1.2 一定是直角三角形吗（知识梳理+达标检测）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册《典例全解·题型通关》

本初中数学讲义聚焦直角三角形的判别条件与勾股数核心知识点，前承勾股定理，通过“若三角形三边长a,b,c满足a²+b²=c²则为直角三角形”梳理判别方法，延伸勾股数概念及“扩大整数倍仍为勾股数”的性质，构建“定理-逆定理-应用”的学习支架。 资料以“毕达哥拉斯树”情境题、罗士琳法则勾股数规律探究等多样化题目设计，培养学生几何直观与空间观念的数学眼光，通过推理判断三角形形状发展推理意识的数学思维。课中辅助教师分层教学，课后达标检测覆盖选择、填空、解答题，助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.2 一定是直角三角形吗（知识梳理+达标检测） 知识点一直角三角形的判别条件 1、如果三角形的三条边长a，b，c，满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 知识点二勾股数 1、满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。 一组勾股数中的各数同时扩大相同的整数倍能得到一组新的勾股数，即若a，b，c是一组勾股数，则ka，kb，kc（k为正整数）也是勾股数。 一、选择题 1．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 2．三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 3．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．24 D．26 5．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 二、填空题 6．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 7．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 8．如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 9．在中，，，，则的面积为 _______________． 10．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 三、解答题 11．写出3组不同的，每组中都含60的勾股数． （1）60，_____，_____； （2）60，_____，_____； （3）60，_____，_____． 12．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 13．如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． （1）由图①可知，则______，______． （2）请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 14．如图，在中，，，D为边上一点，且，． （1）求证：； （2）求的面积． 15．已知：，，． （1）当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） （2）当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） （3）若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.2 一定是直角三角形吗（知识梳理+达标检测） 知识点一直角三角形的判别条件 1、如果三角形的三条边长a，b，c，满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 知识点二勾股数 1、满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。 一组勾股数中的各数同时扩大相同的整数倍能得到一组新的勾股数，即若a，b，c是一组勾股数，则ka，kb，kc（k为正整数）也是勾股数。 一、选择题 1．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，关键是勾股定理的应用；根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【解答】解：∵图①中所有正方形的面积和为：； 第一次操作后所有正方形的面积和为：； 第二次操作后所有正方形的面积和为：； …… 第次操作后所有正方形的面积和为：； ∴当时，， 故选：C ． 2．三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式化简原等式得到，利用勾股定理的逆定理可得答案． 【解答】解：∵， ∴，则， ∵是三角形的三边长， ∴这个三角形是直角三角形． 3．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【解答】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．24 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键．在直角三角形中，，，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而求出，即可得出阴影部分的面积． 【解答】解：，，， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：D 5．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 二、填空题 6．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 【答案】13，84，85 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察勾股数序列，每组第一个数为奇数，且第n组第一个数为；设第二个数为x，第三个数为，根据勾股定理列方程求解． 【解答】解：由题意得，第⑥组第一个数为，设第二个数为x，则第三个数为， 由勾股定理得， 解得，则， 故第⑥组勾股数为13,84,85． 故答案为：13，84，85． 7．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，即得，进而由可得，最后根据勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【解答】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【解答】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 9．在中，，，，则的面积为 _______________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判断的形状，再利用直角三角形面积公式计算面积． 【解答】解：由题意得 ，，， 可得 ， 根据勾股定理逆定理可知 是直角三角形，， 由三角形面积公式得 ． 10．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【解答】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=（x-）2+（y-1）2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 三、解答题 11．写出3组不同的，每组中都含60的勾股数． （1）60，_____，_____； （2）60，_____，_____； （3）60，_____，_____． 【答案】（1）80，100 （2）45，75 （3）36，48 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握勾股数的定义是解题的关键． （1）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大20倍即可； （2）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大15倍即可； （3）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大12倍即可． 【解答】（1）解：将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大20倍即可得：60，80，100； 故答案为：80，100； （2）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大15倍即可得：45，60，75； 故答案为：45，75； （3）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大12倍即可得：36，48，60； 故答案为：36，48． 12．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】36 【分析】连接，根据勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出，再根据四边形的面积为，求解即可． 【解答】解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积为 ． 13．如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． （1）由图①可知，则______，______． （2）请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 【答案】（1）， （2）见解析， 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理即可画出图形；根据勾股定理的逆定理，可证明，即可根据直角三角形的面积公式求解． 【解答】（1）解：，． 故答案为：，． （2）解：如图，就是所求作的图形； ，，， ， ， ． 14．如图，在中，，，D为边上一点，且，． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）84 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 15．已知：，，． （1）当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） （2）当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） （3）若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）60 （3）正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【解答】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 学科网（北京）股份有限公司 $