第二章 2.2 两条直线的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人家A版选择性必修一

2.2 两条直线的位置关系 【知识梳理】 一、两直线的位置关系 1. 两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线与的位置关系 相交 重合 平行 【注】两条直线的交点求解方法： 若直线相交， 则它们的交点坐标为方程组（Ⅰ） 的唯一一个实数解. 2. 点到点的距离 一般地，若两点，的坐标分别为，，则有两点，间的距离公式，． 特别地，原点与任一点的距离． 3. 点到直线的距离 点到直线（，不同时为0的距离． 4. 两平行直线的距离 一般地，两条平行直线，间的距离． 二、对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（（））平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 4.3常见的直线关于直线的对称方程 设直线为. ①关于轴对称的直线的方程是； ②关于轴对称的直线的方程是； ③ 关于直线 对称的直线的方程是； ④ 关于直线 对称的直线的方程是； ⑤关于直线 对称的直线的方程是； ⑥关于直线对称的直线的方程是. 【题型精讲】 题型一、与交点有关的问题 例1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 【针对训练】 1．（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、斜率与倾斜角的变化关系、二倍角的正切公式 【分析】利用二倍角公式求出的斜率，可得其方程，然后联立的直线方程求解可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 则直线的斜率， 又直线过原点，所以的方程为， 联立，解得，即直线与的交点坐标为. 故答案为： 2．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知直线和的交点为P． (1)若直线经过点P且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点P且与直线互相垂直，又与轴，轴分别交于A，B两点，求的面积．（其中O为坐标原点）． 【答案】(1)； (2)2 【难度】0.65 【知识点】直线围成图形的面积问题、求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程、由两条直线平行求方程 【分析】（1）联立两直线方程求出交点坐标，再由点斜式求出直线l的方程. （2）根据给定条件，求出直线m的方程并求出点的坐标，进而求出的面积. 【详解】（1）由，解得，即得，直线的斜率为， 所以过点P且与直线平行的直线l的方程为，即. （2）由直线经过点P且与直线互相垂直，得直线的方程为， 即，因此直线交轴于点，交轴于点， 所以的面积. 题型二、与距离有关的问题 角度1：点到直线的距离 例2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 例3．（22-23高二上·广东深圳·期中）直线 与直线交于点，则点到直线的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求点到直线的距离、求直线交点坐标、直线过定点问题 【分析】联立方程求出交点坐标，求出直线的恒过定点，再将点到直线距离的最大值转化为两点间距离即可. 【详解】由题可列： ， 解得 ， 所以点 的坐标为 ， 因为直线， 即 恒过定点 ， 所以点到直线的最大距离为 ， 故选：B 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求到两点距离相等的直线方程 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或. 故选：D. 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．3 B． C．3或-6 D．3或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】利用点到直线距离公式得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得或3. 故选：D 3．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】求点到直线的距离、直线过定点问题 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 角度2：直线到直线的距离 例4．（25-26高二上·广东深圳·期中）直线：与：之间的距离等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据平行直线之间的距离公式，直接求出结果. 【详解】两直线间的距离为. 故选：B. 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）直线，直线，若，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用平行线间距离公式列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以直线与的距离. 故选：C 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据两直线方程得出两直线的斜率相等，从而得出两直线平行，则的最小值即为两直线间的距离，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【详解】 直线，， 直线，即，， ，显然两直线不重合， ，即最小值即为两直线间的距离， 由两平行直线间的距离公式可得，即最小值为1． 故选：B． 题型三、对称问题 角度1：点关于直线对称 例5．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、求点到直线的距离 【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解； 【详解】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 例6．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知点在直线上，则的最小值为__________ 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值. 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和，如图， 点关于的对称点为，， 当点三点共线时，最小，最小值为4. 故答案为：4 例7．（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】先求出B关于直线l对称的点为坐标，分析可得当三点共线时，的最小值，计算即可判断A、B的正误；当三点共线时，有最大值，计算即可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】设点B关于直线l对称的点为， 则，解得，即. 连接，与直线l交于点M，如图所示 当点P与点M重合时，， ， 当点P与点M不重合时，， 综上，的最小值为，故A错误，B正确. 连接AB并延长，交直线l于点N，如图所示 当点P与点N重合时，， ， 当点P与点N不重合时，， 综上，，即的最大值为，故C正确，D错误. 故选：BC 【针对训练】 1．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 2．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】先求出的斜率，然后根据点斜式即可求解. 【详解】因为，，所以， 又点与点关于直线对称，所以， 又的中点， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 3．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】设点关于的对称点的坐标为，根据两点关于直线对称求出点的坐标，数形结合可知当、、三点共线时，取最大值，即可得解. 【详解】设点关于的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 又， 当且仅当、、三点共线时，取最大值. 故的最大值为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·浙江宁波·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程有两个解 B．方程无解 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求平面两点间的距离 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的值域，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为， 所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的 距离之和，即. 作点关于轴的对称点，则， 当三点共线时，取到最小值 ， 所以有最小值； 当点向轴正、负方向无限移动时，距离之和无限增大， 所以. 因为，所以方程有互为相反数的两个解，故A正确，B错误； 因为有最小值，故C错误；因为无最大值，故D错误. 故选：A 角度2：直线关于点对称 例8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 【针对训练】 1．（25-26高三·天津·一轮复习）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. 角度3：直线关于直线对称 例9．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 例10．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求点关于直线的对称点 【分析】求得关于轴的对称点，即可求解. 【详解】关于轴的对称点坐标分别为， 由对称性可知反射光线经过，， 所以反射光线所在直线方程为， 即. 故选：C 例11．若入射光线所在直线的方程为，经直线反射，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对直线，令，解得， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，即， 对直线，令，解得， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，即， ， 直线：，即。 故选：C 【针对训练】 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题、求平行线间的距离 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 2．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、直线两点式方程及辨析 【分析】先求出点的对称点坐标，然后利用两点式直线方程求出结果即可. 【详解】因为关于y轴的对称点， 所以直线 因此入射光线l所在直线的方程为， 故选：C． 3．（23-24高二下·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题、求直线关于点的对称直线、求点关于直线的对称点 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求到两点距离相等的直线方程 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 2．（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角是钝角 B．的一个方向向量为 C．点到直线的距离为 D．与直线垂直 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求直线的方向向量（平面中）、求点到直线的距离、由斜率判断两条直线垂直、直线的倾斜角 【分析】对于A，根据条件，利用斜率与倾斜率角的关系，即可求解；对于B，利用方向向量的定义及是直线的一个方向向量，即可求解；对于C，利用点到直线的距离公式，即可求解；对于D，利用直线位置关系的判断方法，即可求解. 【详解】对于选项A，直线的斜率为，所以直线的倾斜角是锐角，故选项A错误， 对于选项B，易知直线一个方向向量为， 又向量与向量共线，所以选项B正确， 对于选项C，因为点到直线的距离为，所以选项C错误， 对于选项D，直线的斜率为，直线的斜率为， 又，所以直线与直线不垂直，故选项D错误， 故选：B. 3．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测），分别为直线与上任意一点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值. 【详解】由，可得两条直线相互平行， 所以最小值为平行线之间的距离，可化为， 所以，. 故选：A 4．（23-24高二上·广东深圳·阶段检测）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即可. 【详解】由， 即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小，    如图所示，设直线与轴分别交于点，则， 由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形， 设关于直线的对称点为，连接， 则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以， 故， 当且仅当重合时取得最小值. 故选：B 5．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求平面两点间的距离 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 6．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线段的定比分点、求平面两点间的距离 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 7．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标即可求得入射光线所在直线的方程． 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为， 则入射光线所在直线方程为，即． 故选：D. 二、多选题 8．（25-26高二上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线、求点关于直线的对称点、由两条直线平行求方程、由斜率判断两条直线垂直 【分析】利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】对于A，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点关于直线的对称点为，正确； 对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，当时，， 故直线与垂直，正确； 故选：ABD. 9．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 10．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．方程与方程可表示同一直线 B．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 C．过两点，的直线都可用方程表示 D．已知，，点在轴上，则的最小值是 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、直线截距式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】根据方程的特点即可判断A；举特例当直线过原点也符合题意，即可判断B；根据两点式方程的变形进行判断C；先求出关于轴的对称点为，再结合三点共线问题求解即可判断D. 【详解】对于A，不过点， 而直线过点，故A错误； 对于B，当直线过原点时，直线方程为，也符合题意，故B错误； 对于C，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点，的直线，故C正确； 对于D，设关于轴的对称点为， 则， 所以当三点共线时最小， 此时，故D正确. 故选：CD. 11．（24-25高二下·广东深圳·阶段检测）以下四个命题表述正确的是（   ） A．若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率的取值范围是 B．直线恒过定点 C．若直线与互相垂直，则 D．若直线与平行，则与的距离为 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离、直线过定点问题、已知直线垂直求参数、直线的倾斜角 【分析】对于A由即可求解，对于B将直线整理为即可求解，对于C由得即可求解，对于D先求，再利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】对于A：当时，直线的斜率不存在， 当时，由斜率，，故A正确； 对于B：由直线得， 令有解得，即定点为，故B错误； 对于C：直线与互相垂直， 则解得或，故C错误； 对于D：由有，所以与的距离为，故D正确； 故选：AD. 12．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）下列结论错误的是（   ） A．过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．直线与直线之间的距离为 C．已知点，，点在轴上，则的最小值为 D．已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、求平行线间的距离、将军饮马问题求最值、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】过点且在，轴上的截距互为相反数的直线有过原点的方程为，即可判断选项A；由两平行线间的距离公式求解即可判断选项B；先求出点关于轴的对称点为，然后求解两点间的距离即可判断选项C；先求出，，由过点的直线与线段没有公共点即可判断选项D. 【详解】对于A，当直线过原点的方程为，故选项A错误； 对于B，由可得，与平行， 则两条平行直线间的距离为，故选项B错误， 对于C，点关于轴的对称点为，则， 所以， 即的最小值为，故C正确， 对于D，，，又直线与线段没有公共点，所以，故D错误. 故选：ABD 三、填空题 13．（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 14．（25-26高二上·江西·阶段检测）直线与直线之间的距离为__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】先将方程变形，再根据平行直线间的距离公式求解出结果. 【详解】因为， 所以平行线间的距离为， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.86 【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】（1）联立两直线方程，可求出交点M的坐标，进而可得直线AM的斜率，代入点斜式方程，即可得答案. （2）根据两直线的位置关系，可得与垂直的直线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. 【详解】（1）联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线AM的方程为，即. （2）直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. 16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知在中，边上的高所在的直线方程为边上的高所在的直线方程为，点A的坐标为. 求: (1)边与边所在的直线方程; (2)边所在的直线方程; (3)的面积. 【答案】(1)直线的方程为，直线的方程为. (2) (3)7 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求直线交点坐标、直线的一般式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）先根据垂直关系分别求出两条直线的斜率，再应用点斜式方程求解即可； （2）先分别求出两条直线的交点，再应用两点求斜率，最后根据斜率及点得出直线方程； （3）先求两点间距离及点到直线距离，最后应用三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由题意得边上的高的斜率为1，边上的高的斜率为， 所以直线的斜率分别为. 因为，所以直线的方程为，即， 直线的方程为，即. （2）由（1）知，直线的方程为，直线的方程为. 由，解得，即； 由，解得，即. 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即得. （3）由（2）知，，直线的方程为， 所以. 因为，所以点到直线的距离. 所以的面积. 17．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【答案】(1) (2) 【难度】0.8 【知识点】求平行线间的距离、由两条直线垂直求方程、已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数 【分析】（1）借助两直线垂直性质计算即可得； （2）借助两直线平行性质计算可得，再利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】（1）由直线与直线垂直，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为； （2）由直线与直线平行，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为， 设直线与直线间的距离为，由平行线间的距离公式可得： ， 即直线与直线间的距离为. 18．（25-26高二上·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由平行四边形可知，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）由光的反射原理可知，从点射出的入射光所在直线方程经过点关于轴的对称点，求出后结合直线点斜式方程即可求解； 【详解】（1）易知在平行四边形中，，故， 已知点，由直线的点斜式方程可得直线：， 整理得，即直线BC的方程为. （2）设点关于轴的对称点为，由光的反射原理可知，从点射出的入射光线的延长线必经过，故入射光线所在的直线方程即直线. ，由直线的点斜式方程得直线：， 整理为，即入射光线所在直线的方程为. 19．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线、直线关于直线对称问题 【分析】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 20．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求边所在的直线方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求直线交点坐标、直线一般式方程与其他形式之间的互化、由斜率判断两条直线垂直 【分析】（1）联立直线与方程可得，设点，则，根据点分别在直线上列方程组可得结果. （2）设，根据及线段中点在上列方程组可得结果. 