4.6总体的平均数与方差的估计课件 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“总体的平均数与方差的估计”，通过果农估计橙子质量的实际问题导入抽样调查，引导学生从样本代表性出发，理解用样本平均数、方差估计总体的统计思想，搭建从实际问题到统计推断的学习支架。 其亮点在于以“议一议”小组合作和典例分析为载体，落实数据分析素养，培养数据意识和运算能力。通过甲、乙车间零件质量比较的实例，让学生在计算样本平均数、方差中提升推理意识，既帮助学生掌握统计方法，也为教师提供了贴合实际的教学流程和巩固练习。

4.6 总体的平均数与方差的估计 第4章 数据分析 01 教学目标 理解用样本平均数、样本方差估计总体平均数与方差的统计思想，落实数据分析素养。 01 掌握样本平均数、样本方差的计算方法，能运用抽样估计解决实际问题，提升数据处理与统计推断能力。 02 体会抽样估计在实际生产、生活中的应用价值，培养用统计思维分析和解决问题的意识。 03 02 新知导入 思考 果农收获了大量的橙子，需要知道橙子的平均质量以及整片果园橙子的整体品质，你有什么方法吗？ 抽样调查 3 新知探究 议一议 在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，于是，有人提出：用简单随机抽样方法抽取一个样本，计算样本的平均数和方差，然后分别用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差.这种做法合理吗？ 以小组为单位，小组合作完成 1.简单随机抽样能保证每个个体被抽到的机会均等 2.抽取过程相互独立，前面的结果不影响后面 样本具有代表性 样本蕴含着总体的许多信息 通过样本的某些特性去推断总体的相应特性 了解一锅汤的味道 分析一批炮弹的杀伤力 了解这届八年级学生成绩的整体水平 我们知道，当研究某个对象时，如果能得到它的全部数据（可以看作是总体），就可以直接利用平均数刻画总体的平均水平，利用方差刻画它的离散程度，此时得到的平均数、方差分别称为总体平均数、总体方差. 问题：在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，那么我们该如何刻画总体的平均水平和离散程度呢？ 用简单随机抽样的方法抽取一个样本，用样本估计总体. 你怎么说明这种做法的合理性呢？ 总体中每个个体都有同等的机会被取到，且前面取到的个体 不影响后面的个体被取到的机会. 新知探究 总结归纳 当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体的平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体的方差的一个估计值. 总体的平均数与方差的估计 根据样本数据计算得到的平均数叫作样本平均数；得到的方差叫作样本方差. 当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值. 根据样本数据计算得到的平均数叫作样本平均数，得到的方差叫作样本方差. 03 新知探究 我们知道，在研究某个对象时，如果能得到它的全部数据（可以看作是总体），就可以直接利用平均数刻画总体的平均水平，利用方差刻画它的离散程度，此时得到的平均数、方差分别称为总体平均数、总体方差.在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，于是，我们把根据样本数据计算得到的平均数（或方差），叫作样本平均数（或样本方差）. 03 新知探究 议一议 有人提出：用简单随机抽样方法抽取一个样本，计算样本的平均数和方差，然后分别用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差.这种做法合理吗？ 简单随机抽样方法能使得每次抽取时，总体中每个个体都有同等的机会被取到，并且在整个抽样过程中，前面取到的个体不影响后面的个体被取到的机会，于是上述做法合理. 10 典例分析 例 某工厂有甲、乙两个车间，准备生产一批某种型号的机械零件.为确保质量，先进行试生产，于是需要了解甲车间试生产的这批零件的质量的平均数和离散程度.把这批零件的质量作为总体，用简单随机抽样方法从总体中抽取100 个零件，测量它们的质量，整理后得到下表： 质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265 零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2 （1）求甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值； （2）求甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值. 质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265 零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2 解 用简单随机抽样方法从总体中抽取的100个零件的质量是一个样本，将这个样本的平均数记作 ，方差记作 . （1） （2） 于是甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估量值是 250.6 g. 于是甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估量值是 26.82. 典例分析 做一做：在例题中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法抽取 100 个零件，测量它们的质量，整理后得到下表： 质量/g 236 240 242 245 250 252 254 256 260 268 零件个数 2 7 8 16 23 21 12 7 3 1 比较甲车间与乙车间试生产的零件质量，哪个车间生产的零件质量更稳定? 乙 ＝ (236×2 + 240×7 + 242×8 + 245×16 + 250×23 + 252×21 + 254×12 + 256×7 + 260×3 + 268×1)＝249.38. 乙 ＝ [(236 - 249.38)²×2 + (240 - 249.38)²×7 + (242 - 249.38)²×8 + (245 - 249.38)²×16 +(250 - 249.38)²×23 + (252 - 249.38)²×21+(254 - 249.38)²×12 + (256 - 249.38)²×7+(260 - 249.38)²×3 + (268 - 249.38)²×1 ]＝31.1756 由于26.82<31.1756，因此甲车间试生产的零件质量更稳定. （1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？ （2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？ 　　 思考： 反映数据的波动大小． 方差越大,数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差． 先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况． 03 新知探究 当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值. 数学上已经证明： 03 新知探究 把甲车间试生产的零件质量作为第一个总体，用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的100个零件的质量是这个总体的一个样本. 由上例可知，甲车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是250.6 g，方差的一个估计值是26.82. 把乙车间试生产的零件质量作为第二个总体，用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的100个零件的质量是这个总体的一个样本. 16 03 新知探究 解：=(236×2+240×7+242×8+245×16+250×23+252×21+254× 12+256×7+260×3+268×1)=249.38. =[(236249.38)²×2+(240249.38)²×7+(242249.38)²×8+(245249.38)2×16+(250249.38)²×23+(252249.38)²×21+(254249.38)2×12+(256249.38)²×7+(260249.38)²×3+(268249.38)²×1]=31.1756. 于是乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是249.38 g，方差的一个估计值是31.1756. 由于26.82<31.1756，因此甲车间试生产的零件质量更稳定. 新知探究 思 考 在上例中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表： 比较甲车间与乙车间试生产的零件质量，哪个车间生产的零件质量更稳定？ 质量/g 236 240 242 245 250 252 254 256 260 268 零件个数 2 7 8 16 23 21 12 7 3 1 稳定性用什么量来衡量 ？ 方差 新知探究 甲车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是 250.6 g，方差的一个估计值是 26.82. 乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是 249.38 g，方差的一个估量值是 31.1756. 由于 26.82＜31.1756， 因此甲车间试生产的零件质量更稳定. （方差越小，波动越小，质量越稳定） 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.某商场6月份随机调查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：2.8,3.2,3.4,3.0,3.1,3.7，试估算该商场6月份总营业额大约是(　　) A．84万元 B．96万元 C．93万元 D．111万元 2.若样本的平均数为10，方差为6，则对于样本 下列结论正确的是（　　） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 B B 20 04 课堂练习 3.为积极响应抗击疫情“停课不停学”的号召，某学校九年级年级组随机抽取了名同学每周实际观看网课时长进行分析，通过计算得知这名同学的每周观看网课的平均时长为小时，下列说法正确的是（　　）． A．九年级全体学生每周观看网课的平均时长一定是小时 B．九年级全体学生每周观看网课的平均时长一定不是小时 C．可以估计九年级全体学生每周观看网课的平均时长是小时 D．不能估计九年级全体学生每周观看网课的平均时长是小时 C 21 总体的平均数与方差的估计 理解样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差的意义 运用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，从而解决实际问题 $