精品解析： 浙江省湖州市吴兴区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年浙江省湖州市吴兴区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以取（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（　　） A 不平行于 B. 平行于 C. 不垂直于 D. 不垂直于 5. 已知点，，在函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 把方程的左边配方后可得方程（ ） A. B. C. D. 7. 在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表： 体积 2 压强 120 80 60 40 以下关系式中，最适合作为气体的压强关于容器体积的函数表达式的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（ ） A. 重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B. 重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C. 重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D. 重新设置权重前，小明“内容”得分比“逻辑”得分高 10. 如图，已知四边形纸片，E，F，G，H是四条边上的中点，连结，分别过点H，F作于点I，于点J，沿，，将四边形纸片剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片 (①沿方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转)．若，，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 当时，二次根式的值为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积是，则的值是______． 13. 要推荐选手参加跳绳比赛，现有甲、乙两位选手每人10次跳绳成绩，经分析，得出平均数，方差．若考虑成绩的稳定性，应推荐去参加比赛的选手是_____．（填“甲”或“乙”） 14. 如图，在中，对角线，交于点O，，若，，则的长是______． 15. 已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是______． 16. 如图，已知矩形和正方形共用对角线，与交于点，与交于点，若正方形的面积比矩形的面积大，的周长与的周长之和是，则的长是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边提取公因式，得，步骤 等号两边同时除以，得，步骤 移项，得，步骤 合并同类项，得．步骤 已知小刚在解方程的过程中出现了错误，请指出他开始出错的步骤，并给出正确且完整的解答过程． 19. 近年来，某市全面开展素质教育，坚持“五育并举”，强化体育锻炼促进学生身心健康全面发展，各校纷纷响应号召，积极开展阳光体育运动．某校将举行阳光跳绳比赛，每班推荐一位学生参赛，八年级（1）班将在甲、乙两位学生中推荐一位参赛．该班级对甲、乙两位同学连续7天一分钟跳绳成绩进行了收集、整理，并绘制了折线统计图： （1）老师从“平均数”“中位数”“众数”三个角度对两位学生的跳绳成绩进行了分析，并制作了以下统计表，请分别求出表中a，b，c的值． 学生 平均数 中位数 众数 甲 a 160 c 乙 164 b 160 （2）若从甲、乙两位学生中推荐一位参加阳光跳绳比赛，你会推荐谁参加比赛？请给出一条推荐理由． 20. 如图，在中，D，E，F分别是边的中点，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，若四边形是菱形，，，求的长． 21. 淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件． （1）求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率． （2）已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等) 22. 已知反比例函数的图象和的图象在同一平面直角坐标系中． （1）反比例函数图象上有一点 ． ①若直线经过点A，求此时k的值； ②若点也在反比例函数图象上，且，直接写出t的取值范围． （2）当时，函数的最小值为a，函数的最大值为，求此时k和a的值． 23. 定义：如果一个四边形有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角，那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”，把夹角所对的直角称为“对直角”． （1）如图，在四边形中，若，，，，请判断四边形是否为“等对直四边形”？并说明理由． （2）如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，对角线恰好平分四边形中一个内角，求此时的长． （3）如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，，求此时对角线的长． 24. 如图，四边形是正方形，，E，F，G分别是正方形的边，及对角线上的点，H是正方形内一点，满足四边形是正方形． （1）如图1，若，求此时的长． （2）如图2，连结，求证：． （3）如图3，延长交射线于点J，取线段的中点K，连结．设，在范围内是否存在t的值，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省湖州市吴兴区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以取（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，据此进行作答即可 【详解】解：依题意，∵二次根式在实数范围内有意义 ∴ ∴ 观察A、B、C、D四个选项，唯有3满足 故选：B 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：选项A：，被开方数5是质数，无平方因数，无法化简，符合最简二次根式条件，是最简二次根式； 选项B：，可分解为，含平方因数4，故不是最简二次根式； 选项C：，可化简为，被开方数为完全平方，故不是最简二次根式； 选项D：，可化简为2，故不最简二次根式． 故选：A． 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 本题考查中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（　　） A. 不平行于 B. 平行于 C. 不垂直于 D. 不垂直于 【答案】A 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，直接解答即可．考查了反证法的知识，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设不平行于， 故选：A． 5. 已知点，，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，直接把各点代入反比例函数的解析式求出、、的值，再比较其大小即可． 【详解】解：∵点，，在函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴． 故选：D． 6. 