【详解】（1）由得，∴. 设点，则， ∴，解得，即 ∴，故直线的方程为，即. （2）设，则的中点坐标为，， ∴，解得：，故. 第 23 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 两条直线的位置关系 【知识梳理】 一、两直线的位置关系 1. 两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的公共点的个数 直线与的位置关系 【注】两条直线的交点求解方法： 若直线相交， 则它们的交点坐标为方程组（Ⅰ） 的唯一一个实数解. 2. 点到点的距离 一般地，若两点，的坐标分别为，，则有两点，间的距离公式，． 特别地，原点与任一点的距离． 3. 点到直线的距离 点到直线（，不同时为0的距离． 4. 两平行直线的距离 一般地，两条平行直线，间的距离． 二、对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（（））相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（（））平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 4.3常见的直线关于直线的对称方程 设直线为. ①关于轴对称的直线的方程是； ②关于轴对称的直线的方程是； ③ 关于直线 对称的直线的方程是； ④ 关于直线 对称的直线的方程是； ⑤关于直线 对称的直线的方程是； ⑥关于直线对称的直线的方程是. 【题型精讲】 题型一、与交点有关的问题 例1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为______． 2．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知直线和的交点为P． (1)若直线经过点P且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点P且与直线互相垂直，又与轴，轴分别交于A，B两点，求的面积．（其中O为坐标原点）． 题型二、与距离有关的问题 角度1：点到直线的距离 例2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 例3．（22-23高二上·广东深圳·期中）直线 与直线交于点，则点到直线的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．3 B． C．3或-6 D．3或 3．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 角度2：直线到直线的距离 例4．（25-26高二上·广东深圳·期中）直线：与：之间的距离等于（ ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）直线，直线，若，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 题型三、对称问题 角度1：点关于直线对称 例5．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 例6．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知点在直线上，则的最小值为__________ 例7．多选（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【针对训练】 1．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是__________. 3．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 4．（24-25高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 5．（25-26高二上·浙江宁波·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程有两个解 B．方程无解 C．的最小值为 D．的最大值为 角度2：直线关于点对称 例8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【针对训练】 1．（25-26高三·天津·一轮复习）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 角度3：直线关于直线对称 例9．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 例10．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 例11．若入射光线所在直线的方程为，经直线反射，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角是钝角 B．的一个方向向量为 C．点到直线的距离为 D．与直线垂直 3．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测），分别为直线与上任意一点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东深圳·阶段检测）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 9．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 10．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．方程与方程可表示同一直线 B．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 C．过两点，的直线都可用方程表示 D．已知，，点在轴上，则的最小值是 11．（24-25高二下·广东深圳·阶段检测）以下四个命题表述正确的是（   ） A．若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率的取值范围是 B．直线恒过定点 C．若直线与互相垂直，则 D．若直线与平行，则与的距离为 12．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）下列结论错误的是（   ） A．过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．直线与直线之间的距离为 C．已知点，，点在轴上，则的最小值为 D．已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是 三、填空题 13．（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 14．（25-26高二上·江西·阶段检测）直线与直线之间的距离为__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知在中，边上的高所在的直线方程为边上的高所在的直线方程为，点A的坐标为. 求: (1)边与边所在的直线方程; (2)边所在的直线方程; (3)的面积. 17．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 18．（25-26高二上·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； 19．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 20．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求边所在的直线方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 第 23 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $