1.1 探索勾股定理 讲义 -2026-2027学年北师大版八年级上册数学

本初中数学讲义聚焦勾股定理核心知识点，先明确直角三角形两直角边平方和等于斜边平方的定义，再通过测量、数格子尤其是拼图验证（构造图形、算两次面积推导定理）构建验证方法体系，最后系统梳理其应用（已知两边求第三边、实际问题建模等），形成“定义-验证-应用”的学习支架。 该资料亮点在于融合数学眼光与应用意识，通过赵爽弦图、“折竹抵地”等传统文化情境及秋千、手机支架等生活实例，引导学生从现实中抽象直角三角形模型，培养几何直观与建模能力。课中助力教师清晰授课，课后通过分层检测题帮助学生查漏补缺，强化运算与推理能力。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.1 探索勾股定理（知识梳理+达标检测） 知识点一勾股定理 1、直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。 知识点二勾股定理的验证 1、验证方法：测量、数格子、拼图等，其中拼图验证是最常用的方法。 2、拼图验证的关键：用两种方法表示出同一个图形的面积（算两次）。 3、拼图法验证勾股定理的一般步骤。 构造图形（割、移、补、拼），写出同一图形面积的两种表示形式，列出等式，恒等变形，推导出勾股定理。 知识点三勾股定理的应用 1、主要应用。 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算、说理或实际应用问题。主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边，求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边，确定另两边的关系； （3）说明包含平方关系的几何问题； （4）构造方程，计算有关线段的长度，解决一些简单的实际问题。 2、应用勾股定理解决实际问题的一般步骤 （1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）； （2）确定所求线段所在的直角三角形（不是直角三角形的，通过作辅助线构造直角三角形）； （3）找准直角边和斜边，根据勾股定理确定等量关系，列出方程； （4）求得结果。 一、选择题 1．如图，在中，，，，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，连接、、，则长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．6 3．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 4．用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C．D． 6．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 7．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 二、填空题 9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 10．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为________尺． 11．如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，．若，，垂足为点，，则的长为________． 12．勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 13．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 14．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 15．你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号） 16．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 ________米． 三、解答题 17．如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 18．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 19．勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中，．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作． （1）图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________． （2）如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 20．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： （1）下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． （2）请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． （3）这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.1 探索勾股定理（知识梳理+达标检测） 知识点一勾股定理 1、直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。 知识点二勾股定理的验证 1、验证方法：测量、数格子、拼图等，其中拼图验证是最常用的方法。 2、拼图验证的关键：用两种方法表示出同一个图形的面积（算两次）。 3、拼图法验证勾股定理的一般步骤。 构造图形（割、移、补、拼），写出同一图形面积的两种表示形式，列出等式，恒等变形，推导出勾股定理。 知识点三勾股定理的应用 1、主要应用。 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算、说理或实际应用问题。主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边，求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边，确定另两边的关系； （3）说明包含平方关系的几何问题； （4）构造方程，计算有关线段的长度，解决一些简单的实际问题。 2、应用勾股定理解决实际问题的一般步骤 （1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）； （2）确定所求线段所在的直角三角形（不是直角三角形的，通过作辅助线构造直角三角形）； （3）找准直角边和斜边，根据勾股定理确定等量关系，列出方程； （4）求得结果。 一、选择题 1．如图，在中，，，，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，连接、、，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和是的轴对称图形，即得，，，即可证出，再用勾股定理求解即可． 【解答】解：∵和是的轴对称图形， ∴，，， ∴， 在中，． 2．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据三个正方形的面积为直角三角形的三边的平方，结合勾股定理，进行求解即可． 【解答】解：由图可知：，，， 由勾股定理，得，即， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【解答】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 4．用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式． 【解答】解：∵，即， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，根据题意列出相应的等式是解答本题的关键． 5．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】利用图形的面积关系，通过等面积法推导出，据此判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【解答】解：A、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故A选项可以验证勾股定理； B、梯形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故B选项可以验证勾股定理； C、图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，故C选项不能用来验证勾股定理； D、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故D选项可以验证勾股定理． 6．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】首先求出四个直角三角形的面积，即可得到的值，根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后根据即可求解． 【解答】解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1， 所以一个小三角形的面积是，， 所以，即， 所以． 所以． 7．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【解答】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度是尺， 故选：． 二、填空题 9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再由已知条件可得，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【解答】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：． 10．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为________尺． 【答案】3.2 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，知道竹子折断后刚好构成一个直角三角形是解题的关键． 设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺，根据题意结合勾股定理列出方程即可求解． 【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺， 则由勾股定理可得，， 解得， 即折断处离地面的高度为3.2尺， 故答案为：3.2． 11．如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，．若，，垂足为点，，则的长为________． 【答案】 【分析】先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解． 【解答】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为． 12．勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 【答案】60 【分析】延长，交于点，先证出，再求出的长，然后根据图中空白部分的面积等于求解即可． 【解答】解：如图，延长，交于点， ∵为的斜边，，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵四边形，，均为正方形， ∴，，，， ∴四边形是长方形，， ∴，点共线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵，，， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∴图中空白部分的面积是 ． 13．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【解答】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 14．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 【答案】12 【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12． 【解答】解：如图， ∵，， ， ∴， ∵在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8， 同理可证FG2+LK2=HL2=4， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键． 15．你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【解答】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 16．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 ________米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 【解答】解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 三、解答题 17．如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车；理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【解答】解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 18．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】（1） （2）不能成功，理由见解析． 【分析】（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【解答】（1）解：如图所示， 过点作于点，则，，， 在中，， ； （2）不能成功，理由如下：假设能上升，如图所示， 延长至点，连接，则， ， 在中，， ，余线仅剩， ， 不能上升，即不能成功． 19．勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中，．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作． （1）图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________． （2）如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 【答案】（1）， （2） 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键， （1）根据勾股定理与正方形的面积公式即可得到，与之间的数量关系，也从而得到之间的数量关系； （2）根据圆的面积公式即可得到答案． 【解答】（1）解：由勾股定理可得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：以为直径的半圆的面积为． 以为直径的半圆的面积为． 以为直径的半圆的面积为． 根据勾股定理得， ∴． ∴以为直径的半圆的面积与以为直径的半圆的面积之和等于以为直径的半圆的面积． 20．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： （1）下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． （2）请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． （3）这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）见解析 【分析】（1）根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为即可； （2）分别表示和，根据即可得结论； （3）根据完全平方公式，画出图形即可． 【解答】（1）证明：由图1，知，正方形的边长为， ∵，，， ，即． （2）解：由题意可知，， ， ∵， ∴，即． （3）解：如图所示：可解释的代数恒等式为． 学科网（北京）股份有限公司 $