把方程的左边配方后可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先把常数项移项后，再在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，继而可求得答案. 【详解】， ， ， . 故选：. 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的知识，此题比较简单，注意掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 7. 在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表： 体积 2 压强 120 80 60 40 以下关系式中，最适合作为气体的压强关于容器体积的函数表达式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据压强与容器体积的乘积是定值可以确定两变量之间成反比例关系，设函数解析式为，把点代入函数解析式求出k值即可． 【详解】解：根据表中数据可知，理想气体压强与体积成反比， 设，把点代入， 得， ∴， 故这个函数的解析式为， 故选：C． 8. 如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 9. 某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（ ） A. 重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B. 重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C. 重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D. 重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 10. 如图，已知四边形纸片，E，F，G，H是四条边上的中点，连结，分别过点H，F作于点I，于点J，沿，，将四边形纸片剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片 (①沿方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转)．若，，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转和平移的性质以及矩形的性质等内容，由题可知，，，设，则，据此求解即可． 【详解】解：如图， 由题可知，，， 设，则， ， 矩形周长为． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 当时，二次根式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入，再求出即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解此题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据反比例函数值的几何意义解答即可，熟练掌握该知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积是， ∴， 故答案为：． 13. 要推荐选手参加跳绳比赛，现有甲、乙两位选手每人10次跳绳的成绩，经分析，得出平均数，方差．若考虑成绩的稳定性，应推荐去参加比赛的选手是_____．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了利用方差做决策，“方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量”，熟练掌握方差的意义是解题关键．根据方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小即可得． 【详解】解：∵平均数，方差， ∴乙选手的跳绳成绩更稳定， ∴考虑跳绳稳定性，应推荐去参加比赛的选手是乙， 故答案为：乙． 14. 如图，在中，对角线，交于点O，，若，，则的长是______． 【答案】20 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，由平行四边形的性质得，，由，得，则，所以，于是得到问题的答案，推导出，进而求得是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，交于点O，， ，， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：20． 15. 已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解．依据题意，由方程的一个根是，求得，再由方程有两个相等的实数根，可得，进而，最后计算即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵方程的一个根是， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 16. 如图，已知矩形和正方形共用对角线，与交于点，与交于点，若正方形的面积比矩形的面积大，的周长与的周长之和是，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，四边形的面积，勾股定理等知识，如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，设，，证明四边形是矩形，，则，，再根据已知的面积和周长的关系列等式即可解答，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， 设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵正方形的面积比矩形的面积大， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长与的周长之和是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质和乘法法则进行化简，再相减即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边提取公因式，得，步骤 等号两边同时除以，得，步骤 移项，得，步骤 合并同类项，得．步骤 已知小刚在解方程的过程中出现了错误，请指出他开始出错的步骤，并给出正确且完整的解答过程． 【答案】小刚开始出错的步骤是步骤，解答过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据等式的性质可判断步骤出现错误，再利用因式分解法解答即可求解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：小刚开始出错的步骤是步骤． 正确且完整的解答过程如下： 移项，得， 因式分解，得， 即， 或， ，． 19. 近年来，某市全面开展素质教育，坚持“五育并举”，强化体育锻炼促进学生身心健康全面发展，各校纷纷响应号召，积极开展阳光体育运动．某校将举行阳光跳绳比赛，每班推荐一位学生参赛，八年级（1）班将在甲、乙两位学生中推荐一位参赛．该班级对甲、乙两位同学连续7天一分钟跳绳成绩进行了收集、整理，并绘制了折线统计图： （1）老师从“平均数”“中位数”“众数”三个角度对两位学生的跳绳成绩进行了分析，并制作了以下统计表，请分别求出表中a，b，c的值． 学生 平均数 中位数 众数 甲 a 160 c 乙 164 b 160 （2）若从甲、乙两位学生中推荐一位参加阳光跳绳比赛，你会推荐谁参加比赛？请给出一条推荐理由． 【答案】（1），， （2）推荐甲学生参加比赛，因为甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数等相关内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）根据（1）中数据分析即可得解． 【小问1详解】 解：平均数， 对乙数据按大小排列：140，158，160，160，170，180，180， 所以中位数； 由表格可知甲的众数； 【小问2详解】 解：我会推荐甲学生参加比赛． 推荐理由是：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好． 20. 如图，在中，D，E，F分别是边的中点，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，若四边形是菱形，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可求，，即可求解； 由菱形的性质可得，可证，由等腰三角形的性质可得，，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 证明：，E，F分别是边的中点， ，， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ，E分别是边的中点， ，， ， 是边的中点， ，， 在中，，， ， 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 21. 淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件． （1）求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率． （2）已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等) 【答案】（1） （2）该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）求出7月投递快递总件数为：万件，比较后得出该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，再设增加m名投递业务员，根据7月的投递量不少于万件，列出一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：7月投递快递总件数为：（万件）， ， 该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务， 设增加m名投递业务员， 由题意得：， 解得：， 是正整数， 的最小值为3， 答：至少需要增加3名投递业务员． 22. 已知反比例函数的图象和的图象在同一平面直角坐标系中． （1）反比例函数图象上有一点 ． ①若直线经过点A，求此时k的值； ②若点也在反比例函数图象上，且，直接写出t的取值范围． （2）当时，函数的最小值为a，函数的最大值为，求此时k和a的值． 【答案】（1）①；②或 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数与一次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①先求出点A坐标、再代入反比例函数解析式中求k值即可；②画出函数草图，由函数图象即可得解； （2）由函数增减性易知当时有最小值；当时，有最大值，据此建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：①将代入，得， 即， 再将点A代入中， ∴， ②如图， 由图可知，当时，则或； 【小问2详解】 解：当时，当时，函数的最小值为a， 故， 当时，当时，函数的最大值为， 故， 解方程组， 解得 ． 23. 定义：如果一个四边形有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角，那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”，把夹角所对的直角称为“对直角”． （1）如图，在四边形中，若，，，，请判断四边形是否为“等对直四边形”？并说明理由． （2）如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，对角线恰好平分四边形中的一个内角，求此时的长． （3）如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，，求此时对角线的长． 【答案】（1）四边形是“等对直四边形”，见解析； （2）的长为或； （3）． 【解析】 【分析】（）由题易证，，再根据定义判断即可； （）分类讨论，当平分时或平分时，依据题意画出图形，进而求解即可； （）由勾股定理逆定理先证明，再利用对角互补模型构造全等求解即可． 小问1详解】 解：四边形是“等对直四边形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对直四边形”； 【小问2详解】 解：第一种情况：平分， ∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点， 则四边形是平行四边形， 设的长为，则， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 即的长为； 第二种情况：平分， 同理可证， 如图，过作于点， 则四边形是平行四边形， 设的长为x，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得， 即的长为； 综上所述，的长为或； 【小问3详解】 解：∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过作于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图，四边形是正方形，，E，F，G分别是正方形的边，及对角线上的点，H是正方形内一点，满足四边形是正方形． （1）如图1，若，求此时的长． （2）如图2，连结，求证：． （3）如图3，延长交射线于点J，取线段中点K，连结．设，在范围内是否存在t的值，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在，t的值是或或． 【解析】 【分析】（1）作辅助线构造，求出，然后判定是等腰直角三角形，进而求出的长度，再根据勾股定理求出的长度； （2）过H作于点Q，同理（1）可证，得出，，进而推出，根据垂直平分线的性质证得； （3）过H作于点Q，连结，根据题意易得分别是和的中位线，然后求出的长度关于t的表达式，再根据、、建立关于t的方程，解方程并结合确定t的值即可． 【小问1详解】 解：如图，过点G作于点P， ∵四边形、四边形均是正方形， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点G作于点P，过H作于点Q， ∵四边形、四边形均是正方形， 同理（1）可证， ∴，， ∵， ∴，即是的垂直平分线， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过H作于点Q，连结， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， 当或或时，是等腰三角形， 情况1：， ，解得； 情况2：， ，解得或3； 情况3：， ，解得或； ， 故所有符合条件的t的值是或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形和等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，通过辅助线构造直角三角形全等是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$