专题1.3 勾股定理的应用【导图+知识卡片+知识梳理+12个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题】-2026-2027学年北师大版数学八年级上册同步讲义

本讲义聚焦勾股定理的应用这一核心知识点，先系统梳理网格问题中格点线段长度计算、折叠问题中直角三角形构造与方程思想应用、几何体最短路线中展开图与勾股定理结合等基础内容，再通过12个题型（如梯子滑落高度、水杯中筷子长度、航海距离计算等）构建从知识理解到实际应用的学习支架。 该资料以思维导图可视化知识脉络，12个题型覆盖生活场景（如台阶地毯长度、汽车超速判断），培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。典例精讲与变式训练结合（如折叠问题通过设未知数建立方程），发展推理能力与数学思维。中考真题演练与分层训练（基础夯实、培优拔高）助力学生用数学语言解决问题，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题1.3 勾股定理的应用『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+12个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 勾股定理与网格问题 2 知识点二 勾股定理与折叠问题 2 知识点三 确定几何体上的最短路线 3 题型讲练 3 题型一 勾股定理与网格问题 3 题型二 勾股定理与折叠问题 5 题型三 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 6 题型四 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 8 题型五 解决航海问题(勾股定理的应用) 9 题型六 求河宽(勾股定理的应用) 10 题型七 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 11 题型八 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 12 题型九 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 14 题型十 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 16 题型十一 求最短路径(勾股定理的应用) 17 题型十二 勾股定理逆定理的实际应用 18 中考真题演练 20 难度分层训练 27 【基础夯实】 27 【培优拔高】 35 知识点一 勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l=m2+n2​。 知识点二 勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点三 确定几何体上的最短路线 1.利用勾股定理解决有关高度、宽度、长度、距离等问题 2.直角的判断 步骤 具体操作 图示 ①取点 在∠ C 两边上分别取点A，B，并连接AB ②测量  测量AC，BC，AB 的长 ③计算 计算AC²+BC² 和AB² 的值 ④判断 若AC²+BC²=AB²，则△ ABC 是直角三角形，且∠ C=90°；若AC²+BC² ≠ AB²，则∠ C ≠ 90° 题型一 勾股定理与网格问题 【典例精讲】（25-26八年级上·福建福州·期末）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． （1）根据勾股定理可得长为3、宽为1的长方形的对角线长为，长为2、宽为2的正方形的对角线长为，选择合适的矩形和正方形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可得到该三角形，观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可判断这个三角形形状． 【详解】（1）解：所作线段和如图所示（图不唯一）： （2）解：所作三角形如图所示（图不唯一）： ， 该三角形为直角三角形． 【变式训练】（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．不妨设每个小正方形的边长为，则，，再根据全等三角形的性质解答即可得． 【详解】解：设每个小正方形的边长为， ∴， 由网格可知，， ∵， ∴，， 如图，观察四个点可知，点可能是图中的点， 故选：A． 题型二 勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的周长为______． 【答案】21 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据图形翻折变换的性质得出，进而求出的周长． 【详解】解：在中，， ∴， ∵是翻折而成， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式训练】长方形纸片中，，，将纸片沿折叠使点与点重合，折痕与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由折叠的性质及矩形的性质可表示出和的长，在中利用勾股定理列式解方程即可得解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 设， 由折叠的性质可知，， ， 在中，，即， 解得， 即的长为． 题型三 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期末）生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地，则梯子长度约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设梯子底端到墙的距离为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设梯子底端到墙的距离为，则梯子长度为， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 则， ∴梯子长度为， 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）消防车上的云梯最多只能伸长到米，已知消防车的高米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功救出小孩，消防车从处向楼房移动的距离至少为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是米 (2)消防车从处向楼房移动的距离至少为米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， 依题意， ∴（米）， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向楼房移动的距离至少为米． 题型四 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是______尺． 【答案】4 【分析】本题考查了解决水池中荷花问题（勾股定理的应用），设水池的深度为h尺，利用勾股定理，列出关于h的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为h尺，则： ， 解得：， 所以，水池的深度是4尺． 故答案为：4． 【变式训练】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）有一个内壁底面长为厘米，宽为厘米，高为厘米的长方体水槽中装满水，将一根长厘米的笔直木条放入水槽，则木条（厚度不计）露出水面的最短长度为（    ）． A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】本题考查长方体的概念和勾股定理的应用，需熟练运用勾股定理计算长方体的体对角线长度是关键． 要使木条露出水面长度最短，需让木条浸入水中的长度最长，浸入水中的最长长度为长方体水槽的体对角线长度，利用勾股定理逐步计算体对角线，再用木条总长减去该长度即可得结果． 【详解】解：∵长方体水槽底面长厘米，宽厘米， ∴底面矩形的对角线长为（厘米）， 又∵水槽高为厘米，底面对角线与水槽高及水槽体对角线构成直角三角形， ∴水槽的体对角线长为（厘米）， ∵木条长厘米， ∴露出水面的最短长度为（厘米）． 故选：D． 题型五 解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________． 【答案】30 【分析】根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据题意得到，， ． 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·期末）一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的应用．根据两艘轮船的航行路线夹角为，构成直角三角形，再通过勾股定理计算两船距离即可解答． 【详解】解：东南方向与西南方向的夹角为， 两艘轮船的航行路线构成直角三角形， 第一艘轮船小时行驶的路程为（海里），第二艘轮船小时行驶的路程为（海里）， 根据勾股定理，两艘轮船的距离为（海里）， 故选：． 题型六 求河宽(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·河北张家口·期末）机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 【答案】12 【分析】根据勾股定理计算即可． 本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， 由勾股定理得： 米． 故答案为：12． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长米，长米，则A点和B点之间的距离为（ ）米 A．100 B．80 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 根据勾股定理可以直接求解． 【详解】解：由题可知，米，米，， 米． 故选：C 题型七 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【答案】5100元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为， ∵楼梯宽为， ∴需要铺地毯的面积为， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 题型八 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 题型九 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 【变式训练】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)的长为 (2)市受到台风影响的时间持续小时 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键． （1）使用勾股定理直接计算即可； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点、，使用勾股定理求出，再除以台风的速度求出持续时间． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在直角中，． 答：的长为． （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点、， 由题意可知，台风在段时，对市有影响． 在直角中，， 同理，， ∴， ∴影响持续的时间为． 答：市受到台风影响的时间持续小时． 题型十 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图所示，铁路上A、B，两点相距，C、D为两工厂，于A，于B，已知，，现要在上建一个货运中转站E，使得C、D两工厂到E站的距离相等，则E站应建在距A点多远处？ 【答案】E站应建在距A点处 【分析】本题考查了勾股定理的应用； 设，则，然后根据，利用勾股定理构建方程，求解即可． 【详解】解：设，则， ∵于A，于B， ∴， ∴，， 由题意得：， ∴，即， 解得：， 答：E站应建在距A点处． 【变式训练】（25-26八年级上·上海·期末）如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 由题意可得：当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：该长方体盒子底面的对角线为：， 当木棒为该长方体的对角线时木棒最长， 根据勾股定理得：． ∴直杆的长度a的取值范围是． 故答案为：． 题型十一 求最短路径(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为____________． 【答案】 【分析】根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：吸管在盒内长度为， 总长度． 【变式训练】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面的点处的食物，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是_____． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是在矩形上找出和两点的位置，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：把题中的圆柱沿着点所在的母线剪开，其展开图为一个矩形，如图所示： 由图根据勾股定理得：， 故需爬行的最短距离为． 题型十二 勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·山西晋中·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火灾．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方向由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响．着火点会受洒水影响吗？为什么？ 【答案】着火点会受洒水影响，理由见解析 【分析】过点作，垂足为点，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，再由三角形等面积法确定，进行比较即可． 【详解】解：着火点会受洒水影响， 理由如下： 如图，过点作，垂足为点， ∵，，， ∴，． ∴． ∴是直角三角形． ∴． ∴． ∵， ∴着火点会受洒水影响． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）运动不息，健康常在．如图，为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形环湖步道，已知，，，点B在点D的正西方向，点C在点D的正北方向处． (1)求证：； (2)修建完成后，市政部门派出无人机进行环境检测，无人机从点A飞到点C处，求无人机飞行的直线距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)无人机飞行的直线距离为 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理的应用． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． 【详解】（1）解： ∵点B在点D的正西方向，点C在点D的正北方向处． ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：如图作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． ∴无人机飞行的直线距离为． 【真题演练1】（2025·重庆·中考真题）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据折叠的性质以及勾股定理求得，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，进而在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 【真题演练2】（2025·吉林长春·中考真题）如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 分两种情形展开，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：①沿展开，如图所示， 在中，，，， ∴； ②沿展开，如图所示： 在中，，，， ∴， ∵， ∴最短路线长是， 故选：D． 【真题演练3】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，因为折叠后点在边上，当点与点重合时，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长度；当点与点重合时，可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的取值范围． 【详解】解：如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则； 如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且； 综上所述，． 故答案为：． 【真题演练4】（2025·河北邯郸·中考真题）如图，在Rt中，，，点是边上一点，，将沿直线折叠，使点落在边上的点处．若点是直线上的动点，则的周长的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及最短路径问题，熟练掌握利用轴对称性质转化线段，结合两点之间线段最短求解最小值是解题的关键． 本题是最短路径问题．根据折叠性质，点与点关于直线对称，因此的周长根据两点之间线段最短，当点位于与的交点时，取得最小值因此，周长的最小值为接下来需要利用直角三角形和折叠的性质，求出的长度． 【详解】解：连接、， ∵在中，，， ∴， ∵沿直线折叠得到， ∴，，， ∴， 在中，，， ， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴ ∴的周长 ∵当在与的交点时，最小，最小值为 ∴周长的最小值 故答案为： 【真题演练5】（2025·江西赣州·中考真题）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3） 【分析】（1）通过表示四边形的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设长度为未知数，利用结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． 又∵， ∴， 展开得， 化简得． （2）设千米，则千米． ∵，，， ∴， 即， 展开得， 化简得， ∴，即千米． （3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式． 作点关于的对称点，连接交于点，过作于，则， ∴， ∴的长为的最小值． 在中，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【基础夯实】 1．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（   ） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 【答案】A 【分析】两个笔筒粗细相同，底面直径相等，再根据勾股定理，构造方程即可求解． 【详解】解：设铅笔的长度为， 则， 解得：， 则铅笔的长度为． 2．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图以及勾股定理，先将圆柱侧面展开，找出棉线绕圆柱侧面3圈的路径在展开图中的表示，然后利用勾股定理求出这条路径的长度，就是棉线的最短长度． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示， 最短路线是：， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，从点沿着3个长方形的对角线运动到的路线最短， ∵底面半径为， ∴底面周长为， 又∵圆柱高为， ∴小长方形的一条边长是：， 即， ， ∴最短为． 故选：A． 3．（25-26八年级上·山西晋中·期末）为筹备文化艺术节，同学们设计了一个圆筒形灯罩装饰会场，然后圆筒壁缠绕红丝线，如图所示：已知圆筒的高为，其横截面圆的周长为，点在点的正上方，过点和点缠绕一圈红丝线，裁剪的红丝线至少（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图以及勾股定理与最短路径问题，掌握好相关知识是关键． 将圆柱的侧面展开得到一个矩形，则对角线为最短路径，使用勾股定理计算即可． 【详解】解：圆柱的侧面展开图如图所示： 由题意可知，，， 在直角中，， 由“两点之间，线段最短”可知，即为最短路径， ∴裁剪的红丝线至少． 故选：B． 4．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 【答案】/厘米 【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到长方形，则这圈金属丝的长度最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的长度最小为． 5．如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，至少要爬行______ 【答案】5 【分析】将圆柱体沿着直线剪开，得到矩形，则的长度为所求的最短距离，由题意根据勾股定理求出的长即为所求． 【详解】解：如图，将圆柱体沿着直线剪开，得到矩形， 则的长度为所求的最短距离， 根据题意圆柱的高为，底面周长为， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴蚂蚁要吃到食物，至少要爬行． 6．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 【答案】/度 【分析】取格点F，连接，利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，得， ，求解即可； 【详解】解：取格点F，连接， 根据勾股定理，得，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ． 7．（23-24八年级上·河南南阳·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过点A作于D，根据勾股定理列出方程，解方程求出，再根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：； （2）解：如图，过点A作于D， 设，则， 在中， 在中，， ∴，即， 解得：， 由勾股定理得：（m）， ∴， ∴该实验基地的面积为． 8．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出________，________，________； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5；10； (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理即可． （1）根据网格的长度结合勾股定理求解长度即可； （2）结合三条边的长度由勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：，，； 故答案为：5，10，； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）知，，，， 则， 是直角三角形． 9．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)是从工厂到河边最近的一条路，理由见解析； (2)的长为千米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （）根据勾股定理的逆定理判断即可； （）设的长为千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：是从工厂到河边最近的一条路，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴与垂直， 即是从工厂到河边最近的一条路； （2）解：设的长为千米，则千米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为千米． 10．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）某校有一块如图所示的四边形空地，为迎接国庆节的到来，学校欲在此地种满鲜花．已知鲜花的费用为100元/，．请你算出学校应付费用多少元？ 【答案】学校应付费用3600元 【分析】连接，利用勾股定理求出的长，证明得到，根据求出这块地的面积即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ， ∵， ∴， ∴在中，， ， ， （元）． 答：学校应付费用3600元． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【详解】解：如图为三棱柱的侧面展开图， ∵底面为直角三角形，其直角边长分别为，， ∴斜边长为， ∴，，， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， 当蚂蚁沿着该长方体的表面（左面和上面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， 当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， ∵是最小的数， ∴即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为， 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为，高为．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点处，爬行到正方形格子内部底面的顶点处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用—最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，在平面图形上构造直角三角形解决问题；画出侧面展开图，得出蚂蚁从盒外的A点沿礼盒的表面爬到盒内的B点，蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将立体图形展开，作A关于的对称点C，连接，得到如下图形，此时即为所求， 根据题意，得，，， ∴， 故选：D． 4．（23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 5．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________． 【答案】 【分析】先由折叠得，算出，再设，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：由折叠可知，，； ∵点 ，点 ， ∴， 则； ∵点 ，则， ∴； 设，则， 在中，， 即 解方程得：，即． 6．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为A和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 _________ ． 【答案】 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 则沿台阶面由A到B的最短路程是． 7．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 【答案】(1)； (2)①见解析；②的最大值为． 【分析】（1）利用勾股定理和三角形的面积公式解答即可； （2）①利用轴对称的性质得到，，利用三角形的外角的性质和等式的性质解答即可； ②利用轴对称的性质和全等三角形的判定与性质得到，利用垂线段最短的性质得到当最小时，取得最大值，即点G与点D重合时，取得最小值为． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：∵和关于成轴对称， ∴， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，取得最大值， ∵G为上一点， ∴点G与点D重合时，取得最小值为， ∴FG的最大值为， ∴的最大值为． 8．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） (1)如图1，若，求，两点之间的距离； (2)为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 【答案】(1)0.6千米 (2)4万元 【分析】（1）设，由，得，根据，得 ，由，得，解方程即可； （2）作B关于l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P，此时，的值最小，根据，，得，即支线管道最少千米，求出费用为（万元）． 【详解】（1）解：设， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故，两点之间的距离为0.6千米； （2）作点B关于直线l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P， 则， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 即支线管道最少千米， 费用为（万元）， 故管道费用需要4万元． 9．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 10．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)学校会处在卡车的噪声影响范围内；理由见解析 (2)6秒 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．    ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为8 米/秒， ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题1.3 勾股定理的应用『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+12个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 勾股定理与网格问题 2 知识点二 勾股定理与折叠问题 2 知识点三 确定几何体上的最短路线 3 题型讲练 3 题型一 勾股定理与网格问题 3 题型二 勾股定理与折叠问题 4 题型三 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 5 题型四 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 6 题型五 解决航海问题(勾股定理的应用) 6 题型六 求河宽(勾股定理的应用) 7 题型七 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 7 题型八 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 8 题型九 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 9 题型十 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 9 题型十一 求最短路径(勾股定理的应用) 10 题型十二 勾股定理逆定理的实际应用 10 中考真题演练 11 难度分层训练 14 【基础夯实】 14 【培优拔高】 17 知识点一 勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l=m2+n2​。 知识点二 勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点三 确定几何体上的最短路线 1.利用勾股定理解决有关高度、宽度、长度、距离等问题 2.直角的判断 步骤 具体操作 图示 ①取点 在∠ C 两边上分别取点A，B，并连接AB ②测量  测量AC，BC，AB 的长 ③计算 计算AC²+BC² 和AB² 的值 ④判断 若AC²+BC²=AB²，则△ ABC 是直角三角形，且∠ C=90°；若AC²+BC² ≠ AB²，则∠ C ≠ 90° 题型一 勾股定理与网格问题 【典例精讲】（25-26八年级上·福建福州·期末）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 【变式训练】（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型二 勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的周长为______． 【变式训练】长方形纸片中，，，将纸片沿折叠使点与点重合，折痕与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型三 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期末）生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地，则梯子长度约为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）消防车上的云梯最多只能伸长到米，已知消防车的高米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功救出小孩，消防车从处向楼房移动的距离至少为多少米？ 题型四 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是______尺． 【变式训练】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）有一个内壁底面长为厘米，宽为厘米，高为厘米的长方体水槽中装满水，将一根长厘米的笔直木条放入水槽，则木条（厚度不计）露出水面的最短长度为（    ）． A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 题型五 解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________． 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·期末）一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 题型六 求河宽(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·河北张家口·期末）机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长米，长米，则A点和B点之间的距离为（ ）米 A．100 B．80 C．60 D．120 题型七 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 题型八 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【变式训练】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 题型九 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【变式训练】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 题型十 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图所示，铁路上A、B，两点相距，C、D为两工厂，于A，于B，已知，，现要在上建一个货运中转站E，使得C、D两工厂到E站的距离相等，则E站应建在距A点多远处？ 【变式训练】（25-26八年级上·上海·期末）如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 题型十一 求最短路径(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为____________． 【变式训练】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面的点处的食物，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是_____． 题型十二 勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·山西晋中·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火灾．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方向由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响．着火点会受洒水影响吗？为什么？ 【变式训练】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）运动不息，健康常在．如图，为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形环湖步道，已知，，，点B在点D的正西方向，点C在点D的正北方向处． (1)求证：； (2)修建完成后，市政部门派出无人机进行环境检测，无人机从点A飞到点C处，求无人机飞行的直线距离． 【真题演练1】（2025·重庆·中考真题）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【真题演练2】（2025·吉林长春·中考真题）如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 【真题演练3】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 【真题演练4】（2025·河北邯郸·中考真题）如图，在Rt中，，，点是边上一点，，将沿直线折叠，使点落在边上的点处．若点是直线上的动点，则的周长的最小值是_____． 【真题演练5】（2025·江西赣州·中考真题）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【基础夯实】 1．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（   ） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 2．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西晋中·期末）为筹备文化艺术节，同学们设计了一个圆筒形灯罩装饰会场，然后圆筒壁缠绕红丝线，如图所示：已知圆筒的高为，其横截面圆的周长为，点在点的正上方，过点和点缠绕一圈红丝线，裁剪的红丝线至少（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 5．如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，至少要爬行______ 6．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 7．（23-24八年级上·河南南阳·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积． 8．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出________，________，________； (2)判断的形状，并说明理由． 9．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由． (2)求的长． 10．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）某校有一块如图所示的四边形空地，为迎接国庆节的到来，学校欲在此地种满鲜花．已知鲜花的费用为100元/，．请你算出学校应付费用多少元？ 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为，高为．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点处，爬行到正方形格子内部底面的顶点处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 5．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________． 6．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为A和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 _________ ． 7．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 8．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） (1)如图1，若，求，两点之间的距离； (2)为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 9．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 10．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null