1.3 勾股定理的应用讲义-2026-2027学年北师大版八年级上册数学

本初中数学讲义聚焦勾股定理的应用，系统梳理勾股定理逆定理的实际应用（强调两短边平方和与最长边平方比较判断直角三角形）及最短路径问题（圆柱、长方体侧面展开后用勾股定理求解，注重展开图分类讨论），构建从原理到应用的学习支架。 资料特色在于结合消防云梯、芦苇测量等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过最短路径问题的空间展开与分类讨论发展数学思维，分层设计的选择、填空及解答题助力学生用数学语言表达和解决问题，课中辅助教师实例教学，课后帮助学生查漏补缺。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.3 勾股定理的应用（知识梳理+达标检测） 知识点一勾股定理的实际应用 1、勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论。 知识点二最短路径问题 1、计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。 2、计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。 一、选择题 1．如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；先求出，然后利用三角形的面积的不同表示方法得到等积式求出边上的高. 【解答】解：设边上的高为，边上的高为， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：D ． 2．已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可. 【解答】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， . 3．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【解答】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 4．如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长为（    ） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 【答案】C 【分析】如图所示，设芦苇长尺，则水深尺，根据题意得到尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【解答】解：如图所示， 设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，， 解得：， ∴尺． ∴芦苇长17尺． 5．如图，甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行，2小时后，甲船到B岛，乙船刚好到达C岛，则两岛相距（   ） A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，方位角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【解答】解：∵甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/小时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：D 6．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【解答】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 7．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 二、填空题 8．如图，正方形网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．若，则点N应是图中的点______． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算出，的长度，再根据全等三角形的性质可知对应边相等，可得，，再分别计算点到点的距离以及与点的距离，即可确定点的位置． 【解答】解：设网格中小正方形的边长为， 由勾股定理得，，， ， ，， ∵，，，， 又， 点应是图中的点． 9．如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 【答案】1 【分析】由折叠得，然后根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：由折叠得， ∵四边形是长方形 ∴， ∴ ∴． 10．如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则___________． 【答案】4米/ 【分析】由题意可得米，米，，米，利用勾股定理可求得，，根据求解． 【解答】解：由题意得，米，米，，米， ∴（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）． 11．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】已变形 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证三角形是否为直角三角形，从而判断木门的角是否保持垂直，以此确定是否变形． 【解答】解：∵木门正常时，应为直角，根据勾股定理，应有： ∵，， ∴ 又测得， ∴ ∵，即， ∴不再是直角，木门已变形． 12．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 【答案】 【解答】解：如图， ∴． 13．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走__________m. 【答案】1000 【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可． 【解答】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E， ∵CD=600m，BD=300m，AC=500m， ∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m， ∴A′E=A′C+CE=500+300=800m， 在Rt△A′EB中， A′B===1000（m）． 即牧童最少要走1000米． 故答案为1000． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解题关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 14．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【解答】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 三、解答题 15．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题： （1）直接写出AB的长为______； （2）在网格中找到一格点C，使得，，判断的形状，并求点A到BC的距离． 【答案】（1） （2）如图：点C即为所求的格点；是直角三角形；点A到BC的距离为2． 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理画出线段，，并根据勾股定理的逆定理判断的形状，再利用等面积法求点A到BC的距离即可． 【解答】（1）解：． （2）解：作图略； ∵，，， ， 是直角三角形． 设点A到BC的距离为h， ∵， ∴，解得：， ∴点A到BC的距离为2． 16．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．如果小明想让风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】8米 【分析】先根据勾股定理求出的长再根据降低的高度求出的长，然后根据勾股定理求出的长，然后用风筝线长减去的长即可求出结果． 【解答】解：如图，设下降后的点为F， 在中米，米 由勾股定理得， 由，得米 ∵米 ∴米， 在中 由勾股定理得，． 由得米． 米， 他应该往回收线8米． 17．平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？    【答案】4米，5米 【分析】设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米， 根据勾股定理得， 解得（米）， 故（米）． 18．项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： （1）为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； （2）若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【答案】（1）15 （2）设计方案不符合规划要求 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得，可求出绿化区的面积，即可求解． 【解答】（1）解：因为，，， 所以． 答：这条直道的长度为． （2）解：因为，，， 所以． 所以． 所以绿化区的面积为． ． 因为， 所以设计方案不符合规划要求． 19．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． （1）经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ （2）已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】（1）两赛车之间的距离是30米 （2）当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 20．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1） （2）海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； （3）海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.3 勾股定理的应用（知识梳理+达标检测） 知识点一勾股定理的实际应用 1、勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论。 知识点二最短路径问题 1、计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。 2、计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。 一、选择题 1．如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 2．已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 4．如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长为（    ） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 5．如图，甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行，2小时后，甲船到B岛，乙船刚好到达C岛，则两岛相距（   ） A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里 6．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 7．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，正方形网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．若，则点N应是图中的点______． 9．如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 10．如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则___________． 11．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 12．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 13．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走__________m. 14．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 三、解答题 15．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题： （1）直接写出AB的长为______； （2）在网格中找到一格点C，使得，，判断的形状，并求点A到BC的距离． 16．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．如果小明想让风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 17．平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？    18．项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： （1）为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； （2）若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 19．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． （1）经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ （2）已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 20．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 学科网（北京）股份有限公司 $