精品解析：山东淄博市高新区2025～2026学年度第二学期期末学业质量检测八年级数学试题（五四制）

2025~2026学年度第二学期期末学业质量检测 初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列式子不是二次根式的是（ ） A. B. （） C. D. 2. 已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的两条对角线交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为，那么满足的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 我们把方程的正根称为黄金分割数，长期以来，一些美术家认为：如果人的上、下半身之比接近黄金分割数，那么可以增加美感，为了找出该，也可以构造，其中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则是线段（ ）的长 A. B. C. D. 9. 如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ） A. 5 B. 15 C. 5或20 D. 5或15 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 若与最简二次根式能合并，则的值为__________． 12. 设是方程的两个不相等的实数根，则的值为_____． 13. 如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 14. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 15. 如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在菱形中，对角线与交于点，已知，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 19. 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； （2）在（1）的条件下，与的周长之比为_________； （3）在线段上画一个点，使，并说明理由． 20. 黄金矩形是一种特殊的长方形，它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．数学活动课上，老师带领同学们运用已学的二次根式知识，按如下方式构造了黄金矩形，步骤如下： ①作正方形，边长； ②取的中点； ③以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； ④过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该矩形的宽与长的比值为：，所以为黄金矩形． 素材1：；素材2：． 请选用以上任一素材解决以下问题： （1）化简：； （2）判断图中的长方形是否是黄金矩形，并说明理由． 21. 某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低元． （1）按要求填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 ①__________ 60 销售量（件） 200 ②__________ ③__________ （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少元？ 22. “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，以小组为单位进行了如下的操作：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点旋转．并提出了如下的问题： （1）如图2，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图3，将绕点按逆时针方向旋转，当点落在边上时，，，，四点共线，满足，，请求出的长度． 23. 如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，与交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长； （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末学业质量检测 初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列式子不是二次根式的是（ ） A. B. （） C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，逐一分析各选项中被开方数的取值范围，判断是否满足非负条件，从而选出不是二次根式的选项． 【详解】解：选项A：∵被开方数， ∴是二次根式，故A项不符合题意． 选项B：∵，满足被开方数非负的条件， ∴是二次根式，故B项不符合题意． 选项C：∵对任意实数，都有， ∴， ∴是二次根式，故C项不符合题意． 选项D：∵被开方数，不满足二次根式的定义， ∴不是二次根式，故D项符合题意． 2. 已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 3. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，没有实数根； B、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，没有实数根； C、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，有两个不相等的实数根； D、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，没有实数根． 4. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误； B、，则此项正确； C、，则此项错误； D、，则此项错误． 6. 如图，菱形的两条对角线交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得，，，再利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴在中，， ∴． 7. 某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为，那么满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，从三月份到五月份，销量经过两次匀速增长，根据初始销量和五月份的最终销量列方程即可． 【详解】解：∵三月份销量为杯，每月销量的平均增长率为， ∴四月份销量为杯， ∴五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为， 又∵已知五月份销量为杯， ∴可列方程为． 8. 我们把方程的正根称为黄金分割数，长期以来，一些美术家认为：如果人的上、下半身之比接近黄金分割数，那么可以增加美感，为了找出该，也可以构造，其中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则是线段（ ）的长 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由作图得，，结合勾股定理得，即可求解． 【详解】解：设， 由作图得，， ， ， ， 解得， ， 解方程得， 是线段的长． 9. 如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 10. 如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ） A. 5 B. 15 C. 5或20 D. 5或15 【答案】C 【解析】 【分析】当点在矩形内部时，由矩形的性质得到，根据已知条件得到，推出四边形的矩形，得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理得到，根据矩形的判定和性质得到，再由勾股定理即可得到结论；同理，当点在矩形外部时，方法同上可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形的矩形， ∴， 由题意可分：当点在矩形内部时，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：； 当点在矩形外部时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：； 综上所述：的长为5或20． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 若与最简二次根式能合并，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念和合并同类二次根式，已是最简二次根式，能合并的最简二次根式为同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：是最简二次根式，且与最简二次根式能合并， 与是同类二次根式，可得， 解得． 12. 设是方程的两个不相等的实数根，则的值为_____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程的解及根与系数的关系得到，是解题的关键． 由一元二次方程的解及根与系数的关系可得，，将其代入中即可解答． 【详解】解：∵是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2025 13. 如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 14. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 15. 如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由位似可知：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴的面积是． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解： 或 解得：，． 18. 如图，在菱形中，对角线与交于点，已知，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据两组对边相等证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，，再根据菱形的面积为计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴菱形的面积为． 19. 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； （2）在（1）的条件下，与的周长之比为_________； （3）在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】（1）如图，即为所求 （2） （3）如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【解析】 【分析】（1）将、分别延长一倍得到、，再连接即可； （2）根据题意得与的相似比为，再根据周长比等于相似比即可得解； （3）如图，取格点E、F，利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：∵将放大2倍得到， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； 【小问3详解】 解：略 20. 黄金矩形是一种特殊的长方形，它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．数学活动课上，老师带领同学们运用已学的二次根式知识，按如下方式构造了黄金矩形，步骤如下： ①作正方形，边长； ②取的中点； ③以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； ④过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该矩形的宽与长的比值为：，所以为黄金矩形． 素材1：；素材2：． 请选用以上任一素材解决以下问题： （1）化简：； （2）判断图中的长方形是否是黄金矩形，并说明理由． 【答案】（1） （2）长方形是黄金矩形，理由如下： ∵正方形中，， 又∵点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴长方形的宽与长的比值为：， ∴长方形是黄金矩形． 【解析】 【分析】（1）运用素材2进行分母有理化，然后前后相消，即可计算出结果； （2）分别求出、，然后计算长方形的宽与长的比值，结合黄金矩形的定义即可得出结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 21. 某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低元． （1）按要求填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 ①__________ 60 销售量（件） 200 ②__________ ③__________ （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少元？ 【答案】（1）填表如下： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 60 销售量（件） 200 （2）95元或85元【解析】 【分析】（1）根据题意用含的代数式表示即可； （2）利用“获利8750元”，即销售额成本利润，作为相等关系列方程，解方程求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：设第二个月单价降低元， ∴第二个月的单价为元，销售量为件， 清仓时销售量为件； 表格见答案； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，； 当时，； 答：第二个月的单价应该是95元或85元． 22. “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，以小组为单位进行了如下的操作：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点旋转．并提出了如下的问题： （1）如图2，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图3，将绕点按逆时针方向旋转，当点落在边上时，，，，四点共线，满足，，请求出的长度． 【答案】（1）四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，，再根据角的等量代换及平行线的判定得到、，即可证明四边形是平行四边形，再由邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设，则，，证明得，再证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，，， ∴， ∴，即， 解得（不合题意的值已舍去）． 23. 如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，与交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长； （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）证明：∵是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由得到，则，即可证明； （2）由得，过点F作，证明得到，即可得、、的值，进而可得，再证明，则； （3）延长交于点G，证明得到，则，，设，则，由勾股定理求出，进而可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，即， ∴， 如图，过点F作， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点G， ∵是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $