第二章 2.3 圆的方程讲义-2026学年高二上学期人教A版选择性必修一

2.3 圆的方程 【知识梳理】 1. 圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准方程 一般方程 圆心坐标 半径 充要条件 直径式方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2. 点与圆的位置关系 平面上的一点与圆的位置关系： （1）代数法：，则 位置关系 点P在圆外 点P在圆上 点P在圆内 与的关系 图示案例 【题型精讲】 题型一、求圆的方程 例1．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 例3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆C的方程（），则圆C的圆心坐标和半径分别为（   ） A．，b B．， C．， D．， 例4．（25-26高二上·广东深圳·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____. 2．（24-25高二下·广东深圳·阶段检测）圆的半径为__________. 3．（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南·期中）设梯形的外接圆为，已知，且，，. (1)求的标准方程； (2)求梯形的面积. 题型二、与圆有关的轨迹问题 角度1：直接法求轨迹 例5．已知点、，点满足，记的轨迹为，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的方程为 C．点的轨迹所围成的面积为 D．点的轨迹所围成的面积为 例6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知动点与两个顶点，的距离之比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； 3．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为. (1)求的中垂线的一般方程； (2)求底边的另一个端点的轨迹. 角度2：代入法（相关点法） 例7．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 例8．（25-26高二上·吉林·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足，设点P所构成的曲线为． (1)求点P的轨迹的方程；若满足曲线的方程，求的最大值及最小值． (2)若，求点Q的轨迹的方程． 【针对训练】 1．（25-26高二上·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆． (1)求圆的标准方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点是线段的中点，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 2．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 题型三、点与圆的位置关系 例9．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 例10．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 题型四、圆的对称性的应用 例11．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 例12．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【针对训练】 1．（24-25高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）曲线所表达的图形是（   ） A．以为圆心为半径的圆 B．以为圆心为半径的圆面 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心，3为半径的圆构成的同心圆 D．以为圆心1为半径的圆和以为圆心，1为半径的圆 2．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）圆的方程是，其中．下列何者正确？（　　） I．的圆心的坐标是（2k，2k）． II．的面积是． III．原点位于内． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二上·福建福州·期末）已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 三、填空题 9．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，若动点P满足，则点P的轨迹是圆心坐标为______，半径为______的圆． 10．（2025高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点.若点为的中点，则动点的轨迹的方程为________. 11．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 12．（25-26高二上·北京·期中）已知圆：与直线：，则圆心的坐标为______，若圆关于直线对称，则______. 四、解答题 13．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 14．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 15．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知线段的端点B的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，求轨迹关于点对称的轨迹方程； (3)已知点坐标为，求点到点的距离的取值范围. 第 18 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 圆的方程 【知识梳理】 1. 圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准方程 一般方程 圆心坐标 半径 充要条件 直径式方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2. 点与圆的位置关系 平面上的一点与圆的位置关系： （1）代数法：，则 位置关系 点P在圆外 点P在圆上 点P在圆内 与的关系 图示案例 【题型精讲】 题型一、求圆的方程 例1．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由题求出关于的对称点，据此可得答案. 【详解】由题可得圆心，半径为1，设点关于直线的对称点为，则 ，则，又圆半径也为1， 所以圆的方程为. 故选：D. 例2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求圆的一般方程 【分析】（1）求出AB中点的坐标与直线AB的斜率，然后根据垂直平分线的性质算出AB的垂直平分线的方程； （2）设出的外接圆的一般式方程，根据A、B、C的坐标求出D、E、F，即可得到的外接圆的方程． 【详解】（1）根据题意，可得，所以AB的垂直平分线的斜率， 结合AB的中点为，可得AB的垂直平分线方程为，即； （2）设的外接圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以的外接圆的方程为 例3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆C的方程（），则圆C的圆心坐标和半径分别为（   ） A．，b B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】将圆的方程化为标准形式，确定圆心和半径即可. 【详解】由且化为标准形式，故圆心为，半径为. 故选：C 例4．（25-26高二上·广东深圳·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求平面两点间的距离 【分析】根据题意求出圆心坐标和半径，再根据圆的标准方程求解即可. 【详解】因为为直径的两个端点， 所以圆心坐标为，即， 半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的方程为， 故选：D 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点 【分析】利用对称性求出圆的圆心坐标即可. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆与圆关于直线对称，得圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 2．（24-25高二下·广东深圳·阶段检测）圆的半径为__________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可. 【详解】圆的标准方程为，则半径为. 故答案为： 3．（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可． 【详解】易知该圆圆心为的中点，半径， 所以该圆方程为：． 故选：D． 4．（25-26高二上·湖南·期中）设梯形的外接圆为，已知，且，，. (1)求的标准方程； (2)求梯形的面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）设的一般方程为，根据过三点，将点的坐标代入方程，列出方程组求解即可； （2）根据平行关系求出的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合弦长公式即可求出，由梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）设的一般方程为， 由题意可知， 解得，，， 所以的一般方程为， 故的标准方程为. （2）因为，所以， 则直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 因此， 易知，且圆心在直线上，所以梯形的高， 故梯形的面积为 题型二、与圆有关的轨迹问题 角度1：直接法求轨迹 例5．已知点、，点满足，记的轨迹为，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的方程为 C．点的轨迹所围成的面积为 D．点的轨迹所围成的面积为 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设点，由结合平面内两点间的距离公式化简可得曲线的方程，确定曲线的形状，结合圆的相关知识求解即可. 【详解】设点，由可得， 整理可得，故曲线的方程为， 所以，曲线是圆心为原点，半径为的圆，故点的轨迹所围成的面积为， B对，ACD错. 故选：B. 例6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可. 【详解】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知动点与两个顶点，的距离之比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； 【答案】(1) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】（1）设，由两点间距离公式将几何关系转为代数运算并化简即可求解； 【详解】（1）设，由题， 整理得，即； 3．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为. (1)求的中垂线的一般方程； (2)求底边的另一个端点的轨迹. 【答案】(1) (2)答案见详解 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 【分析】（1）求出中点坐标，由的斜率得到中垂线的斜率，即可写出方程； （2）由已知，可知，则，利用两点间距离公式可得端点的轨迹方程，即可得到答案. 【详解】（1）因为,，则中点为， 则，， 的方程为：，即. （2）设底边的另一个端点的坐标为， 为等腰三角形，， 则，又,， ， 又，，不能共线，所以去掉和这两个点， ∴点的轨迹方程为：，（去掉点和）. 即点轨迹是以为圆心，以为半径的圆，并去掉和这两个点. 角度2：代入法（相关点法） 例7．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 例8．（25-26高二上·吉林·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足，设点P所构成的曲线为． (1)求点P的轨迹的方程；若满足曲线的方程，求的最大值及最小值． (2)若，求点Q的轨迹的方程． 【答案】(1)；最大值为；最小值为； (2). 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、轨迹问题——圆 【分析】（1）设结合题意列方程化简即可求得的方程，表示为圆上的点到的距离，根据点到圆上点距离最值求法计算即可. （2）设点，由代入点的坐标，整理得，将其代入方程即得点的轨迹方程. 【详解】（1）设，由可得，， 化简可得，即， 所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 表示为圆上的点到的距离， 因为，所以点在圆外， 点与点的距离为， 所以最大值为，最小值为； （2）设点，由，可得， 即则有（*）， 因点在圆上，故有， 将（*）代入上式得：，即. 故点的轨迹的方程为：. 【针对训练】 1．（25-26高二上·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆． (1)求圆的标准方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点是线段的中点，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】(1)； (2)；轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、求平面轨迹方程 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可； （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由点是线段的中点，列出方程代入即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为（其中）， 因为圆过点，，，可得， 解得，满足， 所以圆的方程为， 所以圆的标准方程为. （2）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点， 所以，所以，， 又因为点是圆上的一个动点，所以点的坐标满足圆的方程， 代入得，整理得， 所以点的轨迹方程为，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 2．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据条件联立方程求解圆心和半径； （2）通过向量关系设点和的坐标，利用代入法求点的轨迹方程. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 题型三、点与圆的位置关系 例9．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断点与圆的位置关系 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 例10．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 【针对训练】 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 2．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 题型四、圆的对称性的应用 例11．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 例12．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】圆的对称性的应用、基本不等式“1”的妙用求最值、由圆的一般方程确定圆心和半径 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 【针对训练】 1．（24-25高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用 【分析】根据直线过圆心可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心为， 因为直线是圆的对称轴，故圆心在直线上， 故即， 故选：A. 2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆的对称性的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题可得直线过已知圆圆心，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】由题可得圆方程可化为：，则圆心坐标为. 因圆关于对称，则过圆心，从而. 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）曲线所表达的图形是（   ） A．以为圆心为半径的圆 B．以为圆心为半径的圆面 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心，3为半径的圆构成的同心圆 D．以为圆心1为半径的圆和以为圆心，1为半径的圆 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】分和讨论，由圆的标准方程即可求解. 【详解】由题意有：当时，，表示以为圆心，半径为的圆； 当时，，表示以为圆心，半径为的圆， 故选：D. 2．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）圆的方程是，其中．下列何者正确？（　　） I．的圆心的坐标是（2k，2k）． II．的面积是． III．原点位于内． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的弧长、面积、圆心角等计算、判断点与圆的位置关系 【分析】求得圆心坐标与半径可判断I与II，把原点坐标代入方程左边计算大于0可判断III. 【详解】由，可得， 所以，所以圆心的坐标为，半径为，故I错误； 所以圆的面积为，故II正确； 因为，故原点位于圆外，故III错误． 故选：A. 3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、点与圆的位置关系求参数 【分析】设出点的坐标，利用两点间距离公式求出，再借助三角代换求出其范围即可判断. 【详解】设，由点在圆上运动，得，令， 则，，， 因此 ，其中锐角由确定， 所以不可能取到的值是125. 故选：D 5．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 6．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】先化简圆的方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】解：由圆，可得， 可得，解得， 又由点在圆外，则，解得， 综上可得：，所以实数的取值范围是. 故选：D. 7．（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D 二、多选题 8．（25-26高二上·福建福州·期末）已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、点与圆的位置关系求参数、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】根据已知的三点坐标确定圆的标准方程，利用圆心和半径的性质判断直径关系，从而验证选项A和B，选项C，通过向量垂直的条件转化为圆的交点问题，结合几何特征分析存在性；选项D，利用点与圆的位置关系转化为距离不等式求解参数范围. 【详解】设圆的方程为，， 由三点，，在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为， 故圆的方程为，圆心为，半径， 对于A，线段的中点为，与圆心重合，所以线段是圆的直径，故A正确； 对于B，由上述计算可知，圆的方程为，故B正确； 对于C，若时，点与点不重合， 对于圆上一点，若，则， ，， 则，化简得，此为过原点的圆， 点P为圆与该圆的交点，两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 当时，，此时或， 即满足的点只有和，故此时不存在满足条件的点， 因此，命题“对于任意，圆上都存在点，使得”为假命题，故C错误； 对于D，点在圆外，则点D到圆心的距离大于半径，即， 解得，即，解得或，故D错误. 故选：AB 三、填空题 9．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，若动点P满足，则点P的轨迹是圆心坐标为______，半径为______的圆． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】数量积的运算律、由标准方程确定圆心和半径、数量积的坐标表示 【详解】设，得，，. 因为，所以，化简得. 所以圆心坐标为，半径为. 10．（2025高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点.若点为的中点，则动点的轨迹的方程为________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】根据圆的定义可得动点的轨迹的方程. 【详解】由题意得，圆， 故，所以， 即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 11．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 12．（25-26高二上·北京·期中）已知圆：与直线：，则圆心的坐标为______，若圆关于直线对称，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，再根据圆心在直线上，代入求出的值. 【详解】圆：，即， 所以圆心为， 若圆关于直线对称，则点在直线上，即，解得 故答案为：； 四、解答题 13．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求过已知三点的圆的标准方程、求平面轨迹方程 【分析】（1）求得，进而可求得线段的垂直平分线方程，由题意的外接圆的直径为，据此求解即可； （2）设，利用坐标表示出点坐标，代入外接圆的方程即可求得点的轨迹方程. 【详解】（1）由得中点为. 直线的斜率. 所以其垂直平分线的斜率. 所以线段的垂直平分线方程为，即. 因为外接圆半径，圆心为. 所以外接圆方程为. （2）设，又. 则. 由于在上，将其代入圆方程可得. 化简可得. 即所求的轨迹方程为.    14．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 15．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知线段的端点B的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，求轨迹关于点对称的轨迹方程； (3)已知点坐标为，求点到点的距离的取值范围. 【答案】(1)线段的中点的轨迹方程为， 点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. (2)轨迹关于点对称的轨迹方程为； (3)点到点的距离的取值范围为. 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）设中点为，且，根据中点公式，求得，将其代入圆的方程，即可求解； （2）先确定对称曲线为圆，设其方程为，由对称关系求，由此可得结论； （3）先证明点在圆外，结合圆的性质求结论. 【详解】（1）由圆，可得圆心为，半径长为2， 设线段中点为，且， 因为点的坐标是，且是线段的中点， 可得，解得， 因为点在圆上上运动，即， 所以， 所以线段的中点的轨迹方程为， 点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. （2）轨迹关于点对称的轨迹为圆， 设其方程为， 则点和点关于点对称，且 所以，， 解得，， 所以轨迹关于点对称的轨迹方程为； （3）点到点的距离， 所以点在圆外，又点在圆上， 所以当点，点，点三点共线，且时， 点到点的距离取最大值，最大值为， 当点，点，点三点共线，且时， 点到点的距离取最小值， 最小为， 所以点到点的距离的取值范围为. 第 18 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $