精品解析：浙江湖州市2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

浙北2026年八年级学业水平监测 数学试题卷 温馨提示： 1．全卷分卷Ⅰ与卷Ⅱ两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 2．试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 当时，二次根式的值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，不能判定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知样本数据，，，，，，下列说法不正确的是（ ） A. 平均数是 B. 众数是 C. 离差平方和是 D. 方差是 7. 下列各图中，正确表示将正三角形绕点按顺时针方向旋转的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（ ） A. B. C. D. 9. 某社区计划在一矩形草坪上开辟两条交叉的小路，要求这两条小路都是有一条边的长为1米的平行四边形．现有甲、乙、丙三种方案如下图所示，其中．分别记三种方案的剩余草坪的面积为、、，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，P是线段上任意一点（不与点A、B重合），分别以、为边在线段的同侧作正方形、正方形，连结、、．分别取、的中点M、N，连结，取的中点Q，连结．已知，，则下列结论中正确的是（ ） A. a越大，的长越大 B. 当时，的长是 C. 若，则 D. 若，则 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是______．（写出一个即可） 12. 七边形的内角和比六边形的内角和多_________度． 13. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，连接，则的长度为 ___________． 14. 一连锁超市有甲、乙两家分店，某学习小组对某一天中两家分店的顾客的支付方式进行调查研究，数据记录如下表所示．根据表中信息，可得该连锁超市这一天被调查的顾客中，手机支付的比例是_________． 分店 甲分店 乙分店 被调查的顾客人数 手机支付的比例 15. “积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 16. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，连结，将绕点顺时针旋转至，以、为边作正方形，连结，若，则的长是_________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）记该方程的两个实数根为和，若，求的值． 20. 如图，的对角线，相交于点，点、在对角线上，且，连结、、、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求对角线的长． 21. 某蓝莓生产基地为评估两个不同品种蓝莓的品质，从甲、乙两个品种的蓝莓中各随机抽取300颗，测量它们的果径大小，绘制如下统计图表： 被抽取的甲品种蓝莓果径大小的统计表 组别 果径大小（mm） 频数 A 10 B C 150 D 60 E 30 被抽取的乙品种蓝莓果径大小的箱线图（单位：） 请结合统计图表，解答下列问题： （1）求统计表中的值． （2）有一评估小组成员认为：“抽取的样本中，甲品种蓝莓果径的中位数一定比乙品种的中位数小”．请判断这个观点是否正确，并说明理由． （3）有一家水果商需要在该生产基地采购其中一个品种的蓝莓，希望采购的蓝莓中超过果径的蓝莓占比越大越好．请你为该水果商在甲、乙两个品种中推荐一个，并选择合适的统计量加以说明． 22. 某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入株时，平均单株盈利元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利（元）与每盆的总株数（株）成如图所示的一次函数关系． （1）每盆种植株时，平均单株的盈利是多少元？ （2）若要求每盆花苗超过株，且每盆的盈利为元，则每盆应种植多少株？ 23. 【教材延伸】某学习小组受教材设计题“把两张正方形纸片割补成一个更大的正方形（如下图所示）”的启发，设计了“将两个矩形分割并平移形成一个平行四边形”的数学实验． 【实验探究】在图、图中，是线段上一点（不与点重合），，点、在线段同侧，，，，分别作出矩形和矩形．点在线段上某一位置时，可恰好分割并平移，使，，这样形成的四边形就是平行四边形．已知，，请根据以上条件解决下列问题： （1）若，求的长． （2）若，当为菱形时，求的长． （3）若，能否成为矩形？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 24. 如图，是菱形的对角线，且，点是菱形的内部或边上一点，连结，将绕点顺时针旋转至，以、为边构造平行四边形． （1）如图，当点、都落在对角线上时，连结，求证：． （2）如图，当、、三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连结，若，求的长． （3）如图，若，连结交于点，连结，当点在的内部或边上时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙北2026年八年级学业水平监测 数学试题卷 温馨提示： 1．全卷分卷Ⅰ与卷Ⅱ两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 2．试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 当时，二次根式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的代入求值，将给定x的值代入二次根式后化简即可得到结果； 【详解】解：∵ ， ∴ 把代入， 得 ． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件，1被开方数不含分母，2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：A选项，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式． B选项，被开方数是能开得尽方的数，不满足条件，不是最简二次根式． C选项，被开方数含有能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式． D选项，被开方数含有分母，不满足条件，不是最简二次根式． 3. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：∵中心对称图形旋转与原图形重合， ∴B为平行四边形，旋转与原图形重合，符合题意， 故选：B． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：配方得， 整理得． 5. 下列图形中，不能判定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可． 【详解】解：A、，故四边形两组对边平行，故四边形是平行四边形，故A选项不符合题意； B、，由此可得已知长为的这一组对边相等而且平行，故四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、不能判断出任何一组对边是平行的，只有一组对边相等不能判断是不是平行四边形，故C选项符合题意； D、有两组对边相等的四边形是平行四边形，故D选项不符合题意． 6. 已知样本数据，，，，，，下列说法不正确的是（ ） A. 平均数是 B. 众数是 C. 离差平方和是 D. 方差是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查统计中平均数、众数、离差平方和与方差的计算，根据对应定义依次计算各量即可判断正误． 【详解】解：已知样本数据为，共个数据． ∵平均数， ∴选项A正确． ∵数据中出现的次数最多， ∴众数是，选项B正确． ∵离差平方和， ∴选项C正确． ∵方差，∴选项D错误． 7. 下列各图中，正确表示将正三角形绕点按顺时针方向旋转的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的定义和性质进行判断即可． 【详解】解：由旋转的定义可知：正确表示将正三角形绕点按顺时针方向旋转的是选项C． A、B是平移，D中旋转后的位置不准确． 8. 已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】矩形相邻两边是方程的两个实根，矩形面积等于两根乘积，利用一元二次方程判别式得到面积的取值范围，即可得到符合条件的选项． 【详解】解：设矩形相邻两边长为方程的两个根， ∵矩形面积， 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴， ∵方程有两个正实根， ∴判别式， ∵， ∴，解得， 即， 观察选项，只有A选项，符合要求． 9. 某社区计划在一矩形草坪上开辟两条交叉的小路，要求这两条小路都是有一条边的长为1米的平行四边形．现有甲、乙、丙三种方案如下图所示，其中．分别记三种方案的剩余草坪的面积为、、，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两条小道抽走，根据平移得出剩余草坪正好可以组成一个长方形，利用长方形面积公式得出，从而得出答案． 【详解】解：设矩形草坪的长为a米，宽为b米， 甲方案：将两条小道抽走下面的草坪向上移，右边的草坪向左移，正好可以组成一个长为米，宽为米的长方形，则； 同理可得：，， ∴，故C选项正确． 10. 如图，P是线段上任意一点（不与点A、B重合），分别以、为边在线段的同侧作正方形、正方形，连结、、．分别取、的中点M、N，连结，取的中点Q，连结．已知，，则下列结论中正确的是（ ） A. a越大，的长越大 B. 当时，的长是 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的性质，直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理等逐一对各个选项进行分析，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，， ∵点M，N分别为正方形和正方形对角线，的中点， ∴， ∴， ∵点Q为斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 当时，的长度在减小，则的长度也在减小； 当时，的长度在增大，则的长度也在增大，故A错误； 当时，， ∴， ∴，故B错误； 在中，， ∵， ∴， ∴， 解得：或，故C错误； 如图，以点A为原点构造平面直角坐标系， ∴，，，，，， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴，， ∵点Q为的中点， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， ∵， ∴，故D正确． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即可解答． 【详解】解：根据题意得：， ， ∴实数x的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一） 12. 七边形的内角和比六边形的内角和多_________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式，分别计算七边形与六边形的内角和，再作差求解即可． 【详解】根据多边形内角和公式， 六边形的内角和为， 七边形的内角和为， 故七边形的内角和比六边形的内角和多． 13. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，连接，则的长度为 ___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线性质，勾股定理，掌握菱形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质和直角三角形的性质求出的长，再根据勾股定理求出的长，最后利用直角三角形的性质求的长． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：5． 14. 一连锁超市有甲、乙两家分店，某学习小组对某一天中两家分店的顾客的支付方式进行调查研究，数据记录如下表所示．根据表中信息，可得该连锁超市这一天被调查的顾客中，手机支付的比例是_________． 分店 甲分店 乙分店 被调查的顾客人数 手机支付的比例 【答案】 【解析】 【分析】先求出两家分店手机支付的总人数，再求出两家分店的总顾客人数，用手机支付总人数除以总顾客人数，即可得到所求比例． 【详解】解：甲分店手机支付人数为：人， 乙分店手机支付人数为：人， 手机支付总人数为：人， 两家分店总顾客人数为：人， 因此手机支付的比例为：． 15. “积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 16. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，连结，将绕点顺时针旋转至，以、为边作正方形，连结，若，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，过点作，垂足为，容易证明，从而可得，，在中，根据列方程求出，再在中求出即可. 【详解】解：过点作，垂足为， 设， ∵矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 整理得：， ∴， ∴，， ∴在中，. 【点睛】根据正方形的性质构造垂直全等模型，得，将分散的已知条件集中到一个三角形中，从而利用勾股定理列方程求解是解题的关键. 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 故，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 故，； 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）记该方程的两个实数根为和，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得． 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 20. 如图，的对角线，相交于点，点、在对角线上，且，连结、、、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求对角线的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，由线段的和差关系即可得出，即可证明四边形是平行四边形． （2）先证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，由勾股定理即可求出，即可求出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21. 某蓝莓生产基地为评估两个不同品种蓝莓的品质，从甲、乙两个品种的蓝莓中各随机抽取300颗，测量它们的果径大小，绘制如下统计图表： 被抽取的甲品种蓝莓果径大小的统计表 组别 果径大小（mm） 频数 A 10 B C 150 D 60 E 30 被抽取的乙品种蓝莓果径大小的箱线图（单位：） 请结合统计图表，解答下列问题： （1）求统计表中的值． （2）有一评估小组成员认为：“抽取的样本中，甲品种蓝莓果径的中位数一定比乙品种的中位数小”．请判断这个观点是否正确，并说明理由． （3）有一家水果商需要在该生产基地采购其中一个品种的蓝莓，希望采购的蓝莓中超过果径的蓝莓占比越大越好．请你为该水果商在甲、乙两个品种中推荐一个，并选择合适的统计量加以说明． 【答案】（1）50 （2）不正确．理由如下： 根据箱线图，可知乙品种蓝莓果径的中位数是；根据统计表，可知甲品种蓝莓果径的中位数在范围中，无法确定具体是多少，所以也无法判断谁的中位数小． （3）推荐乙品种．理由如下： 根据箱线图，可知乙品种蓝莓果径的上四分位数恰好是，所以可知样本中果径在及以上的蓝莓占总体的左右，且偏差极小；根据统计表，可知甲品种样本中果径在及以上的蓝莓占总体的．水果商的要求是采购的蓝莓中超过果径的蓝莓占比越大越好，所以推荐乙品种． 【解析】 【分析】（1）利用总数300减去其他果径大小的频数即可得出a的值． （2）根据中位数的定义求解即可． （3）由乙品种蓝莓果径的上四分位数恰好是可知样本中果径在及以上的蓝莓占总体的左右，甲品种样本中果径在及以上的蓝莓占总体的，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入株时，平均单株盈利元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利（元）与每盆的总株数（株）成如图所示的一次函数关系． （1）每盆种植株时，平均单株的盈利是多少元？ （2）若要求每盆花苗超过株，且每盆的盈利为元，则每盆应种植多少株？ 【答案】（1）株时，平均单株的盈利是元 （2）或株 【解析】 【分析】（1）设一次函数表达式为，根据待定系数法解题； （2）根据题意，，将（1）中的代入解方程即可． 【小问1详解】 解：设一次函数表达式为， 代入和， 有， 解得 ∴函数表达式为， 当时，， 即每盆种植株时，平均单株的盈利是元； 【小问2详解】 解：根据题意，得， ， 整理得， ， 解得，，且都符合题意， 即每盆应种植或株． 23. 【教材延伸】某学习小组受教材设计题“把两张正方形纸片割补成一个更大的正方形（如下图所示）”的启发，设计了“将两个矩形分割并平移形成一个平行四边形”的数学实验． 【实验探究】在图、图中，是线段上一点（不与点重合），，点、在线段同侧，，，，分别作出矩形和矩形．点在线段上某一位置时，可恰好分割并平移，使，，这样形成的四边形就是平行四边形．已知，，请根据以上条件解决下列问题： （1）若，求的长． （2）若，当为菱形时，求的长． （3）若，能否成为矩形？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能．理由如下： 如图，连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形就是矩形， 要满足，等价于满足， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得（舍去），， ∴能成为矩形，此时的长是． 【解析】 【分析】（1）根据线段和差，矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，在中根据勾股定理即可求解； （2）根据菱形的性质得到，即，设，则，由此列式求解即可； （3）当时，四边形就是矩形，要满足，等价于满足，根据矩形，勾股定理，全等三角形的性质得到，，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，． 【小问2详解】 解：∵是菱形， ∴，即， 设，则， ∵，， ∴， 解得，即． 【小问3详解】 略． 24. 如图，是菱形的对角线，且，点是菱形的内部或边上一点，连结，将绕点顺时针旋转至，以、为边构造平行四边形． （1）如图，当点、都落在对角线上时，连结，求证：． （2）如图，当、、三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连结，若，求的长． （3）如图，若，连结交于点，连结，当点在的内部或边上时，求的最小值． 【答案】（1）证明：是菱形的对角线，且， ． 由旋转得，，． 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 点、都落在对角线上， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质，即可得证； （2）先连接，，再利用菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理，进行解答即可； （3）先取的中点，连接交于点，连接，，再利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题（将军饮马），以及勾股定理，进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， 四边形是菱形， 与互相垂直且平分． 、、三点在同一条直线上， ， 平分， ． ， ， ， ． ，， ． ， ， ， 即是直角三角形． ，， 是等边三角形， ， ． 所在直线是菱形的对称轴， ， ． ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接交于点，连接，， ． 是菱形的对角线，且， ，，， 和均为等边三角形， ，，， ． 由（2）可知，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ， ． 当点在的内部时，始终有， 当最小时，点一定在边上． 如图，连接， 是等边三角形，点为的中点，， ， ． 根据轴对称的性质，可得点在与的交点时，最小，即最小，最小值为的长度， 此时，． 答：当点在的内部或边上时，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $