4.6 总体平均数与方差的估计-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“总体的平均数与方差的估计”，通过“议一议”提问用样本估计总体是否合理导入，衔接复习的统计调查流程（抽样调查、样本等），搭建从已知抽样知识到用样本估计总体的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于结合工厂零件质量、学校用电量等现实情境，通过具体实例培养学生数据意识与推理能力，符合“用数学眼光观察”“用数学思维思考”。采用“问题导入—实例分析—练习巩固”方法，小结清晰，助力学生构建知识体系，教师使用能高效引导学生掌握统计估计方法，提升数据分析与应用能力。

第4章 数据分析 4.6 　总体的平均数与方差的估计 学习目标 1.在理解样本与总体的关系的基础上，认识并体会统计估计的意义、实施方法及在实际问题中的应用. 2.知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差. 复习回顾 在前面几册学习中，我们认识了全面调查和抽样调查，并系统学习了收集、整理、描述和分析数据这样一个数据处理的基本过程 . 调查 收集数据 整理数据 描述数据 分析数据 得出结论 全面调查（普查） 抽样调查（简单随机抽样、简单随机样本） 统计表（含频数分布表） 统计图（含频数直方图） （平均数、中位数、众数、方差） 我们知道，在研究某个对象时，如果能得到它的全部数据（可以看作是总体），就可以直接利用平均数刻画总体的平均水平，利用方差刻画它的离散程度，此时得到的平均数、方差分别称为总体平均数、总体方差.在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，于是，我们把根据样本数据计算得到的平均数（或方差），叫作样本平均数（或样本方差）. 课时导入 议一议 有人提出：用简单随机抽样方法抽取一个样本，计算样本的平均数和方差，然后分别用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差.这种做法合理吗？ 知识讲解 用样本平均数、方差估计总体平均数、方差 简单随机抽样方法能使得每次抽取时，总体中每个个体都有同等的机会被取到，并且在整个抽样过程中，前面取到的个体不影响后面的个体被取到的机会，于是上述做法合理.数学上已经证明： 当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值. 例 某工厂有甲、乙两个车间，准备生产一批某种型号的机械零件，为确保质量，先进行试生产，于是需要了解甲车间试生产的这批零件的质量的平均数和离散程度，把这批零件的质量作为总体，用简单随机抽样方法从总体中抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表： 质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265 零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2 （1）求甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值； （2）求甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值. 解：用简单随机抽样方法从总体中抽取的100个零件的质量是一个样本，将这个样本的平均数记作,方差记作. (1)=(238×1+241×5+244×9+247×19+250×24+253×22+256×11+259×6+262×1+265×2)=250.6. 于是甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值是250.6g. (2)=[(238-250.6)²×1+(241-250.6)²×5+(244-250.6)²×9+(247 -250.6)2×19+(250-250.6)²×24+(253-250.6)²×22+(256-250.6)2× 11+(259-250.6)²×6+(262-250.6)²×1+(265-250.6)²×2]=26.82. 于是甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值是26.82. 思考 在上例中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表： 质量/g 236 240 242 245 250 252 254 256 260 268 零件个数 2 7 8 16 23 21 12 7 3 1 比较甲车间与乙车间试生产的零件质量，哪个车间生产的零件质量更稳定？ 把甲车间试生产的零件质量作为第一个总体，用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的100个零件的质量是这个总体的一个样本. 由上例可知，甲车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是250.6 g，方差的一个估计值是26.82. 把乙车间试生产的零件质量作为第二个总体，用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的100个零件的质量是这个总体的一个样本. 第二个总体的样本的平均数为 =(236×2+240×7+242×8+245×16+250×23+252×21+254×12+256×7+260×3+268×1)=249.38. =[(236-249.38)²×2+(240-249.38)²×7+(242-249.38)²×8+(245-249.38)2×16+(250-249.38)²×23+(252-249.38)²×21+(254-249.38)2× 12+(256-249.38)²×7+(260-249.38)²×3+(268-249.38)²×1]=31.1756. 于是乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是249.38 g，方差的一个估计值是31.1756. 由于26.82<31.1756，因此甲车间试生产的零件质量更稳定. 随 堂 小 测 1.某学校抽查了某班级某月10天的用电量, 结果(单位：千瓦时)如下表： (1)这10天用电量的众数是 , 中位数是 ； (2)求这个班级平均每天的用电量； (3)已知该校共有20个班级, 该月共计30天, 试估计该校该月总的用电量． 13千瓦时 13千瓦时 用电量 8 9 10 13 14 15 天数 1 1 2 3 1 2 分析：(1)根据众数及中位数的定义即可求得； (2)利用平均数的计算方法求解； (3)将第(2)题的计算结果乘天数及班级数即得． 解：(2)因为这个班级每天的平均用电量=8+9+10×2+13×3+14+15×2)=12(千瓦时), 所以这个班级平均每天的用电量为12千瓦时. (3)因为12×20×30=7200(千瓦时), 所以估计该校该月总的用电量为7200千瓦时. 2.某鱼塘中养了某种鱼4000条, 为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量, 从鱼塘中捕捞了3次,取得的数据如下： (1)求样本中平均每条鱼的质量； (2)估计鱼塘中该种鱼的总质量； (3)设该种鱼每千克的售价为12元, 求出售该种鱼的收入y(元)与出售该种鱼的质量x(kg)之间的函数表达式, 并估计自变量x的取值范围． 数量/条 平均每条鱼的质量/kg 第1次捕捞 15 1.6 第2次捕捞 15 2.0 第3次捕捞 10 1.8 分析 ：(1)根据平均数的计算公式求解； (2)每条鱼的平均质量×总条数=总质量； (3)根据题意列出函数表达式即可． 解 ：(1)样本中平均每条鱼的质量为=1.8（kg）. (2)估计鱼塘中该种鱼的总质量为1.8×4000=7200(kg). (3)出售该种鱼的收入y与出售该种鱼的质量x的函数表达式为y=12x, 估计自变量x的取值范围为0≤x≤7200． 小结 利用样本方差估计总体方差 利用样本平均数估计总体平均数 总体平均数和方差的估计 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $