山东烟台市福山区2025-2026学年第二学期期末学业水平考试初三数学试题

2025-2026学年第二学期期末学业水平考试 初三数学试题 温馨提示： 1.考试时间120分钟，满分120分. 2.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A,B,C,D四 个备选答案，其中有且只有一个是正确的. 1.下列式子中，为最简二次根式的是 A. B.30 c.√03 D.√⑧ 2.下列运算正确的是 A.8=22 B.35+5=310 D.35x25=6月 3.四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是 A.当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C.当∠BAD=90时，四边形ABCD是矩形 D.当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是正方形 第3题图 4.将矩形ABCD(AD>AB)按如图所示的步骤进行折叠及剪裁，则将△EFG完全展开后，所得 到的图形一定是 A,等腰三角形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 …--人 4题图 5.已知下列图中的虚线均为平行线，则线段a,b,c,d的数量关系为abcd的是 9 初三数学试题第1页共8页 6.如图，△4ADC是由等腰直角△EOG经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴，已知 E0=1,D点坐标为D(亿，0)，位似比为1：2，则两个三角形的位似中心P点的坐标是 B.(1,0) c.(0,0) D. 4m/ G 60 m (kg) 第6题田 第7题困 7.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度(s)是载重后总质量 mkg)的反比例函数，其图象如图所示。下列说法错误的是 A.函数表达式为v=360( (m>0) B.机器狗的质量越大，其移动速度越快 m C.已知机器狗无载重时的最快移动速度为9ms,则机器狗的质量为40kg D.要使机器狗的最快移动速度v不低于5ms,其载重后总质量不能大于2kg 8若关于x的一元二次方程m心-(m+2水+空=0有两个不相等的实数根5，名，若上+=4m, 为2 则m的值为 A.2或-1 B.2 C.-1 D.不存在 9.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形 ACCA,使矩形ACC,B∽矩形ADCB:再连接AC,以对角线4AC为边，按逆时针方向作矩形ACC,B, 使矩形ACC,B2∽矩形ACC民，，按照此规律作下去，则边ACs的长为 2026 A.5x5 2026 2 B.2× C.√5×22m6 2 D.2xW526 B D 第9题围 第10题围 10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别为(m,0)、(O,n),顶点C在反比 例函数y=任>0)上，顶点D在反比例函数y=三（任>0）上。当D点坐标为(4,1)时，下列说法 ①k=4:②-1：③P3:④k=l2。其中正确结论有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 初三数学试题第2页共8页 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11.函数)y=2x一的自变量x的取值范围是 x-3 I2.如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB。 他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同 一直线上，已知纸板的两条直角边DD-40cm,EF=30cm,测得边DF离 地面的高度AC-l.5m,CD-10m,求树高AB是 m 第12题图 13,如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同 条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上。若线段BC=l2Cm,则线段AB的长为」 y B 第13题图 第14题图 14,如图，一次函数y=-1的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y=上在 1 第一象限的图象相交于点A(m,2).点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图 象于点E,连接BE.则△BDE的面积为 15.《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了“圆中方形”问题，其大意为有一块圆形的 田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为2平方步，从水池边到圆周， 每边相距3步远，在这个图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径”。如图，设正方形的边长是x 步，则可列出的方程是 D 0· C 第15题图 第16题图 16.摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点 O,以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E,这样就把正方形ABCD延伸为 黄金矩形ABEF,若CE=4,则AB= 初三数学议题第3页共8页 三、解答题（本大题共9个题.满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17.计算（本题满分12分） w画56 √5 (2)(6-2)N5+(2-√2)}. 用适当的方法解方程： (3)x2-9=5(x-3): (4)-3x=1-X2. 18.(本题满分4分) 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标分别为O(0,0),A（-23),B(-3,1)。 (1)△QAB与△OAB是以P点为位似中心的位似图形，点Q,4,R都在格点上，则点P的 坐标为 (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与△OAB位似的△OAB,使它与△OAB的相 似比为2：1. 初三数学试题第4页共8页 19.(本题满分7分) 已知关于x的一元二次方程x2-(+5+6+2k=0. (1)求证：此方程总有两个实数根： (2)若此方程恰有一个根小于-1，求k的取值范围。 20.(本题满分7分) 如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一梭进行旋转倾斜后，水 面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，求此时液面AB的宽度。 6cm B 15cm 液面高度 10cm 桌面 围1 围2 初三数学试题第5页共8页 21.(本题满分7分) 一般地，我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比 为黄金比5！ 2 如图，在△MBC中，AB=AC,∠BP-36°。 (1)请仅用圆规在BC边上作出点D,E,使△MBD,△MCE均为黄金三角形，要求保留作图痕迹， 不写作法： (2)在(1)的基础上，求DE的值。 AB 22.(本题满分7分) 如图，在△MABC中，点D为BC边上的一点，连接AD,过点A作AE∥BC,连接BE分别交AD, AC于点F,G,AF2=FGEF. (I)求证：∠DAC=∠CBE: (2)若AB=AC=5,BC=6,点D为BC的中点，求BG的长。 E G D 初三数学试题第6页共8页 23.(本题满分8分) 为庆祝长征胜利90周年，文旅公司2026年推出多款长征主题的文创产品。文旅公司成本价为25 元的某款文创产品以40元出售。3月份销售256个，4、5月份销售量持续走高，在售价不变的基础上， 5月份的销售量达到400个。 (1)求4、5这两个月销售量的月平均增长率： (2)该文旅公司决定从6月份进行降价促销，经调查发现，该款文创产品价格在5月份的基础上， 每个降价1元，销售量可增加4个，若文旅公司要想使6月份销售这款文创产品获利4200元，则该文 创产品售价应定为多少元？ 24.(本题满分8分) 如图，一次函数片=在+b与反比例函数乃2=m(x>0)的图象交于A4,1),B(m,8)两点。 (1)求这两个函数的表达式： (2)根据图象，直接写出满足片>乃2时，x的取值范围： (3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M,交函数2的图象于点Q,若△POQ面 积为3，求点P的坐标。 0 M 初三数学试题第7页共8页 25.(本题满分12分) 综合实践课上数学小组探究正方形ABCD。 (1)【尝试发现】 如图1，小明在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF,试说明 BE与DF之间的数量关系 (2)【变式探究】 如图2，小颖在正方形ABCD中，G是AB的中点，连接CG,作BH⊥CG,与AD相交于点H,与 AC相交于点E,垂足为R,求CE的值 AE E B C 图1 围2 (3)【拓展延伸】 在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E为平面内一点，且BEBA,∠ABE的平分线 BF交直线CE于点F,连接OF。 如图3，小亮画出点E在正方形内部的图形，如图4，小文画出点E在正方形外部的图形。两人 猜想：在图3、图4中，BF与直线CE所夹的锐角a相等，通过计算验证两人的猜想成立。请你计算a 的度数，并分别计算图3、图4中的值，判断其是否也相等。 BE D 图3 图4 初三数学试题第8页共8页2025-2026学年度第二学期期末学业水平考试 初三数学试题参考答案及评分建议 本试题答案及评分意见，供阅卷评分使用。考生写出其它正确答案，可参照评分意见相应评分。 一、选择题（每小题3分，满分30分) 题号1 2 3 4 5 6 7 6 9 10 答案B C C A B B A D 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11.x≥且x≠3： 12.9: 13.6cm: 2 14.4: 1反-r2 16.2+25。 三、解答题（满分72分） 17.计算（本题共4个小题，满分12分） 解：1)原式-(20+5)x5 1x3 …1分 √5xV5 V3×3 5 10+5-6 2分 5 3 =3-25;… …3分 (2)(6-12)V5+(2-√2)2。 =V18-V36+4-4W2+2… …1分 =3V2-6+6-4V2… 2分 =-√万… 3分 (3)x2-9=5(x-3); 解：(c+3)(x-3)-5(x-3)=0.… …1分 (x-3)[(x+3)-5]=0即(-3)(x-2)=0. 2分 ∴.x-3=0或x-2=0 X1=3,x2=2。… 3分 (4)-3x=1-x2, 解：x2-3x-1=0, △=(-3)}-4x1x(-1)=13>0,…1分 x=-(-3)±v3 2分 2 53+ 313 2+2，= …3分 22 (上两题用配方法等其他方法也可) 18.(本题满分4分) (1)(-6,1);… 2分 (2)画图… …4分 1/4 19.(本题满分7分) (1)证明：△=(k+5)2-4(6+2k)=k2+2k+1=(k+1)2≥0， …2分 此方程总有两个实数根： … …3分 (2).x2-(k+5x+6+2k=0, .(x-2x-k-3)=0,… …4分 x1=2,x2=k+3, 5分 .此方程恰有一个根小于-1， .k什3<-1，解得<-4，… 6分 即k的取值范围为<-4.… …7分 20.(本题满分7分) 解：过B点作桌面的垂线，垂足为E,则∠DEB=∠C-90°…1分 AC∥BD, 6cm .∠CAB=∠ABD。…2分 ,AB∥ED, ∠ABD=∠BDE。…3分 液面高度 15c1m ∠CAB=∠BDE。 …4分 cm .△ADE∽△ABC, 5分 桌面 “始器即侣8 1510° …6分 图1 图2 AB=9…7分 液面的宽度为9cm。 21.(本题满分7分) 解：(1)如图，点D,E即为所求。…3分 (2)如图，连接AD,AE。 由(1)知，△ABD,△ACE为黄金三角形， D ∠BDM=∠CEA=72°，AD-5-1 …4分 AB 2 .∠DAE=180°-72°-72°=36°。 △ADE为黄金三角形。可得DE-5-1 …6分 AD 2 .De 5-1 3-V5 …7分 AB 2 注：此法不唯一，也可利用相似求解 3-√5 如：△BAE∽△BCA,令AB=,DEy,x2=(x-y)(2x-y),可得y= 2 22.(本题满分7分) (1)证出△AFG∽△EFA: …1分 得出∠DAC=∠E… …2分 证出∠CBE=∠E 得出∠DAC=∠CBE 3分 (2)求出AD=4… 4分 证出△CAD∽△CBG. …5分 得出CAAD CB BG 6分 求出BG= 24 …7分 5 2/4 23.(本题满分8分) （1)设4、5这两个月销售量的月平均增长率为x,由题意得…1分 256(1+x）2-400,…2分 解得：X1=-2.25（舍)，X2=0.25,…3分 答：4、5这两个月销售量的月平均增长率为25%. 4分 （2)设每个降价a元，… 5分 则：(40-25)×(400+4a)=4200, 6分 整理得：2+85r450-0, 解得：a=-90（舍)，a=5, 7分 所以售价=40-5=35元 答：该文创产品售价定为35元在6月份可获利4200元. …8分 24.(本题满分8分) 解：(1)把4〔4,1)代入5= ,得1= 4,4 “=4 …1分 起Bm8代入为是得8是n- 5B（8 …2分 1=4k+b 把A4,).B(分8代入为-+b,得 =k+b' k=-2 解得 乃=9…%=-2x+9 …3分 (2)由图像可得：)<4： …5分 (3)设P点坐标p,-2p+9),则点0的坐标为p,) &ee=P0oM--2n+g手p-3 即2p2-9p+10=0,. …6分 5 解得B=2,P凸=2。 7分 P店利或2). 8分 25.(本题满分12分) (1)解：BE=DF… .…2分 (2)解：，ABCD为正方形 ∴.∠BAH=90°，AD∥BC .'BH LCG ∴.∠ABH+∠BGC=90° 又∠GBC=90° F ∴.∠BGC+∠BCG=90° ∴.∠ABH=∠BCG… 3分 又∠BAH=∠CBG=90°，AB=BC B ∴.△ABH≌△BCG 图2 AH=BG…4分 3/4 ,G是AB的中点， ∴.BC=AB=2BG=2AH AD∥BC △CEB∽△AEH,… cB-62 …5分 .AE AH …6分 (3)解：设∠ABE=2x, BF平分∠ABE, :∠PBB= 1 ∠ABE=X ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=90°，AB=BC .BE=BA, BE=BC。 …7分 在图3中，∠CBE=90°-2x, 、∠BBC-180°-∠CB肥_180°-90°-2N-45+x 2 ∠BFE=∠BEC-∠FBE-45°+xx-45°。即a-45°。…8分 在图4中，∠CBE=90°+2x, ·∠BBC-180°-∠CBB_180°-(90+2x）-45°-x 2 2 .∠BFC=∠BEC+∠FBE-45°x+x=45°。即F45°。…9分 如图，连接AF。 1 ,BE=BA,∠FBA=∠FBE=∠ABE,BFP=BF, 2 ∴，△BFA≌△BFE。 ∴.∠BFA=∠BFE。 在正方形ABCD中，AC”=AB2+BC=2AB2, BV -AC=BE。… …10分 在图3中，∠BFE=45°，则∠BFA=45°。 ∴.∠AFC=90°。 图3 ,O为AC的中点， 0R-LAC. 2 √2 11分 2 AC 2 在图4中，由(1)知∠BFC=45°，得∠BFE=135°，则∠BA=135°。 ∴.∠AFC=135°-45°=90°。 1 A D ,O为AC的中点，∴.OF= AC。 0rAC。nO的值相等。…12分 BE AC 2 BE 2 4/4 图4