精品解析：山东省烟台市福山区（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024-2025学年第二学期期末学业水平考试 初三数学试题 温馨提示： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 已知， 则化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 都一样 7. 如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，在上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的点F处，，若四边形与矩形相似，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数的图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如果＝5－a，那么a的取值范围是_________． 12. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为__________（保留根号）． 13. 如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A，B，C分别落在点A'，B'，C'处，且点A'，C'，B在同一条直线上，则AB的长为__________． 14. 如图，一次函数与反比例函数相交于点，点，轴于点，轴于点，是线段上的一点，连接，，若，则点的坐标为______． 15. 已知：如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点G，过G作于点E，若，且，则下列结论：①；②；③；④中，说法正确的是___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，且的面积是面积的4倍，则点对应点的坐标为：______ ． 三、解答题（本大题共9个题，满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1）； （2）． 用适当的方法解方程： （3）； （4）． 18. 如图，已知点O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为 （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到原图的2倍，画出对应的，并写出点A的对应点的坐标； （2）直接写出的面积． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）设、是方程的两根，且，求的值． 20. 如图，矩形的对角线，相交于点O，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 21. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△BEC∽△BCH； （2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画线段AB的中点F． （2）在图②中，画的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出与四边形DEHG的面积比． （3）在图③中，画，点R在格点上，且被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3． 24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（4，），点B在轴的负半轴上，AB交轴于点C，C为线段AB的中点． （1）求的值和点C的坐标； （2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥轴，交反比例函数图象于点E，交轴于点F．求当△ODE面积为6时，点E的坐标． 25. 如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒． （1）求线段的长； （2）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期末学业水平考试 初三数学试题 温馨提示： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 已知， 则化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，结合题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴x与y异号， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A选项错误，不符合题意； B．，故B选项错误，不符合题意； C．，故C选项错误，不符合题意； D．，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质．先判断，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 故选A． 4. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键； 本题需要通过勾股定理求得，进而得到，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C； 5. 已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】计算判别式的值即可判断． 【详解】解：， 由数轴得，， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 6. 用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 都一样 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，求弧的半径，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解． 【详解】解：设围成的图形的面积为， 方案一：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米， 由题意得：， 当时，有最大值为； 方案二：如图： 设等腰三角形底边长为，高为， ∵为等腰三角形， ∴，， ∴，即，整理得：， ∵， ∴， 令，则， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最大值，最大值为； 方案三：设圆的半径为米，则：， 解得：， ∴， ∵， 故选：C． 7. 如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得． 故选：B． 8. 如图，在矩形中，在上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的点F处，，若四边形与矩形相似，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可知，，可证四边形是正方形，因为四边形与矩形相似，可得，可得方程，解方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 根据折叠的性质可知，， 四边形是正方形， ， 设，则， 四边形与矩形相似， ∴四边形矩形相似， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的翻折、矩形的性质、正方形的判定和性质、相似多边形的性质，解决本题的关键是根据相似多边形的性质得到对应边成比例，根据对应边成比例求出边长． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分情况讨论：和时，根据图像的性质，即可判定. 【详解】当时，函数的图像位于第一、三象限，函数的图像第一、三、四象限； 当时，函数的图像位于第二、四象限，函数的图像第二、三、四象限； 故答案为A. 【点睛】此题主要考查一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题. 10. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数的图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，过A作轴于E，过C作轴于F，证明，推出，，再证，推出，设，，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得，求出a值即可． 【详解】解：设直线与y轴的交点为G， 在中，令，得，解得， 令，得， ，， 如图，过A作轴于E，过C作轴于F， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， ， ∴反比例函数表达式为， 故选D． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，求反比例函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等，涉及知识点较多，难度一般，掌握一线三等角模型，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如果＝5－a，那么a的取值范围是_________． 【答案】a≤5 【解析】 【分析】由题意可得5-a≥0，解不等式即可求出答案. 【详解】由题意得：5-a≥0， 解得：a≤5， 故答案为a≤5. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题的关键. 12. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为__________（保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短， 则令“千斤”下面一截琴弦长为， 所以， 解得， 所以“千斤”下面一截琴弦长为． 故答案为：． 13. 如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A，B，C分别落在点A'，B'，C'处，且点A'，C'，B在同一条直线上，则AB的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由C′D∥BC，可得比例式，设AB＝a，构造方程即可． 【详解】设AB＝a，根据旋转的性质可知C′D＝a，A′C＝2＋a， ∵C′D∥BC， ∴，即， 解得a＝−1− （舍去）或−1＋． 所以AB长为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到图形中相似基本模型“A”型． 14. 如图，一次函数与反比例函数相交于点，点，轴于点，轴于点，是线段上的一点，连接，，若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程求得点与点的坐标，根据相似三角形的性质即可求得，，利用两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数相交于点，点， 令，整理得： 解得：，， 当时，，当时，， 故，， ∴，， ∵， ∴， 设， 则， ， 故， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴点． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，相似三角形的性质，两点间距离公式等，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 15. 已知：如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点G，过G作于点E，若，且，则下列结论：①；②；③；④中，说法正确的是___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①中，根据菱形性质及，可得，再结合可得是中点，进而通过证和全等，可进一步求证； ②中，结合及是中点，可证是等边三角形，进而得到相关特殊角的度数；通过直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理，可分别求出和的长度，结论可证； ③中，结合②中已求角度及线段长度，同理根据“所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理”可求证； ④中，根据以及相关线段长度，即可求解四边形面积． 【详解】解：对于①，∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是中点，即， ∵是中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故①说法正确； 对于②，如图，连接，交于点， 由①中，又是中点， ∴垂直平分， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴， 在菱形中，， ∴，， 在中，由， ∴， ∴， ∴， 故②说法正确； 对于③，由②知，， 在中，由， ∴， ∴， 故③说法正确； 对于④，∵， 又， ， ∴， 故④说法错误； 综上所述，①②③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握特殊三角形及菱形的性质与判定，菱形中多关注等边三角形问题，直角三角形中注意含的边长问题，非特殊四边形的面积注意转化成特殊图形求解． 16. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，且的面积是面积的4倍，则点对应点的坐标为：______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】过作轴于，根据等边三角形的性质以及点的坐标，可求出点的坐标，再由面积比可以得到位似比，从而根据位似变换的性质，求出的坐标． 【详解】解：等边三角形的顶点，， ， 过作轴于， 是等边三角形， ， ， 与位似，位似中心是原点，且的面积是面积的4倍， 与位似为， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 三、解答题（本大题共9个题，满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1）； （2）． 用适当的方法解方程： （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解一元二次方程的根，掌握二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则，公式法、因式分解法求一元二次方程的根的方法是关键． （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减混合运算法则计算即可； （2）运用乘法公式去括号，再根据二次根式的加减混合运算法则计算即可； （3）先判定，再运用求根公式，代入计算即可； （4）运用因式分解法求一元二次方程的根即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， ， ， ， 该方程的解为：； （4）， ， ， ， ， 或， 解得． 18. 如图，已知点O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为 （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到原图的2倍，画出对应的，并写出点A的对应点的坐标； （2）直接写出的面积． 【答案】（1）见解析， （2）10 【解析】 【分析】（1）直接根据位似图形的定义及性质得出对应点的坐标，进而得出答案； （2）利用所在矩形面积减去周围三角形面积，进而即可求解． 【小问1详解】 如图所示，即为所求，点A的对应点的坐标为； 【小问2详解】 的面积为． 【点睛】本题考查了位似变换及三角形面积的求法，正确得出对应点位置是解题的关键． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）设、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得，由此可解得的值． （2）根与系数的关系及已知条件可得关于的一元二次方程，解得的值并根据（1）中的所得的的取值范围作出取舍即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 解得：． 的取值范围是． 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 的值是． 20. 如图，矩形的对角线，相交于点O，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； （2）3 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：矩形的面积为， ∴的面积为， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 21. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△BEC∽△BCH； （2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF． 【答案】 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB． ∵DF=BE， ∴△CDF≌△CBE(SAS)， ∴∠DCF=∠BCE． ∵CDBH， ∴∠H=∠DCF， ∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B， ∴△BEC∽△BCH． (2)∵BE2=AB•AE， ∴=， ∵AGBC， ∴=， ∴=， ∵DF=BE，BC=AB， ∴BE=AG=DF， 即AG=DF． 【解析】 【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解． (2) 由BE2=AB•AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解． 【详解】解：(1)略 (2)略 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元个，则，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， ， ， 解得：，（舍， 该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：该品牌头盔的实际售价应定为元个， 则， ， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元个． 23. 图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画线段AB的中点F． （2）在图②中，画的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出与四边形DEHG的面积比． （3）在图③中，画，点R在格点上，且被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3． 【答案】（1） 如图①： （2） 如图②：面积比为1：3 （3） 如图③，画出一种即可． 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点，找到之间单元网格的对角线，交于点，则点即为所求； （2）根据（1）的方法找到的中点，连接，根据相似三角形的性质即可求出与四边形DEHG的面积比； （3）根据（2）的结论，可知，只要经过的中位线，根据在网格上，找到符合题意的点即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 与四边形DEHG的面积比为1：3． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了网格与相似三角形，相似三角形的性质，三角形中位线的性质，根据网格的特点找到线段的中点是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（4，），点B在轴的负半轴上，AB交轴于点C，C为线段AB的中点． （1）求的值和点C的坐标； （2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥轴，交反比例函数图象于点E，交轴于点F．求当△ODE面积为6时，点E的坐标． 【答案】（1），C（2，0）；（2）点E的坐标为（2，6）． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标； （2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点A（4，）点， ∴，即， 过点A作轴的垂线，垂足为G， 则有∠AGC=∠BOC=90°，OG=4， ∵点C是AB的中点， ∴AC=BC， 又∵∠ACG=∠BCO， ∴△ACG≌△BCO， ∴OC=CG=2， ∴C（2，0）； （2）由（1）知△ACG≌△BCO， ∴OB=AG=3， ∴B（0，-3）， 设直线BA的解析式为， ∵A（4，），B（0，-3）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为， 令点E（，），则点D为（，）， ∴， 整理，得， ∴，(舍去) 所以，点E的坐标为（2，6）． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，一元二次方程的应用，根据三角形面积得到一元二次方程是解题的关键． 25. 如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒． （1）求线段的长； （2）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8；理由见详解 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求得，由三角形面积公式得出，即可得出结果； （2）由勾股定理求得，过点作于，则，则，得出，即，求出，，即可得出结果；，，即，进而求解即可 【小问1详解】 解：，，， ， ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 过点作于，如图所示： ， ， ， ，即， ， ； ， ，即：， 整理得：， 解得：，， 在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $