B符合题意. 4. 已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，B⊆A，则实数a的取值构成的集合为(　A　) A. {2} B. {－1，2} C. {1，2} D. {0，2} 【解析】当a＋2＝3时，a＝1，则a2＝1，不满足集合中元素的互异性.当a＋2＝a2时，解得a＝－1，或a＝2，若a＝－1，则a2＝1，不满足集合中元素的互异性；若a＝2，则A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意.综上，a＝2，故a的取值集合为{2}. 5. 已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是(　D　) A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0，1或－1 【解析】由题意，当Q为空集时，a＝0，Q⊆P成立；当Q不为空集时，由Q⊆P，得a＝1，或a＝－1. 6. 已知集合M＝，N＝，则(　B　) A. M＝N B. M⊆N C. M⊇N D. M与N的关系不确定 【解析】∵N＝，且M＝，k＋2是整数，2k＋1是奇数，∴M⊆N. 7. 若x∈A，则∈A，就称A是“和美”集合，集合M＝的所有非空子集中是“和美”集合的个数为(　D　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【解析】当集合M的非空子集中含一个元素时，{－1}，{1}为和美集合；当集合M的非空子集中含有两个元素时，{－1，1}，为和美集合；当集合M的非空子集中含有三个元素时，为和美集合；当集合M的非空子集中含有四个元素时，为和美集合.综上，和美集合有7个. 8. (多选)以下几组集合中，是相等集合的有(　BD　) A. M＝{(－5，3)}，N＝{－5，3} B. M＝{1，－3}，N＝{－3，1} C. M＝⌀，N＝{0} D. M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0} 【解析】对于A，集合M＝{(－5，3)}表示一个点集，N＝{－5，3}表示一个数集，不相等；对于B，集合M＝{1，－3}和N＝{－3，1}中的元素完全相同，是相同的集合；对于C，集合M＝⌀，集合N＝{0}为单元素集合，不相等；对于D，集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1， 2}，集合N＝{y|y2－3y＋2＝0}＝{1，2}，∴集合M＝N. 9. (多选)已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x∈A}，C＝{x|x⊆A}，则关于集合A，B，C之间的关系，下列说法中正确的有(　AC　) A. A＝B B. A⫋B C. A∈C D. A⊆C 【解析】∵A＝{0，1}，∴B＝{x|x∈A}＝{0，1}，C＝{x|x⊆A}＝{⌀，{0}，{1}，{0，1}}，∴有A＝B成立，A⫋B不成立，A∈C成立，A⊆C不成立. 10. (2024·上海嘉定高一检测)已知集合A＝，B＝，若A＝B，则x＋y＝　－1　.  【解析】依题意可知x≠0，由于A＝B，∴y＝0，此时A＝{x， 0， 1}，B＝{x2，x，0}，∴x2＝1，解得x＝－1，或x＝1(舍去)，∴x＋y＝－1. 11. 已知集合A＝{x|x2＋ax＋3＝0}，且满足1∈A，则集合A的子集个数为　4　.  【解析】集合A＝{x|x2＋ax＋3＝0}，而1∈A，则1＋a＋3＝0，解得a＝－4，∴A＝{x|x2＋ax＋3＝0}＝{1，3}，则A的子集有22＝4(个)，∴集合A的子集个数为4. 12. 设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝若A⊆B，则对任意x∈R，m(1－n)＝　0　.  【解析】∵A⊆B，则当x∉A时，m＝0，∴m(1－n)＝0；当x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m(1－n)＝0.综上，m(1－n)＝0. 13. 设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}. (1)若a＝，试判定集合A与B的关系； (2)若B⊆A，求实数a组成的集合C. 解：(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}，当a＝时，B＝{5}，元素5是集合 A＝{5，3}中的元素，集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3在集合B中没有，∴B⫋A. (2)当a＝0时，由题意B＝⌀，又A＝{3，5}，故B⊆A；当a≠0时，B＝，又A＝{3，5}，B⊆A，此时＝3，或＝5，则有a＝，或a＝，∴C＝. 14. 已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围. 解：当B＝⌀时，2a＞a＋3，即a＞3，显然满足题意； 当B≠⌀时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或解得a＜－4，或2＜a≤3. 综上，实数a的取值范围是{a|a＜－4，或a＞2}. 15. 已知集合M＝{1， 2， 3， 4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n. (1)若n＝3，则这样的集合A共有　2　个；  (2)若n为偶数，则这样的集合A共有　13　个.  【解析】(1)若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}，或A＝{1， 3}，这样的集合A共有2个. (2)∵集合M的子集共有24＝16(个)，其中“累积值”为奇数的子集为{1}、{3}、{1，3}，共3个，∴“累积值”为偶数的集合共有13个. 16. (2024·柯桥中学高一检测)已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1，2，b}. (1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B成立?若存在，求出对应的a的值；若不存在，请说明理由. (2)若A⊆B成立，求出对应的实数对(a，b). 解：(1)由题意知，当且仅当集合A中的元素为1，2时，对于任意的实数b都有A⊆B. ∵A＝{a－4， a＋4}， ∴或方程组均无解， ∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B. (2)结合(1)知，若A⊆B， 则或或或 解得或或或 ∴所求实数对(a，b)为(5，9)，(6，10)，(－3，－7)，(－2，－6). 学科网（北京）股份有限公司 $